Kolmogorov-Mikroskalen

Kolmogorov-Mikroskalen sind die kleinsten Skalen in turbulenter Strömung. Auf der Kolmogorov-Skala dominiert die Viskosität und die turbulente kinetische Energie wird in Wärme umgewandelt. Sie sind definiert durch

Kolmogorov Längenskala	η = ( ν 3 ε ) 1 / 4 {\displaystyle \eta =\links({\frac {\nu ^{3}}{\varepsilon }}\rechts)^{1/4}}
Kolmogorow-Zeitskala	τ η = ( ν ε ) 1/2 {\displaystyle \tau _{\eta }=\links({\frac {\nu }{\varepsilon }}\rechts)^{1/2}}
Kolmogorow-Geschwindigkeitsskala	u η = ( ν ε ) 1 / 4 {\displaystyle u_{\eta }=\links(\nu \varepsilon \rechts)^{1/4}}

wobei ε {\displaystyle \varepsilon } die durchschnittliche Dissipationsrate der turbulenzkinetischen Energie pro Masseneinheit ist und ν {\displaystyle \nu } die kinematische Viskosität des Fluids ist. Typische Werte der Kolmogorov-Längenskala für atmosphärische Bewegungen, bei denen die großen Wirbel Längenskalen in der Größenordnung von Kilometern haben, liegen zwischen 0, 1 und 10 Millimetern; für kleinere Strömungen wie in Laborsystemen kann η {\displaystyle \eta } viel kleiner sein.

In seiner Theorie von 1941 führte Andrey Kolmogorov die Idee ein, dass die kleinsten Turbulenzskalen universell sind (ähnlich für jede turbulente Strömung) und dass sie nur von ε {\displaystyle \varepsilon } und ν {\displaystyle \nu } abhängen. Die Definitionen der Kolmogorov-Mikroskalen können unter Verwendung dieser Idee und dimensionalen Analyse erhalten werden. Da die Dimension der kinematischen Viskosität Länge ist2 / Zeitund die Dimension der Energiedissipationsrate pro Masseneinheit ist Länge2 / Zeit3die einzige Kombination, die die Dimension der Zeit hat, ist τ η = ( ν / ε ) 1 / 2 {\displaystyle \tau _{\eta }=(\nu /\varepsilon )^{1/2}} das ist die Kolmorogov-Zeitskala. In ähnlicher Weise ist die Kolmogorov-Längenskala die einzige Kombination aus ε {\displaystyle \varepsilon } und ν {\displaystyle \nu } , die eine Längendimension aufweist.

Alternativ kann die Definition der Kolmogorov-Zeitskala aus der Umkehrung des mittleren quadratischen Dehnungsratentensors erhalten werden, τ η = ( 2 ⟨ E i j E i j ⟩ ) − 1 / 2 {\displaystyle \tau _{\eta }=(2\langle E_{ij}E_{ij}\rangle )^{-1/2}} das ergibt auch τ η = ( ν/ε ) 1 / 2 {\displaystyle \tau _{\eta }=(\nu/\varepsilon )^{1/2}} unter Verwendung der Definition der Energiedissipationsrate pro Masseneinheit ε = 2 ν ⟨ E i j E i j ⟩ {\displaystyle \varepsilon =2\nu \langle E_{ij}E_{ij}\rangle } . Dann kann die Kolmogorov-Längenskala als die Skala erhalten werden, bei der die Reynolds-Zahl gleich 1 ist, R e = U L / ν = ( η / τ η ) η / ν = 1 {\displaystyle {\mathit {Re}}=UL/\nu =(\eta /\tau _{\eta })\eta /\nu =1} .

Die Kolmogorov-Theorie von 1941 ist eine mittlere Feldtheorie, da sie davon ausgeht, dass der relevante dynamische Parameter die mittlere Energiedissipationsrate ist. In Fluidturbulenzen schwankt die Energiedissipationsrate in Raum und Zeit, so dass man sich die Mikroskalen als Größen vorstellen kann, die auch in Raum und Zeit variieren. Die übliche Praxis besteht jedoch darin, mittlere Feldwerte zu verwenden, da sie die typischen Werte der kleinsten Skalen in einem bestimmten Fluss darstellen.