(fl. Čína, ca, a.d. 250)
matematika.
o životě Liou Huie není známo nic, kromě toho, že vzkvétal v království Wei ke konci období tří království (aka 221-265). Jeho matematické spisy, na druhé straně, jsou dobře známy; jeho komentář k Chiu-chang suan-shu („devět kapitol o matematickém umění“) má hluboký vliv na čínské matematiky pro více než 1000 let. Napsal další důležitou, ale mnohem kratší práci: Hai-tao suan-ching („matematický manuál mořského ostrova“).
někteří učenci věří, že Chiu-chang suan-shu, nazývaný také Chiu-chang suan-ching(„Matematická příručka v devíti kapitolách“), existoval již v Číně během třetího století před naším letopočtem.n. l.). Existují také odkazy, které musí uvádět daňový systém 203 př. n. l. Podle předmluvy Liu Hui byla kniha spálena v době císaře Ch ‚ in Shih-Huanga (221-209 př.n. l.); ale její zbytky byly později obnoveny a uvedeny do pořádku. V následujících dvou stoletích byly komentáře k této knize napsány Chang Ts ‚ angem (fl. 165-142 př. n. l.) a Keng šou-ch ‚ ang (fl. 75-49 př.n. l.). Ve studii Ch ‚ien Pao-tsung (1963) se z interních textových důkazů navrhuje, že Chiu-chang suan-shu byl napsán mezi 50 b.c. a A.D. 100 a že je pochybné, zda Chang Ts‘ Ang a Keng Shou-ch ‚ ang měli s knihou něco společného. Přesto Li Yen a Tu Shih-jan, oba kolegové Ch ‚ ien Pao-tsung, stále věřili předmluvě Liu Hui, když psali o Chiu-chang suan-shu ve stejném roce.
v průběhu sedmého století jak Chiu-chang suan-shu a Hai-tao suan-ching (a.d. 263) byly zahrnuty do Suan-Ching shih-Shu („deset matematické manuály,“ a. d. 656), ke kterému T ‚ ang matematik a astronom Li Shun-feng (602-670) přidal své poznámky a komentáře. Tyto práce se pak staly standardními texty pro studenty matematiky; oficiální předpisy předepsaly, že tři roky budou věnovány dílům Liu Hui. Práce Liu Hui si také našly cestu do Japonska s těmito matematickými manuály. Když byly v Japonsku v roce 702 zřízeny školy a vyučovala se matematika, Chiu-chang suan-shu i Hai-tao suan-ching patřily mezi předepsané texty.
podle matematického pojednání Ch ‚eng Ta-wei, Suan-fa t‘ ung-tsung („systematické pojednání o aritmetice“; 1592), oba Chiu-chang suan-shu a Hai-tao suan-ching byly poprvé vytištěny oficiálně v 1084. Tam byl další tištěná verze z nich Pao Huan-chih v 1213. Na počátku patnáctého století byly zahrnuty, i když značně přeskupeny, do rozsáhlé mingské encyklopedie Yung-lo ta-tien (1403-1407). Ve druhé části osmnáctého století Tai Chen (1724-1777) rekonstruoval tyto dva texty poté, co je extrahoval po částech z Yung-lo to-tilen. Následně je zahrnul K ‚ung Chi-han (1739-1787) do svého Wej-po-hesieh ts‘ ung-shu (1773). O tři roky později je ch ‚ u Tseng-fa vytiskl Samostatně s předmluvou Tai Chen.
další reprodukce založené na rekonstrukci Tai Chen v Wei-po-hsieh ts ‚ ung-shu se nacházejí v Suan-ching shih-shu („deset matematických příruček“) Mei Ch ‚i-chao (1862 a v Wan-yu-wen-k‘ u (1929-1933) a SSU-pu ts ‚ung-k‘ An série (1920-1922; oba komerčního tisku, Šanghaj). Dva učenci devatenáctého století, Chung Hsiang a Li Huang, zjistili, že některé pasáže v textu byly nepochopitelné pokusem Tai Chena vylepšit původní text Chiu-chang suan-shu. Fragment z počátku třináctého století vydání Chiu-chang suan-shu. skládá se pouze z pěti kapitol, byl nalezen během sedmnáctého století v Nankingu, v soukromé knihovně Huang Yü-chi (1629-1691). Tato kopie byla viděna slavným učencem Ch ‚ing Mei Wen-tingem (1633-1721) v roce 1678 a později se dostala do vlastnictví k‘ ung Chi-han (1739-1784) a poté Chang Tun-jen (1754-1834); nakonec ji získala Šanghajská knihovna, kde je nyní uchovávána. V roce 1684 vytvořil Mao I (1640-po roce 1710) ručně psanou kopii původního textu nalezeného v knihovně Huang Yü-chi. Tuto kopii později získal císař za vlády Ch ‚ ien-lung (1736-1795). V roce 1932 byl reprodukován v sérii T ‚ien-lu-lin-lang ts‘ ung-shu.
v roce 1261 Yang Hui napsal Hsiang-csieh chiu-chang suan-fa („podrobná analýza matematických pravidel v devíti kapitolách“), aby objasnil problémy v Chiu-chang suan-shu. Ch ‚ien Pao-tsung v roce 1963 shromáždil text Chiu-chang suan-shu z verze Tai Chen, fragmenty pozdního vydání Sung, jak jsou reprodukovány v sérii T‘ ien-lu-lin-lang ts ‚ ung-shu, a Yang Hui je Hsiang-chieh chiu-chang suan-fa.
pokud jde o Hai-tao suan-ching, zůstává pouze rekonstruovaná verze Tai Chen. To bylo reprodukováno v paláci vydání Wu-ying-tien (před 1794), „deset matematické manuály“ v K ‚ung Chi-han je Wei-po-hsieh ts‘ ung-shu, a dodatek k Chü Tseng-fa je Chiu-chang suan-shu.
Chiu-chang suan-shu byl zamýšlen jako praktická příručka, jakýsi pomocník pro architekty, inženýry, úředníky a živnostníky. To je důvod, proč existuje tolik problémů při stavbě kanálů a hrází, městských hradeb, daní, výměny, veřejných služeb atd. Skládá se z devíti kapitol s celkem 246 problémy. Kapitoly mohou být nastíněny takto:
(1) Fang-t ‚ ien („Zeměměřičství“) obsahuje pravidla pro nalezení oblastí trojúhelníků, lichoběžníků, obdélníků, kruhů, sektorů kruhů a prstenců. Poskytuje pravidla pro sčítání, odčítání, násobení a dělení zlomků. Existuje zajímavý, ale nepřesný vzorec pro oblast segmentu a, kde jsou známy akord c a sagitta s, ve tvaru s (c + s) / 2. Tento výraz se později objevil v průběhu devátého století v Mahāvīrově Ganitasārasangraha.
zvláštního zájmu je hodnota poměru obvodu kruhu k jeho průměru, který použil Liu Hui. Starověká hodnota π používaná v Číně byla 3, ale od prvního století čínští matematici hledali přesnější hodnotu. Liou Hsin (d. A.D. 23) použil 3,1547, zatímco Chang Hen (78-139) dal √10 a 92/29. Wang Fan (219-257) našel 142/45 a pak Liu Hui dal 3,14. Nejdůležitější jména v této souvislosti jsou však jména Tsu Ch ‚ung-chih (430-501), brilantního matematika, astronoma a inženýra dynastií Liu Sung a Ch‘ i a jeho syna Tsu Cheng-chih. Tsu Ch ‚ ung-chih dal dvě hodnoty pro π nejprve „nepřesnou“ (yo lü), rovnou 22/7, danou dříve Archimedesem, a poté „přesnější“ ((mi lu)), 355/113 (3.1415929). Dokonce hledal další aproximace a zjistil, že π leží mezi 3.1415926 a 3.1415927. Jeho metoda byla pravděpodobně popsána v Chui Shu, který on a jeho syn napsali, ale nyní je ztracen. Hodnota Tsu Ch ‚ung-chih 355/113 pro π zmizela po mnoho staletí v Číně, dokud ji znovu nezískal Chao Yu-ch‘ in ((fl, ca. 1300)). Liu Hui získal přesnou hodnotu 3.14 tím, že vzal poměr obvodu pravidelného mnohoúhelníku devadesáti šesti stran k průměru kruhu obklopujícího tento mnohoúhelník. Začněme pravidelným šestiúhelníkem strany L6. Poměr obvodu šestiúhelníku k průměru kružnice, která jej obklopuje, je 3. Změníme—li šestiúhelník na pravidelný mnohoúhelník dvanácti stran, jak je znázorněno na obrázku 1—poznamenat, že L6 = r, poloměr ohraničené kružnice-pak strana dvanáctistranného mnohoúhelníku je dána
proto, pokud je známo, pak L2n lze nalézt z výrazu
přičemž R = 1 lze nalézt následující hodnoty: L6 = 1; L12 = 0,517638; L24 = 0,261052; L48 = 0,130806; L96 = 0,065438.
obvod pravidelného mnohoúhelníku N = 96 a r = 1 je 96 × 0,065438 = 6,282048. Proto π = 6.282048 / 2 = 3.141024, nebo přibližně 3.14. Liu Hui také použil mnohoúhelník o 3 072 stranách a získal svou nejlepší hodnotu, 3.14159.
(2)Su-mi („proso a rýže“) se zabývá procenty a proporcemi. Neurčité rovnice jsou vyloučeny v posledních devíti problémech v této kapitole použitím proporcí.
(3)Ts ‚ UI-fen („rozdělení podle postupu“) se týká rozdělení nemovitostí mezi partnery podle daných sazeb. Zahrnuje také problémy při zdanění zboží různých kvalit a další v aritmetických a geometrických postupech, které jsou řešeny pomocí proporcí.
(4)Shao-kuang („zmenšující se Šířka“) zahrnuje nalezení stran obdélníku, když je dána plocha a jedna ze stran, obvod kruhu
když je známa jeho plocha, strana krychle vzhledem k jejímu objemu a průměr koule známého objemu. Je ukázáno použití nejméně společného násobku ve zlomcích. Je zajímavé, že jednotkové zlomky se používají například v problému 11 V této kapitole. Daná šířka obdélníkového tvaru je vyjádřena jako
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
problémy v této kapitolětaké vedou k extrakci odmocnin a kořenů krychle; problém 13 například zahrnuje nalezení druhé odmocniny 25,281. Podle metody uvedené v Chiu-chang suan-shu je toto číslo, známé jako Shih (dividenda), nejprve umístěno ve druhé řadě z horní části počítací desky. Dále je jedna počítací tyč, nazývaná předběžný chieh-suan, umístěna na spodním řádku počítací desky v nejvzdálenějším pravém číselném sloupci. Tato tyč se přesune doleva, dvě místa najednou, pokud jde o to, jak to může jít bez překročení nejvzdálenější levé číslice čísla v řadě shih. S novou hodnotou místa se tato tyč nazývá chieh-sucn. Je znázorněno na obrázku 2a.
první obrázek kořene leží mezi 100 a 200. Pak je 1 považován za první číslo kořene a je umístěn v horním řádku ve sloupci stovky. Horní řada se nazývá fang. Chieh-suan je vynásoben prvním číslem kořene. Produkt nazvaný fa je umístěn ve třetím řádku. Shih (25,281) méně fa (10,000) opouští „první zbytek“ (15,281), který je napsán na druhém řádku, jak je znázorněno na obrázku 2b. po rozdělení se fa zdvojnásobí a vytvoří ting-fa. Toto je posunuto o jednu číslici doprava, zatímco chieh-suan je posunut o dvě číslice doprava, jak je znázorněno na obrázku 2c.
druhý obrázek, vybraný pokusem a omylem, leží mezi 5 a 6. Číslice desítek se proto považuje za 5 a bude umístěna ve své vhodné poloze v horním řádku na obrázku 2e. Chieh-suan (který je nyní 100) se vynásobí tímto druhým číslem a produkt se přidá k ting-fa, který se stává 2 500. Ting-fa vynásobený 5 se odečte od prvního zbytku, který dává zbytek 2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), jak je znázorněno na obrázku 2d. Ting-fa se dále posune o jednu číslici doprava a chieh-suan o dvě místa (viz obrázek 2e). Třetí údaj, opět vybraný pokusem a omylem, je 9. Tato jednotková číslice je umístěna ve vhodné poloze v horním řádku. Chieh-suan, který je nyní 1, se vynásobí tímto třetím číslem a produkt se přidá k ting-fa, který se stává 259. Druhý zbytek je dělen ting-fa, který ponechává zbytek nuly (2,781 ÷ 259 = 9 +0). Odpověď je tedy 159 (viz obrázek 2f).
(5) Shang-kung („konzultace o strojírenských pracích“) udává objemy takových pevných postav, jako je hranol, pyramida, čtyřstěn, klín, válec, kužel a frustum kužele:
(a) objem čtvercového hranolu = čtverec strany základny krát výška.
(b) objem válce =1/12 čtverec obvodu kružnice krát výška (kde π se považuje za přibližně 3).
(c) objem zkrácené čtvercové pyramidy = 1/3 výška krát součet čtverců stran horních a dolních čtverců a součin stran horních a dolních čtverců.
(d) objem čtvercové pyramidy = 1/3 výška krát čtverec strany základny.
(e) objem frustrace kruhového kužele = 1/36 výška krát součet čtverců obvodů horní a dolní kruhové plochy a součin těchto dvou obvodů (kde π se považuje za přibližně 3).
(f) objem kruhového kužele = 1/36 výška krát čtverec obvodu základny (kde π se považuje za přibližně 3).
(g) objem pravého trojúhelníkového hranolu = 1/2 součin šířky, délky a výšky.
(h) Objem obdélníkové pyramidy = 1/3 součin šířky a délky základny a výšky.
(i) objem čtyřstěnu se dvěma protilehlými hranami kolmými na sebe = 1/6 součin dvou kolmých protilehlých hran a kolmice společné těmto dvěma hranám.
(6) Chün-shu („nestranné zdanění“) se týká problémů pronásledování a aligace, zejména v souvislosti s časem potřebným pro daňové poplatníky, aby dostali své příspěvky na obilí ze svých rodných měst do hlavního města. Zabývá se také problematikou poměrů v souvislosti s rozdělováním daňové zátěže podle počtu obyvatel. Problém 12 V této kapitole říká:
dobrý běžec může jít 100 kroků, zatímco špatný běžec jde 60 kroků. Špatný běžec ušel vzdálenost 100 kroků, než ho dobrý běžec začne pronásledovat. V kolika krocích doběhne dobrý běžec?
(7) Ying pu-tsu nebo ying-nü („přebytek a nedostatek“). Ying, odkazující na úplněk, a pu-tsu nebo nü na nový měsíc, znamenají“ příliš mnoho „a“ příliš málo“. Tato část se zabývá čínským algebraickým vynálezem používaným zejména pro řešení problémů typu ax + b = 0 poměrně kruhovým způsobem. Tato metoda se v Evropě stala známou jako pravidlo falešného postavení. V této metodě jsou vytvořeny dva odhady, x1 a x2, což vede k hodnotám c1 a c2 buď větším nebo menším než 0. Z nich máme následující rovnice:
vynásobením (1) x2 a (2) x1, máme
z (1) a (2),
proto
Problém 1 v této kapitole říká:
v situaci, kdy jsou určité věci zakoupeny společně, pokud každá osoba zaplatí 8, přebytek je 3 a pokud každá osoba zaplatí 7, nedostatek je 4. Najděte počet osob a cenu přinesených věcí.
podle metody přebytku a nedostatku jsou sazby (tj. „odhady“ 8 a 7) nejprve nastaveny na počítací desce s přebytkem (3) a nedostatkem (-4) umístěným pod nimi. Sazby se pak násobí přebytkem a nedostatkem a produkty se přidávají k vytvoření dividendy. Poté se přebytek a nedostatek sečtou a vytvoří dělitel. Kvocient dává správnou částku peněz splatnou každou osobou. Chcete-li získat počet osob, přidejte přebytek a nedostatek a vydělte částku rozdílem mezi těmito dvěma sazbami. Jinými slovy, x a a jsou získány pomocí rovnic (5) a (4) výše.
někdy může být přímý problém přeměněn na problém zahrnující použití pravidla falešné pozice. Problém 18 ve stejné kapitole říká:
k dispozici je 9 kusů zlata a 11 kusů stříbra. Obě šarže váží stejně. Jeden kus je odebrán z každé šarže a vložen do druhé. Šarže obsahující hlavně zlato je nyní zjištěno, že váží méně než šarže obsahující hlavně stříbro 13 uncí. Najděte váhu každého kusu zlata a stříbra.
zde jsou provedeny dva odhady hmotnosti zlata. Metoda říká, že pokud každý kus zlata váží 3 libry, pak by každý kus stříbra vážil 2 5/11 liber, což by znamenalo nedostatek 49/11 uncí; a pokud každý kus zlata váží 2 libry, pak by každý kus stříbra vážil 1 7/11 liber, což by znamenalo přebytek 15/11 uncí. Poté se použije pravidlo falešné polohy.
(8) Fang-ch ‚ eng („výpočet tabulkou“) se zabývá simultánními lineárními rovnicemi s použitím kladných i záporných čísel. Problém 18 v této kapitole zahrnuje pět neznámých, ale dává pouze čtyři rovnice, čímž ohlašuje neurčitou rovnici. Proces řešení simultánních lineárních rovnic zde uvedených je stejný jako moderní postup pro řešení simultánního systému
A1X + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b2y + c3z = d3,
kromě toho, že koeficienty a konstanty jsou uspořádány ve svislých sloupcích místo toho, aby byly zapsány vodorovně:
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3.
v této kapitole Liu Hui také vysvětluje algebraické sčítání a odčítání kladných a záporných čísel. (Liu Hui označoval kladná čísla a záporná čísla červenými a černými počítacími tyčemi.)
(9) Kou-ku („pravé úhly“) se zabývá aplikací Pythagorovy věty. Některé z jeho problémů jsou následující:
válcový kus dřeva s průměrem průřezu 2 nohy, 5 palců, je třeba rozřezat na kus prkna o tloušťce 7 palců. Jaká je šířka? Tam je strom 20 stop vysoký a 3 nohy v obvodu.Sedmkrát se kolem stromu Vine liána a právě dosáhne vrcholu. Najít délku vinné révy, tam je rybník 7 stop čtverečních s rákosem rostoucí ve středu a měření i nohu nad vodou. Rákos právě dosáhne břehu na hladině vody, když je přitahován k ní. Najděte hloubku vody a délku rákosu.
existuje bambus vysoký 10 stop. Při ohnutí se horní konec dotýká země 3 stopy od stonku. Najděte výšku přestávky,
je zajímavé, že problém podobný 13 se objevil v brahmaguptově díle v sedmém století.
problém 20 vzbudil ještě větší zájem:
je zde náměstí neznámého rozměru. Brána je uprostřed každé strany. Dvacet kroků od severní brány je strom. Pokud člověk kráčí 14 kroků od jižní brány, otočí se na západ a udělá 1 775 kroků, strom se právě objeví. Najděte délku strany města.
kniha naznačuje, že odpověď lze získat vývojem kořene kvadratické rovnice.
x2 + (14 + 20)x = 2(1775 × 20).
způsob řešení této rovnice není popsán. Mikami naznačuje, že je vysoce pravděpodobné, že extrakce kořenů byla provedena s dalším termínem v koeficientu prvního stupně v neznámém a že tento dodatečný termín byl nazýván tsung, ale ve svém doslovném překladu některých částí textu týkajících se extrakcí kořenů si nevšimne, že postupné kroky úzce odpovídají postupům v Hornerově metodě. Ch ‚ ien Pao-tsung a Li Yen se pokusili porovnat metodu popsanou v Chiu-chang suan-shu s metodou Hornera, ale nevyjasnili textové nejasnosti. Wang Ling a Needham říkají, že je možné ukázat, že pokud je text Chiu-chang suan-shu velmi pečlivě dodržován, základy metod používaných Číňany pro řešení numerických rovnic druhého a vyššího stupně, podobné metodám vyvinutým Hornerem v roce 1819, jsou přítomny v díle, které může být datováno v prvním století před naším letopočtem
Hai-tao suan-ching, původně známý pod názvem Ch ‚ung ch‘ a („Metoda dvojitých rozdílů“), byl připojen k Chiu-Tao.Chang Suan-Shu jako jeho desátá kapitola. To bylo odděleno od hlavního textu během sedmého století, kdy bylo vybráno“ deset matematických příruček“, a dostal titul Hai-tao suan-cluig. Podle Mikamiho měl termín ch ‚ung ch‘ a znamenat dvojité nebo opakované použití proporcí stran pravoúhlých trojúhelníků. Jméno Hai-tao pravděpodobně pochází z prvního problému knihy, která se zabývá ostrovem v moři. Skládá se pouze z devíti problémů, kniha odpovídá méně než jedné kapitole Chiu-chang suan-shu.
ve své předmluvě popisuje Liu Hui klasickou čínskou metodu určování vzdálenosti od Slunce k ploché Zemi pomocí dvojité triangulace. Podle této metody byly dva svislé sloupy vysoké osm stop postaveny na stejné úrovni podél stejného poledníku, jeden ve starověkém hlavním městě Chou Yan-ch ‚ eng a druhý 10,000 li (1, li = 1800 stop) na sever. Byly měřeny délky stínů vržených sluncem v poledne letního slunovratu, a od nich mohla být odvozena vzdálenost slunce. Liu Hui pak ukazuje, jak lze stejnou metodu použít na více každodenních příkladů. Problém 1 říká:
z dálky je vidět mořský ostrov. Dva póly, každý vysoký 30 stop, jsou postaveny na stejné úrovni 1 000 pu od sebe, takže pól vzadu je v přímé linii s ostrovem a druhým pólem. Pokud se člověk pohybuje 123 pu zpět od bližšího pólu, horní část je viditelná pouze přes konec pólu, pokud ji vidí z úrovně terénu. Měl by se vrátit zpět 127 pu z druhého pólu, horní část ostrova je při pohledu z úrovně terénu viditelná pouze přes konec pólu. Najděte výšku ostrova a jeho vzdálenost od pólu. pól je 102 li, 150 pu (300 pu = 1 li).]
pravidlo pro řešení tohoto problému je uvedeno následovně:
vynásobte výšku pólu vzdáleností mezi póly a vydělte produkt rozdílem mezi vzdálenostmi, které člověk musí vrátit od pólů, aby viděl nejvyšší bod na ostrově. Přidání výšky pólu k kvocientu dává výšku ostrova. Chcete-li zjistit vzdálenost od bližšího pólu k ostrovu, vynásobte vzdálenost od tohoto pólu vzdáleností mezi póly. Vydělením produktu rozdílem mezi vzdálenostmi, které člověk musí vrátit od pólů, dává tuto vzdálenost.
problém 7 je zvláště zajímavý:
člověk se dívá do propasti s kouskem bílé skály na dně. Z břehu se otočí příčka, která leží na straně, která je normálně vzpřímená . Pokud je základna 3 nohy a člověk se dívá na hladinu vody ze špičky základny, přímka pohledu splňuje výšku příčníku ve vzdálenosti 4 nohy, 5 palců; a když se člověk podívá na skálu, přímka pohledu splňuje výšku příčníku ve vzdálenosti 2 nohy, 4 palce. Podobná příčka je nastavena 4 stopy nad první. Pokud se člověk podívá ze špičky základny, přímka pohledu na vodní hladinu by splňovala výšku příčky ve vzdálenosti 4 chodidla; a pokud se člověk podívá na skálu, bude to 2 nohy, 2 palce. Najděte hloubku vody.
na obrázku 3, Pokud P je vodní plocha nad bílou skálou, R a BC a FG jsou dvě příčky, pak BC = FG = 3 nohy; GC = 4 nohy; AC = 4 nohy, 5 palců; DC = 2 nohy, 4 palce; EG = 4 nohy; a HG = 2 nohy, 2 palce. Hledá se hloubka vody, PR. Pro získání odpovědi uvádí Liu Hui následující pravidlo:
Liu Hui zde nezohlednil index lomu vody. Dané pravidlo je rozšířením toho, které se používá při řešení problému 4, který používá stejnou metodu pro stanovení hloubky údolí:
člověk se dívá na hluboké údolí. Z okraje údolí se otočí příčka, která leží na straně, která je normálně vzpřímená . Základna
je dlouhá 6 stop. Pokud se člověk podívá na dno údolí od okraje základny, přímka pohledu se setkává se svislou stranou ve vzdálenosti 9 chodidla, 1 palec. Další příčka je nastavena 30 stop přímo nad první. Pokud je dno údolí pozorováno od okraje základny, přímka pohledu se setká se svislou stranou ve vzdálenosti 8 stop, 5 palců. Najděte hloubku údolí.
pokud znovu odkazujeme na obrázek 3, ignorujeme přerušované čáry, máme CB = GF = 6 stop; CG = 30 stop; AC = 9 stop, 1 palec; EG = 8 stop, 5 palců; a CQ je hloubka. Z podobných trojúhelníků ABC a PBQ
QB * AC = PQ * CB;
a z podobných trojúhelníků EFG a PFQ
QF * EG = PQ · GF.
protože CB = GF, a QF = QB = BF,
QB · AC = (QB + BF)EG,
QB(AC – EG) = BF · EG,
tj.
(CQ + CB)(AC – EG) = GC · EG.
proto
v problému 7 lze také získat vzdálenost od banky ke dnu propasti (CS na obrázku 3) z výrazu
PR je odvozen z rozdílu mezi CS a CQ.
pokud jde o další problémy, Problém 2 se týká nalezení výšky stromu na kopci; problém 3 se zabývá velikostí vzdáleného opevněného města; problém 5 ukazuje, jak měřit výšku věže na pláni při pohledu z kopce; problém 6 poskytuje metodu pro nalezení šířky propasti viděné z dálky na zemi.; problém 8 je případ nalezení šířky řeky viděné z kopce; a problém 9 hledá velikost města viděného na horu.
bibliografie
moderní ed. z Chiu-chang suan-shu je vol. 1121 v sérii Ts ‚ ung-Shu Chi-Chêng(Šanghaj, 1936).
práce zabývající se Liu Hui a jeho spisy jsou Ch ‚ ien Pao-tsung, Suan-ching shih-shu („deset matematické manuály“), 2 vols. (Peking, 1963), 83-272; a Chung-kuosuan-hsüeh-shih („Dějiny čínské matematiky“) (Peking 1964), 61-75; L.van Hée, „Le Hai Tao Suan Ching de Lieou,“ in t ‚ ung Pao, 20 (1921), 51-60; Hsü Shunfang, Chung-suan chia te tai-hsüeh yen-chiu („studie algebry čínskými matematiky“) (Peking, 1955), 1-8; Li Yen, Chung-kno shu-Hsüeh ta-kang („obrys čínské matematiky“ I (Šanghaj, 1931); a Chungkuo suan-hsüeh-shih(„Dějiny čínské matematiky“) (Šanghaj, 1937;rev.ed., 1955), 16, 19, 21; Li Yen a Tu Shih-jan, Chung-kuo ku-tai shu-hsüeh chien-shih („Stručná historie starověké čínské matematiky“) I (Peking, 1963), 45-77; Yoshio Mikami, vývoj matematiky v Číně a Japonsku (New York, 1913); Joseph Needham, Věda a civilizace v Číně,III (Cambridge, 1959), 24-27; George Sarton, Úvod do dějin vědy, 3 vols. (Baltimore, 1927-1947), esp. Já, 338; Wang Ling, „Chiu-Chang Suan-Shu a historie čínské matematiky během dynastie Han,“ doktorský diss. (Cambridge Univ., 1956); Wang Ling a Joseph Needham, „Hornerova Metoda v čínské matematice; její počátky v postupu extrakce kořenů dynastie Han, „v T‘ oung Pao, 43 (1955), 345-401; a Alexander Wylie, čínské výzkumy (Šanghaj, 1897; repr. Peking, 1936 a Tchaj-pej, 1966), 170-174.
některé důležité speciální studie o Chiu-chang suan-shu jsou E. I. Berezkina, „Drevnekitaysky traktat matematika v devyati knigach“ („starověké čínské matematické pojednání v devíti knihách“), v Istoriko-matematicheskie isslidovaniya, 10 (1957), 423-584, Ruský trans. z Chiu-chang suan-shu; Kurt Vogel, Neun Bücher aritme-tischer Technik (Brunswick, 1968), německý trans, a studium práce; a A. P. Youschkevitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (Lipsko, 1964), 1-88 („Die Mathematik v Číně“), přeloženo z ruštiny.
přístup ke starým životopisným poznámkám a bibliografickým citacím týkajícím se matematických děl je Hu Yü-chin, Ssu-k‘ U-T ‚ I-Yao Pu-chêng („doplňky k Ssu-k‘ U-T ‚I-yao“), 2 vols, (Taipei, 1964-1967); a Ting Fu-pao a Chou Yün-ch ‚ ing, Ssu-Pu-Tsung-Lu Suan-Fa-Pien („bibliografie matematických knih k doplnění SSU-k‘ u-ch ‚UAN-Shu encyklopedie“; Šanghaj, 1956).
více informací o Suan-Ching Shi-Shu lze nalézt v Needham, Věda a civilizace v Číně, III, 18; a V A. Hummel, Eminent Chinese of the Ch ‚ ing období (Washington, 1943), p. 697.
dva existující svazky encyklopedie Yung-Lo Ta-Tien byly reprodukovány fotograficky (Peking, 1960); ukazují, že uspořádání bylo podle matematických postupů a nikoli autorů.
Ho Peng-Jho
