(fl. Kina, ca, a.D. 250)
matematik.
intet vides om Liu Huis liv, bortset fra at han blomstrede i Kongeriget vei mod slutningen af de tre kongeriges periode (a.d. 221-265). Hans matematiske skrifter er derimod velkendte; hans kommentar til Chiu-chang suan-shu (“ni kapitler om matematisk kunst”) har udøvet en dybtgående indflydelse på kinesisk matematik i godt over 1.000 år. Han skrev et andet vigtigt, men meget kortere arbejde: Hai-tao suan-ching (“Sea Island Mathematical Manual”).
nogle forskere mener, at Chiu-chang suan-shu, også kaldet Chiu-chang suan-ching(“matematisk Manual i ni kapitler”), allerede eksisterede i Kina i det tredje århundrede f.kr.Ch ‘ien Paotsung, i hans Chung-kuo suan-HS kurteh-shih, og Chang Yin-lin (Yenching HS Kurteh Pao , 2, 301) har bemærket, at titlerne på visse embedsmænd, der er nævnt i problemerne, stammer fra ch’ in og tidligere (tredje og tidlige andet århundrede f. kr.). Der er også henvisninger, der skal angive et skattesystem på 203 f. kr. Ifølge Liu Huis forord blev bogen brændt i Kejser Ch ‘ in Shih-Huangs tid (221-209 f.kr.); men rester af den blev senere genvundet og sat i orden. I de følgende to århundreder blev kommentarer til denne bog skrevet af Chang Ts ‘ ang (fl. 165-142 f. kr. og Keng Shou-ch ‘ ang (fl. 75-49 f.kr.). I en undersøgelse foretaget af Ch ‘ien Pao-tsung (1963) foreslås det ud fra interne tekstmæssige beviser, at Chiu-chang suan-shu blev skrevet mellem 50 F.kr. og a.D. 100, og at det er tvivlsomt, om Chang Ts’ ang og Keng Shou-ch ‘ ang havde noget at gøre med bogen. Alligevel troede Li Yen og Tu Shih-jan, begge kolleger i Ch ‘ ien Pao-tsung, stadig Liu Huis forord, da de skrev om Chiu-chang suan-shu samme år.
i løbet af det syvende århundrede blev både Chiu-chang suan-shu og Hai-tao suan-ching (a.D. 263) inkluderet i Suan-ching shih-shu (“ti matematiske manualer” a.d. 656), hvortil T ‘ ang matematiker og astronom Li Shun-feng (602-670) tilføjede sine kommentarer og kommentarer. Disse værker blev derefter standardtekster for studerende i matematik; officielle regler foreskrev, at tre år blev afsat til Liu Huis værker. Liu Huis værker fandt også vej til Japan med disse de matematiske manualer. Da skoler blev etableret i Japan i 702, og matematik blev undervist, var både Chiu-chang suan-shu og Hai-tao suan-ching blandt de foreskrevne tekster.
ifølge Ch ‘eng Ta-viis matematiske afhandling, Suan-fa t’ ung-tsung (“systematisk afhandling om aritmetik”; 1592), både Chiu-chang suan-shu og Hai-tao suan-ching blev først trykt officielt i 1084. Der var en anden trykt version af dem af Pao Huan-chih i 1213. I det tidlige femtende århundrede blev de inkluderet, skønt de var betydeligt omarrangeret, i det store Ming encyclopedia, Yung-lo ta-tien (1403-1407). I anden del af det attende århundrede rekonstruerede Tai Chen (1724-1777) disse to tekster efter at have ekstraheret dem stykkevis fra Yung-lo til-tilen. De blev efterfølgende inkluderet af K ‘ung Chi-han (1739-1787) i hans vei-po-hesieh ts’ ung-shu (1773). Tre år senere udskrev ch ‘ Kurt Tseng-fa dem separat med forord af Tai Chen.
andre reproduktioner baseret på Tai Chen ‘s rekonstruktion i vei-po-hsieh ts’ ung-shu findes i Suan-ching shih-shu (“ti matematiske manualer”) af Mei Ch ‘i-chao (1862 og i Van-yu-ven-k’ u (1929-1933) og SSU-pu ts ‘ung-k’ an-serien (1920-1922; begge af den kommercielle presse, Shanghai). To forskere fra det nittende århundrede, Chung Hsiang og Li Huang, opdagede, at visse passager i teksten var blevet gjort uforståelige af Tai Chens forsøg på at forbedre den originale tekst til Chiu-chang suan-shu. Et fragment af det tidlige trettende århundrede udgave af Chiu-chang suan-shu. bestående af kun fem kapitler, blev fundet i løbet af det syttende århundrede i Nanking, i det private bibliotek i Huang Y kursist-chi (1629-1691). Denne kopi blev set af den berømte Ch ‘ing-lærde Mei-Ting (1633-1721) i 1678, og den kom senere i besiddelse af K’ ung Chi-han (1739-1784) og derefter Chang Tun-jen (1754-1834); endelig blev det erhvervet af Shanghai Library, hvor det nu opbevares. I 1684 lavede Mao i (1640-efter 1710) en håndskrevet kopi af den originale tekst, der blev fundet i biblioteket i Huang Y Kurt-chi. Denne kopi blev senere erhvervet af kejseren under Ch ‘ ien-lung regeringstid (1736-1795). I 1932 blev det gengivet i T ‘ien-lu-lin-lang ts’ ung-shu serie.
i 1261 skrev Yang Hui Hsiang-csieh chiu-chang suan-fa (“detaljeret analyse af de matematiske regler i de ni kapitler”) for at belyse problemerne i Chiu-chang suan-shu. Ch ‘ien Pao-tsung i 1963 samlede teksten til Chiu-chang suan-shu fra Tai Chens version, fragmenterne fra den sene Sung-udgave som gengivet i T’ ien-lu-lin-lang ts ‘ung-shu-serien og Yang Hui’ s Hsiang-chieh chiu-chang suan-fa.
hvad angår Hai-tao suan-ching, er det kun den rekonstruerede version af Tai Chen, der er tilbage. Det blev gengivet i paladset udgave (før 1794), de “ti matematiske manualer” i K ‘ung Chi-Han’ s vei-po-hsieh ts ‘ung-shu, og tillægget til Ch-Kurt Tseng-fa’ s Chiu-chang suan-shu.
Chiu-chang suan-shu var tænkt som en praktisk håndbog, en slags aide-m prismoire for arkitekter, ingeniører, embedsmænd og håndværkere. Dette er grunden til tilstedeværelsen af så mange problemer med at bygge kanaler og diger, bymure, beskatning, byttehandel, offentlige tjenester osv. Den består af ni kapitler med i alt 246 problemer. Kapitlerne kan skitseres som følger:
(1) Fang-T ‘ ien (“landmåling”) indeholder reglerne for at finde områderne af trekanter, trapesoider, rektangler, cirkler, sektorer af cirkler og annuli. Det giver regler for addition, subtraktion, multiplikation og opdeling af fraktioner. Der er en interessant, men unøjagtig formel for området af segmentet af A, hvor akkordet c og sagitta s er kendt, i form s(c + s)/2. Dette udtryk optrådte senere i løbet af det niende århundrede i Mah Karrusv Karrusra ‘ s Ganitas Karrasangraha.
af særlig interesse er værdien af forholdet mellem omkredsen af en cirkel og dens diameter, som Liu Hui brugte. Den gamle værdi af Kurt, der blev brugt i Kina, var 3, men siden det første århundrede havde kinesiske matematikere søgt efter en mere nøjagtig værdi. Liu Hsin (d. A.D. 23) brugte 3.1547, mens Chang Hen (78-139) gav 10 og 92/29. Vang Fan (219-257) fandt 142/45, og derefter gav Liu Hui 3,14. De vigtigste navne i denne forbindelse er dog de af Tsu Ch ‘ung-chih (430-501), en strålende matematiker, astronom og ingeniør af Liu Sung og Ch’ i dynastier, og hans søn, Tsu Cheng-chih. Tsu Ch ‘ ung-chih gav to værdier for kurr først en “unøjagtig” en (yo l kurr), svarende til 22/7, givet tidligere af Archimedes, og derefter en “mere nøjagtig” en ((mi lu)), 355/113 (3.1415929). Han ledte endda efter yderligere tilnærmelser og fandt ud af, at Kristus ligger mellem 3.1415926 og 3.1415927. Hans metode blev sandsynligvis beskrevet i Chui Shu, som han og hans søn skrev, men nu er tabt. Tsu Ch ‘ung-chih’ s værdi på 355/113 for Kurt forsvandt i mange århundreder i Kina, indtil den igen blev taget op af Chao Yu-ch ‘ in ((fl, ca. 1300)). Liu Hui opnåede den nøjagtige værdi 3,14 ved at tage forholdet mellem omkredsen af en regelmæssig polygon på seksoghalvfems sider til diameteren af en cirkel, der omslutter denne polygon. Lad os begynde med en regelmæssig sekskant af side L6. Forholdet mellem sekskantens omkreds og diameteren af cirklen, der omslutter den, er 3. Hvis vi ændrer sekskanten til en regelmæssig polygon på tolv sider, som vist i Figur 1—bemærker, at L6 = r, radius af den omskrevne cirkel—så er siden af den tolvsidede polygon givet af
derfor, hvis LNER kendt, så kan L2n findes fra udtrykket
tager r = 1, kan følgende værdier findes: L6 = 1; L12 = 0,517638; L24 = 0, 261052; L48 = 0, 130806; L96 = 0, 065438.
omkredsen af en regulær polygon på n = 96 og r = 1 er 96 liter 0,065438 = 6,282048. Derfor = 6.282048/2 = 3.141024, eller ca.3.14. Liu Hui brugte også en polygon på 3.072 sider og opnåede sin bedste værdi, 3.14159.
(2) Su-mi (“hirse og ris”) omhandler procenter og proportioner. Ubestemte ligninger undgås i de sidste ni problemer i dette kapitel ved brug af proportioner.
(3)Ts ‘ UI-fen(“fordeling efter Progression”) vedrører fordeling af ejendomme blandt partnere i henhold til givne satser. Det omfatter også problemer i beskatning af varer af forskellige kvaliteter, og andre i aritmetiske og geometriske progressioner, alle løst ved brug af proportioner.
(4)Shao-kuang (“aftagende bredde”) indebærer at finde siderne af et rektangel, når området og en af siderne er givet, omkredsen af en cirkel
når dets område er kendt, siden af en terning givet dens volumen og diameteren af en kugle med kendt volumen. Anvendelsen af det mindst almindelige multiplum i fraktioner er vist. Det er interessant, at enhedsfraktioner anvendes for eksempel i problem 11 i dette kapitel. Den givne bredde af en rektangulær form udtrykkes som
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
problemerne i dette kapitelfører også til udvinding af firkantede rødder og kuberødder; problem 13 involverer for eksempel at finde kvadratroden på 25.281. Ifølge metoden i Chiu-chang suan-shu er dette tal, kendt som shih (udbytte), først placeret i anden række fra toppen af tællebrættet. Dernæst sættes en tællestang, kaldet den foreløbige chieh-suan, på den nederste række af tællebrættet i den fjerneste højre cifret kolonne. Denne stang flyttes til venstre, to steder ad gangen, for som det kan gå uden at overskride det længst venstre ciffer i nummeret i shih-rækken. Med sin nye stedværdi kaldes denne stang chieh-sucn. Det er vist i figur 2a.
den første figur af roden viser sig at ligge mellem 100 og 200. Derefter tages 1 som den første figur af roden og placeres på den øverste række i kolonnen hundreder. Den øverste række kaldes fang. Chieh-suan multipliceres med den første figur af roden. Produktet, kaldet fa, er placeret i tredje række. Shih (25.281) mindre fa (10.000) efterlader den “første rest” (15.281), som er skrevet på anden række, som vist i figur 2b. efter opdelingen er foretaget, fordobles fa for at danne ting-fa. Dette flyttes et ciffer til højre, mens chieh-suan forskydes to cifre til højre, som vist i figur 2C.
den anden figur, valgt ved forsøg og fejl, viser sig at ligge mellem 5 og 6. Ti-cifret anses derfor for at være 5 og placeres i sin passende position på den øverste række i figur 2e. Chieh-suan (som nu er 100) ganges med dette andet tal, og produktet føjes til ting-fa, som bliver 2.500. Ting-fa ganget med 5 trækkes fra den første rest, hvilket giver en rest af 2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), som vist i figur 2D. ting-fa skiftes næste et ciffer til højre og chieh-suan to steder (se figur 2e). Den tredje figur, der igen er valgt ved forsøg og fejl, viser sig at være 9. Dette enhedsciffer er placeret i sin passende position på øverste række. Chieh-suan, som nu er 1, multipliceres med denne tredje figur, og produktet tilsættes til ting-fa, som bliver 259. Den anden rest er divideret med ting-fa, som efterlader en rest på nul (2,781 ÷ 259 = 9 +0). Derfor er svaret 159 (se figur 2F).
(5) Shang-kung (“konsultationer om ingeniørarbejder”) giver mængderne af sådanne faste figurer som prisme, pyramiden, tetrahedronen, kilen, cylinderen, keglen og keglens frustum:
(a) volumen af firkantet prisme = kvadrat af siden af basistider højde.
(b) volumen af cylinder =1/12 kvadrat af omkreds af cirkel gange højde (hvor det er taget til at være ca.3).
(c) volumen af afkortet firkantet pyramide = 1/3 højden gange summen af kvadraterne på siderne af de øvre og nedre firkanter og produktet af siderne af de øvre og nedre firkanter.
(d) volumen af firkantet pyramide = 1/3 højden gange kvadratet på siden af basen.
(e) volumen af frustum af en cirkulær kegle = 1/36 højden gange summen af kvadraterne af omkredsen af de øvre og nedre cirkulære flader og produktet af disse to omkredse (hvor kr.anses for at være ca. 3).
(f) volumen af cirkulær kegle = 1/36 højden gange kvadratet af omkredsen af basen (hvor der anses for at være ca.3).
(g) volumen af et højre trekantet prisme = 1/2 produktet af bredden, længden og højden.
(h) volumen af en rektangulær pyramide = 1/3 produktet af bredden og længden af basen og højden.
(i) volumen af tetraeder med to modsatte kanter vinkelret på hinanden = 1/6 produktet af de to vinkelrette modsatte kanter og den vinkelrette fælles for disse to kanter.
(6) Ch Kurtn-shu(“upartisk beskatning”) vedrører problemer med forfølgelse og alligation, især i forbindelse med den tid, der kræves for skatteyderne at få deres kornbidrag fra deres oprindelige byer til hovedstaden. Det omhandler også problemer med nøgletal i forbindelse med fordelingen af skattebyrder efter befolkningen. Problem 12 i dette kapitel siger:
en god løber kan gå 100 skridt, mens en dårlig løber går 60 skridt. Den dårlige løber har gået en afstand på 100 skridt, før den gode løber begynder at forfølge ham. I hvor mange skridt vil den gode løber indhente?
(7) Ying pu-Tsu eller Ying-n Kurt (“overskud og mangel”). Ying, der henviser til fuldmånen, og pu-Tsu eller n Kurt til nymåne, betyder henholdsvis “for meget” og “for lidt”. Dette afsnit omhandler en kinesisk algebraisk opfindelse, der hovedsagelig anvendes til at løse problemer af typen økse + b = 0 på en ret rundkørsel. Metoden blev kendt i Europa som reglen om falsk position. I denne metode foretages to gæt, H1 og H2, hvilket giver anledning til henholdsvis værdier c1 og c2, enten større eller mindre end 0. Fra disse har vi følgende ligninger:
multiplicere (1) med H2 og (2) med H1, vi har
fra (1) og (2),
derfor
Problem 1 i dette kapitel siger:
i en situation, hvor visse ting købes i fællesskab , hvis hver person betaler 8 , er overskuddet 3, og hvis hver person betaler 7, er manglen 4. Find antallet af personer og prisen på de medbragte ting.
ifølge metoden for overskud og mangel sættes satserne (det vil sige “gætterne” 8 og 7) først på tællebrættet med overskuddet (3) og manglen (-4) placeret under dem. Satserne krydses derefter ganget med overskud og mangel, og produkterne tilføjes for at danne udbyttet. Derefter tilføjes overskuddet og manglen sammen for at danne divisoren. Kvotienten giver det korrekte beløb, der skal betales af hver person. For at få antallet af personer skal du tilføje overskydende og mangel og dividere summen med forskellen mellem de to satser. Med andre ord opnås h og a ved hjælp af ligninger (5) og (4) ovenfor.
nogle gange kan et ligetil problem omdannes til et, der involverer brugen af reglen om falsk position. Problem 18 i samme kapitel siger:
der er 9 stykker guld og 11 stykker sølv. De to partier vejer det samme. Et stykke er taget fra hvert parti og sat i den anden. Partiet, der hovedsageligt indeholder guld, viser sig nu at veje mindre end partiet, der hovedsageligt indeholder sølv med 13 ounces. Find vægten af hvert stykke guld og sølv.
her er to gæt lavet for vægten af guld. Metoden siger, at hvis hvert stykke guld vejer 3 pund, ville hvert stykke sølv veje 2 5/11 pund, hvilket giver en mangel på 49/11 ounces; og hvis hvert stykke guld vejer 2 pund, ville hvert stykke sølv veje 1 7/11 pund, hvilket giver et overskud på 15/11 ounces. Herefter anvendes reglen om falsk position.
(8) Fang-ch ‘ eng (“beregning ved tabulering”) vedrører samtidige lineære ligninger ved hjælp af både positive og negative tal. Problem 18 i dette kapitel involverer fem ukendte, men giver kun fire ligninger og indvarsler således den ubestemte ligning. Processen med at løse samtidige lineære ligninger givet her er den samme som den moderne procedure til løsning af det samtidige system
A1H + b1y + C1H = d1
A2H + b2y + C2H = d2
A3H + b2y + C3H = d3,
bortset fra at koefficienterne og konstanterne er arrangeret i lodrette kolonner i stedet for bliver skrevet vandret:
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3.
i dette kapitel forklarer Liu Hui også den algebraiske addition og subtraktion af positive og negative tal. (Liu Hui betegner henholdsvis positive tal og negative tal med henholdsvis røde og sorte beregningsstænger.)
(9) Kou-ku (“rette vinkler”) beskæftiger sig med anvendelsen af Pythagoras sætning. Nogle af dens problemer er som følger:
et cylindrisk stykke træ med en tværsnitsdiameter på 2 fødder, 5 inches, skal skæres i et stykke planke 7 inches tyk. Hvad er bredden? Der er et træ 20 fod højt og 3 fod i omkreds.En creeper snor sig rundt om træet syv gange og når bare toppen. Find længden af vinstokken, der er en dam 7 fødder firkantet med et rør, der vokser i midten og måler jeg fod over vandet. Reed når lige banken på vandstanden, når den trækkes mod den. Find dybden af vandet og længden af røret.
der er en bambus 10 fod høj. Når den er bøjet, berører den øverste ende jorden 3 meter væk fra stammen. Find højden af pausen,
det er interessant, at et problem svarende til 13 dukkede op i Brahmaguptas arbejde i det syvende århundrede.
Problem 20 har vakt endnu større interesse:
der er en firkantet by med ukendt dimension. En port er i midten af hver side. Tyve skridt ud af Nordporten er et træ. Hvis man går 14 skridt fra Sydporten, drejer mod vest og tager 1.775 skridt, vil træet bare komme til syne. Find længden af siden af byen.
bogen angiver, at svaret kan opnås ved at udvikle roden til den kvadratiske ligning.
2 + (14 + 20) = 2(1775 20).
metoden til løsning af denne ligning er ikke beskrevet. Mikami antyder, at det er meget sandsynligt, at rodekstraktionen blev udført med et yderligere udtryk i førstegradskoefficienten i det ukendte, og at dette yderligere udtryk blev kaldt tsung, men i hans bogstavelige oversættelse af nogle dele af teksten vedrørende rodekstraktioner bemærker han ikke, at de successive trin svarer nøje til dem i Horners metode. Ch ‘ ien Pao-tsung og Li Yen har begge forsøgt at sammenligne metoden beskrevet i Chiu-chang suan-shu med Horner, men de har ikke afklaret de tekstmæssige uklarheder. Vang Ling og Needham siger, at det er muligt at vise, at hvis teksten til Chiu-chang suan-shu følges meget omhyggeligt, er det væsentlige ved de metoder, som kineserne bruger til at løse numeriske ligninger i den anden og højere grad, svarende til den, der blev udviklet af Horner i 1819, til stede i et værk, der kan dateres i det første århundrede f.kr.
Hai-tao suan-ching, oprindeligt kendt under navnet Ch ‘ung ch’ a (“metode til Dobbeltforskelle”), blev vedlagt Chiu-Chang Suan-Shu som sit tiende kapitel. Det blev adskilt fra hovedteksten i det syvende århundrede, da de “ti matematiske manualer” blev valgt, og fik titlen Hai-tao suan-cluig. Ifølge Mikami var udtrykket ch ‘ung ch’ a beregnet til at betyde dobbelt eller gentagen anvendelse af proportioner af siderne af højre trekanter. Navnet Hai-tao kom sandsynligvis fra det første problem i bogen, der beskæftiger sig med en ø i havet. Bestående af kun ni problemer svarer bogen til mindre end et kapitel i Chiu-chang suan-shu.
i sit forord beskriver Liu Hui den klassiske kinesiske metode til bestemmelse af afstanden fra solen til den flade jord ved hjælp af dobbelt triangulering. Ifølge denne metode blev to lodrette poler otte meter høje rejst på samme niveau langs den samme meridian, den ene ved den gamle Chou-hovedstad Yan-ch ‘ eng og den anden 10.000 li (1 ,li = 1.800 fod) mod nord. Længderne af skyggerne kastet af solen ved middagstid af sommersolhverv blev målt, og fra disse kunne solens afstand udledes. Liu Hui viser derefter, hvordan den samme metode kan anvendes på mere daglige eksempler. Problem 1 siger:
en havø ses på afstand. To poler, hver 30 fod høje, er rejst på samme niveau 1.000 pu fra hinanden, så stangen bagpå er i en lige linje med øen og den anden pol. Hvis man bevæger sig 123 pu tilbage fra den nærmere pol, er toppen af den lige synlig gennem enden af stangen, hvis han ser den fra jordoverfladen. Skulle han flytte 127 pu tilbage fra den anden stang, er toppen af øen lige synlig gennem enden af stangen, hvis den ses fra jordoverfladen. Find højden af øen og dens afstand fra Polen. pol er 102 li, 150 pu (300 pu = 1 li).]
reglen for løsning af dette problem er givet som følger:
Multiplicer Polens højde med afstanden mellem polerne, og divider produktet med forskellen mellem de afstande, man skal gå tilbage fra polerne for at se det højeste punkt på øen. Tilføjelse af Polens højde til kvotienten giver øens højde. For at finde afstanden fra den nærmere pol til øen skal du multiplicere afstanden, der gik tilbage fra den Pol, med afstanden mellem polerne. At dele produktet med forskellen mellem de afstande, man skal gå tilbage fra polerne, giver denne afstand.
Problem 7 er af særlig interesse:
en person kigger ind i en afgrund med et stykke hvid sten i bunden. Fra kysten drejes en tværstang for at ligge på den side, der normalt er lodret . Hvis basen er 3 fod, og man ser på overfladen af vandet fra spidsen af basen, møder synslinjen højden på tværstangen i en afstand af 4 fod, 5 tommer; og når man ser på klippen, møder synslinjen højden på tværstangen i en afstand af 2 fod, 4 tommer. En lignende tværstang er sat op 4 fod over den første. Hvis man ser fra spidsen af basen, ville synslinjen til vandoverfladen opfylde højden af tværstangen i en afstand af 4 fødder; og hvis man ser på klippen, vil det være 2 fødder, 2 inches. Find dybden af vandet.
i figur 3, hvis P er vandoverfladen over den hvide klippe, er R og BC og FG de to tværstænger, derefter BC = FG = 3 fod; GC = 4 fod; AC = 4 fod, 5 tommer; DC = 2 fod, 4 tommer; EG = 4 fod; og HG = 2 fod, 2 tommer. Dybden af vandet, PR, søges. For at få svaret giver Liu Hui følgende regel:
Liu Hui har ikke taget højde for her brydningsindekset for vand. Den givne regel er en udvidelse af den, der bruges til løsning af problem 4, som bruger den samme metode til bestemmelse af dybden af en dal:
en person ser på en dyb dal. Fra kanten af dalen drejes en tværstang for at ligge på den side, der normalt er lodret . Basen
er 6 fod lang. Hvis man ser på bunden af dalen fra kanten af basen, synslinjen møder den lodrette side i en afstand af 9 fødder, 1 tomme. En anden tværstang er sat 30 fod direkte over den første. Hvis bunden af dalen observeres fra kanten af basen, vil synslinjen møde den lodrette side i en afstand af 8 fod, 5 tommer. Find dybden af dalen.
hvis vi igen henviser til figur 3, ignorerer de ødelagte linjer, har vi CB = GF = 6 fod; CG = 30 fod; AC = 9 fod, 1 tommer; EG = 8 fod, 5 tommer; og CK er dybden. Fra lignende trekanter ABC og PBK,
PB · AC = PK · CB;
og fra lignende trekanter EFG og PFK,
PF · EG = PK · GF.
siden CB = GF, og KF = KB = BF,
KB · AC = (KB + BF)EG,
KB(AC – EG) = BF · EG = GC · EG,
det vil sige
(KK + CB) (AC-EG) = GC * f. eks.
derfor
i problem 7 opnår man også afstanden fra banken til bunden af afgrunden (CS i figur 3) fra udtrykket
PR er afledt af forskellen mellem CS og KK.
hvad angår de andre problemer, vedrører problem 2 at finde højden på et træ på en bakke; problem 3 omhandler størrelsen på en fjern muret by; problem 5 viser, hvordan man måler højden på et tårn på en slette set fra en bakke; problem 6 giver en metode til at finde bredden af en kløft set fra en afstand på land; problem 8 er et tilfælde af at finde bredden af en flod set fra en bakke; og problem 9 søger størrelsen på en by set a-bjerget.
bibliografi
en moderne udgave. af Chiu-chang suan-shu er vol. 1121 i Ts ‘ ung-Shu Chi-ch-serien (Shanghai, 1936).
værker, der beskæftiger sig med Liu Hui og hans skrifter er Ch ‘ ien Pao-tsung, Suan-ching shih-shu(“ti matematiske manualer”), 2 bind. (Peking, 1963), 83-272; og Chung-kuosuan-HS krisheh-shih (“historie om kinesisk matematik”) (Peking 1964), 61-75; L.van H Kriste, “Le Hai Tao Suan Ching de Lieou,” i T ‘ young Pao, 20 (1921), 51-60; HS-kursist Shunfang, Chung-suan chia te tai-HS kursisteh yen-chiu (“en undersøgelse af Algebra af kinesiske matematikere”) (Peking, 1955), 1-8; Li Yen, Chung-kno shu-HS Kursisth ta-kang (“oversigt over Kinesisk matematik” i (Shanghai, 1931); og Chungkuo Suan-HS Krisheh-Shih(“Kinesisk matematikhistorie”) (Shanghai, 1937;Rev. Red., 1955), 16, 19, 21; Li Yen og Tu Shih-jan, Chung-kuo ku-tai shu-HS kursheh chien-shih (“kort historie om gammel kinesisk matematik”) I (Peking, 1963), 45-77; Yoshio Mikami, udviklingen af matematik i Kina og Japan (Ny York, 1913); Joseph Needham, videnskab og Civilisation i Kina,III (Cambridge, 1959), 24-27; George Sarton, Introduktion til videnskabens historie, 3 bind. (Baltimore, 1927-1947), esp. I, 338; Vang Ling, “Chiu-Chang Suan-Shu og historien om kinesisk matematik under Han-dynastiet,” en ph.d. – diss. (Cambridge Univ. 1956); Vang Ling og Joseph Needham, “Horner’ metode i kinesisk matematik; dens oprindelse i Han-Dynastiets Rodudvindingsprocedure, “i T’ oung Pao,43 (1955), 345-401; kinesisk forskning (Shanghai, 1897; repr. Peking, 1936 og Taipei, 1966), 170-174.
nogle vigtige specielle undersøgelser af Chiu-chang suan-shu er E. I. Bereskina, “Drevnekitaysky traktat matematika v devyati knigach” (“den gamle kinesiske matematiske afhandling i ni bøger”), i Istoriko-matematicheskie isslidovaniya,10 (1957), 423-584, en russisk trans. af Chiu-chang suan-shu; Kurt Vogel, Neun B. K. Aritcher Arithme-tischer Technik (1968), en tysk trans og undersøgelse af værket; og A. P. Youschkevitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (1964), 1-88 (“Die Mathematik i Kina”), oversat fra russisk.
adgang til gamle biografiske noter og bibliografiske citater vedrørende matematiske værker er Hu y Kurt-chin, Ssu-K’ u-t ‘ i-Yao PU-Ch Kurtng (“tillæg til Ssu-K’ u-T ‘i-yao”), 2 bind, (Taipei, 1964-1967); og Ting Fu-pao og Chou y Kurtn-ch ‘ ing, Ssu-Pu-Tsung-Lu Suan-Fa-pien (“bibliografi over matematiske bøger som supplement til SSU-k’ u-ch ‘uan-Shu Encyclopedia”; Shanghai, 1956).
flere oplysninger om Suan-Ching Shi-Shu kan findes i Needham, videnskab og Civilisation i Kina, III, 18; Og I A. Hummel, fremtrædende kinesere fra Ch ‘ ing-perioden (1943), s. 697.
de to eksisterende bind af Yung-Lo Ta-Tien encyclopedia er blevet gengivet fotografisk (Peking, 1960); de viser, at arrangementet var i henhold til matematiske procedurer og ikke af forfattere.
Ho Peng-Åg
