Kondo-Effekt

Der Kondo-Effekt ist ein ungewöhnlicher Streumechanismus von Leitungselektronen in einem Metall aufgrund magnetischer Verunreinigungen, der einen Term zum spezifischen elektrischen Widerstand beiträgt, der logarithmisch mit der Temperatur zunimmt, wenn die Temperatur T abgesenkt wird (als \(\log (T)\)). Es wird manchmal allgemeiner verwendet, um Vielteilchenstreuungsprozesse aus Verunreinigungen oder Ionen zu beschreiben, die quantenmechanische Freiheitsgrade mit niedriger Energie aufweisen. In diesem allgemeineren Sinne ist es zu einem Schlüsselkonzept in der Physik der kondensierten Materie geworden, um das Verhalten metallischer Systeme mit stark wechselwirkenden Elektronen zu verstehen.

• 1 Hintergrund zum Kondo-Effekt
• 2 Details zu Kondos Berechnung
• 3 Das Kondo-Problem
• 4 Direkte Beobachtung der Kondo-Resonanz in Quantenpunkten
• 5 Verwandte Entwicklungen
• 6 Referenzen
• 7 Weiterführende Literatur
• 8 Siehe auch

Hintergrund des Kondo-Effekts

Der dominante Beitrag zum spezifischen elektrischen Widerstand in Metallen ergibt sich aus der Streuung der Leitungselektronen durch die Kerne, wenn sie um ihre Gleichgewichtspositionen schwingen (Gitterschwingungen). Diese Streuung nimmt mit der Temperatur rapide zu, da immer mehr Gitterschwingungen angeregt werden. Dadurch steigt der spezifische elektrische Widerstand in den meisten Metallen monoton mit der Temperatur an; hinzu kommt ein resttemperaturunabhängiger spezifischer Widerstand durch die Streuung der Elektronen mit Defekten, Verunreinigungen und Leerstellen im sehr niedrigen Temperaturbereich, wo die Gitterschwingungen fast abgestorben sind. Im Jahr 1934 wurde jedoch ein Widerstandsminimum in Gold als Funktion der Temperatur beobachtet (de Haas, de Boer und van den Berg 1934), was darauf hindeutet, dass es einen zusätzlichen Streumechanismus geben muss, der einen anomalen Beitrag zum spezifischen Widerstand leistet – einen, der mit abnehmender Temperatur an Festigkeit zunimmt. Andere Beispiele von Metallen, die ein Widerstandsminimum zeigten, wurden später beobachtet, und sein Ursprung war ein langjähriges Rätsel für etwa 30 Jahre. In den frühen 1960er Jahren wurde erkannt, dass die Widerstandsminima mit magnetischen Verunreinigungen im metallischen Wirt verbunden sind – einer magnetischen Verunreinigung, die aufgrund des Spins ungepaarter Elektronen in ihrer atomaren d- oder f-Schale ein lokales magnetisches Moment aufweist. Ein sorgfältig untersuchtes Beispiel, das die Korrelation zwischen den Widerstandsminima und der Anzahl der magnetischen Verunreinigungen zeigt, ist das von Eisenverunreinigungen in Gold (van den Berg, 1964). Im Jahr 1964 zeigte Kondo im Detail, wie bestimmte Streuprozesse von magnetischen Verunreinigungen — diejenigen, bei denen der interne Spinzustand der Verunreinigung und des gestreuten Elektrons ausgetauscht werden — zu einem spezifischen Widerstandsbeitrag führen könnten, der sich als \({\rm log} (T) \ ,\) verhält und somit eine zufriedenstellende Erklärung der beobachteten Widerstandsminima liefert — eine Lösung für das langjährige Rätsel (siehe Abbildung 2).

Details von Kondos Berechnung

Betrachten Sie eine kleine Menge magnetischer Verunreinigungen in einem Metall. Um den spezifischen elektrischen Widerstand zu berechnen, der sich aus diesen Verunreinigungen ergibt, berechnet man zuerst die Streuwahrscheinlichkeit für ein Elektron aus einer einzelnen Verunreinigung und multipliziert sie dann mit der Anzahl der Verunreinigungen. Unter Berücksichtigung der Spins des Elektrons und der Verunreinigung betrachten wir den Fall, dass das Elektron mit Wellenzahl \( k\ ,\) und Spin down \(\downarrow \,\) in einem Zustand mit seinem Spin up \(\uparrow \) mit der Verunreinigung kollidiert und in einen Zustand mit Wellenzahl \( k’\) mit Spin down \(\downarrow,\) gestreut wird, während die Verunreinigung in einem Zustand mit Spin up \(\uparrow\) verbleibt .\) Schreiben wir das Matrixelement für diesen Prozess als

\

Diese Art des Streuprozesses war bereits berücksichtigt worden. Kondo (1964) betrachtete einen Korrekturterm höherer Ordnung, bei dem das Elektron in den Zustand mit der Wellennummer \ ( k “ \) gestreut wird und \ ( \ uparrow \) die Verunreinigung verlässt, als einen Spin-Down-Zustand \ (\ downarrow \) —- ein Streuprozess, der einen Spin-Flip der Verunreinigung beinhaltet. Dies ist nur ein Zwischenzustand, und wir müssen einen weiteren Streuprozess berücksichtigen, um zu demselben Endzustand wie in Gleichung (1) zu gelangen, in dem der Spin-Flip umgekehrt wird, so dass sich das gestreute Elektron im Zustand \( k ‚, \ downarrow \) befindet und die Verunreinigung in den Zustand mit Spin up \ (\ uparrow \) zurückgeführt wird (für eine schematische Darstellung dieses Streuprozesses siehe Abbildung 1). Wir summieren \(k“\) über alle möglichen Zwischenzustände und so ist nach der Quantenmechanik das gesamte Matrixelement für diesen Prozess gegeben durch

\

\ , \]

wobei \( R_0 \) der spezifische Widerstand ist, der nur unter Berücksichtigung des ersten Terms von gl.(1). Das Vorzeichen der Austauschwechselwirkung \( J \) zwischen den Leitungselektronen und der Verunreinigung ist wichtig. Wenn \( J > 0 \ ,\) dann neigt diese Wechselwirkung dazu, die magnetischen Momente des Leitungselektrons und die magnetischen Momente der Verunreinigung in die gleiche Richtung auszurichten (ferromagnetischer Fall). Wenn \(J < 0 \ ,\) dann diesinteraktion neigt dazu, die magnetischen Momente des Leitungselektrons und die magnetischen Momente der Verunreinigung in die entgegengesetzte Richtung auszurichten (antiferromagnetischer Fall). Nur im antiferromagnetischen Fall trägt der zusätzliche Streuterm zum spezifischen Widerstand bei, der mit abnehmender Temperatur zunimmt. Es kann gezeigt werden, dass eine solche antiferromagnetische Austauschkopplung entsteht, wenn ein degenerierter 3d- oder 4f-Zustand einer magnetischen Verunreinigung mit den Leitungselektronen hybridisiert (siehe Schriefferand Wolff (1966)).

Durch die Kombination des Beitrags im antiferromagnetischen Fall mit dem Beitrag der Streuung mit Gitterschwingungen konnte Kondo einen detaillierten Vergleich mit den Experimenten für Eisenverunreinigungen in Gold durchführen und zeigen, dass dieser zusätzliche Streumechanismus eine sehr zufriedenstellende Erklärung der beobachteten Widerstandsminima liefern kann, wie in Abbildung 2 gezeigt.

Abbildung 1: Eine schematische Darstellung des Spin-Flip-Streuprozesses, bei dem ein Down-Spin-Leitungselektron (dicke Linie) durch die Verunreinigung (gepunktete Linie) in einen intermediären Spin-Up-Zustand gestreut wird.

Abbildung 2: Ein Vergleich der experimentellen Ergebnisse (Punkte) für den spezifischen Widerstand von Eisenverunreinigungen in Gold bei sehr niedrigen Temperaturen mit den Vorhersagen (Vollkurven), die logarithmischen Ausdruck aufgrund des Kondo-Effekts enthalten (aus dem Papier von Kondo (1964))

Das Kondo-Problem

Das Problem, wie Kondos Berechnungen erweitert werden können, um eine zufriedenstellende Lösung im Niedertemperaturbereich zu erhalten, \(T < T_ {\rm K}\ ,\) wurde als Kondo-Problem bekannt und zog die Aufmerksamkeit vieler Theoretiker auf das Gebiet in den späten 1960er und frühen 1970er Jahren. Das physikalische Bild, das aus dieser konzertierten theoretischen Anstrengung hervorging, im einfachsten Fall, wo die magnetische Verunreinigung einen ungepaarten Spin \(S = 1/2 \) (2-fach degeneriert) hat, ist, dass dieser Spin allmählich von den Leitungselektronen abgeschirmt wird, wenn die Temperatur abgesenkt wird, so dass er sich als \ (T \ bis 0 \) effektiv als nichtmagnetische Verunreinigung verhält und einen temperaturunabhängigen Beitrag zum spezifischen Widerstand in diesem Regime leistet. Darüber hinaus wurde der Schluss gezogen, dass die Beiträge der Verunreinigung zur magnetischen Suszeptibilität, zur spezifischen Wärme und zu anderen thermodynamischen Eigenschaften alle als universelle Funktionen von \( T / T_ {\rm K} \ ausgedrückt werden können.\)

Definitive Ergebnisse, die dieses Bild bestätigen, wurden von Wilson (1975) unter Verwendung einer nicht-störenden Renormierungsgruppenmethode erhalten, die auf dem früheren Skalierungsansatz von Anderson (1970) aufbaute. Eine weitere Bestätigung kam in Form von exakten Ergebnissen für die Thermodynamik des Kondo-Modells von Andrei (1980) und Wiegmann (1980) durch Anwendung der Bethe-Ansatz-Methode, die 1931 von Bethe zur Lösung des eindimensionalen Heisenberg-Modells entwickelt wurde (wechselwirkende lokale Spins, gekoppelt durch eine Austauschinteraktion \ ( J \)). Kurz nach Wilsons Arbeit zeigte Nozieres (1974), wie die Ergebnisse im sehr niedrigen Temperaturregime aus einer Fermi-Flüssigkeitsinterpretation des niederenergetischen Fixpunkts abgeleitet werden konnten. In der Landau-Fermi-Flüssigkeitstheorie können die niederenergetischen Anregungen eines Systems wechselwirkender Elektronen als Quasiteilchen interpretiert werden. Die Quasiteilchen entsprechen den ursprünglichen Elektronen, haben jedoch aufgrund der Wechselwirkung mit den anderen Elektronen eine modifizierte effektive Masse \(m ^ *\). Es gibt auch eine verbleibende effektive Wechselwirkung zwischen den Quasiteilchen, die asymptotisch genau behandelt werden kann (\(T \ bis 0 \)) in einer selbstkonsistenten mittleren Feldtheorie. Im Kondo-Problem sind die inverse effektive Masse der Quasiteilchen \( 1 / m ^ * \) und ihre effektive Wechselwirkung beide proportional zur einzelnen renormierten Energieskala \(T_ {\rm K} \ .\) Die Dichte der diesen Quasiteilchen entsprechenden Zustände hat die Form eines schmalen Peaks oder einer Resonanz auf Fermi-Ebene mit einer Breite proportional zu \(T_{\rm K}\ .\) Dieser Peak, der ein Vielteilcheneffekt ist, wird allgemein als Kondo-Resonanz bezeichnet. Es liefert eine Erklärung, warum die anomale Streuung magnetischer Verunreinigungen zu einem erhöhten Beitrag zum spezifischen Wärmekoeffizienten und zur magnetischen Suszeptibilität bei niedrigen Temperaturen führt \(T<<T_{\rm K}\) mit führenden Korrekturbedingungen, die sich als \((T / T_{\rm K}) ^ 2\ verhalten.\)Bei hohen Temperaturen, so dass \(T>>T_{\rm K}\ ,\), wenn die magnetischen Verunreinigungen aus der Abschirmung Wolke von Leitungselektronen vergossen haben, die magnetische Suszeptibilität kehrt dann auf die Curie-Gesetz Form (dh. proportional zu \( 1/T\) ) eines isolierten magnetischen Moments, jedoch mit logarithmischen Korrekturen (\({\rm log}(T/T_{\rm K})\)).

Direkte Beobachtung der Kondo-Resonanz in Quantenpunkten

Direkte experimentelle Bestätigung des Vorhandenseins einer engen Kondo-Resonanz auf Fermi-Ebene bei niedrigen Temperaturen \( T< <T_{\rm K}\) wurde in Experimenten an Quantenpunkten erhalten. Quantenpunkte sind isolierte Elektroneninseln, die in Nanostrukturen erzeugt werden, die sich wie künstliche magnetische Atome verhalten. Diese Inseln oder Punkte sind durch Leitungen mit zwei Elektronenbädern verbunden. Elektronen können die Punkte nur dann leicht passieren, wenn auf dem Punkt in der Nähe der Fermi-Ebene Zustände verfügbar sind, die dann wie Trittsteine wirken. In der Situation, in der sich ein ungepaartes Elektron auf dem Punkt befindet, Spin \ (S = 1/2 \ ,\) in einem Pegel weit unter dem Fermi-Pegel und ein leerer Zustand weit über dem Fermi-Pegel, besteht kaum eine Chance, dass das Elektron den Punkt passiert, wenn eine kleine Vorspannung zwischen den beiden Reservoirs eingeführt wird – dies wird als Coulomb-Blockade-Regime bezeichnet (für eine schematische Darstellung dieses Regimes siehe Abbildung 3). Bei sehr niedrigen Temperaturen, wenn sich jedoch eine Kondo-Resonanz auf Fermi-Ebene entwickelt,die sich aus der Wechselwirkung des ungepaarten Punktelektrons mit den Elektronen in der Leitung und den Reservoiren ergibt, lassen die Zustände in der Resonanz das Elektron frei passieren (siehe Abbildung 4). Die Beobachtung eines Elektronenstroms, der bei sehr niedrigen Temperaturen durch einen Punkt fließt, im Coulomb-Blockade-Regime bei Anwendung einer kleinen Vorspannung wurde erstmals 1998 durchgeführt (Goldhaber-Gordon et al 1998). Es bietet eine direkte Möglichkeit, die Kondo-Resonanz zu untersuchen und zu untersuchen. Experimentelle Ergebnisse des Stroms durch einen Punkt, der den Temperaturbereich von \( T>>T_{\rm K}\) bis \( T<<T_{\rm K}\) überspannt, sind in Abbildung 5 dargestellt.Andere verwandte Vielteilcheneffekte wurden unter Verwendung verschiedener Konfigurationen von Punkten und verschiedener angelegter Spannungen untersucht, und dies ist derzeit ein sehr aktives Forschungsfeld.

Abbildung 3: Eine schematische Darstellung der diskreten Energieniveaus eines Quantenpunktes mit einer ungeraden Anzahl von Elektronen, der an zwei Elektronenreservoirs gekoppelt ist. Der Quantenpunkt befindet sich im Coulomb-Blockadenregime mit \( T>>T_{\rmk} \ .\) Es gibt keine Zustände auf dem Punkt in der Nähe des Fermi-Niveaus \( E_ {\rm F} \), um die Übertragung eines Elektrons durch den Punkt zu erleichtern, wenn eine kleine Vorspannung zwischen den Reservoirs angelegt wird. Die Pegel auf dem Punkt können durch Ändern der Gate-Spannung \ (V_{g} \), die an den Punkt angelegt wird, nach oben oder unten verschoben werden.

Abbildung 4: Eine schematische Darstellung eines Quantenpunktes im Tieftemperaturbereich, so dass \( T<<T_{\rm K} \ .\) Es gibt einen Aufbau von Zuständen auf Fermi-Ebene, da der Spin des ungeraden Elektrons auf dem Punkt durch die Kopplungsleitungen zu den Elektronen in den Reservoirs abgeschirmt wird. Diese Zustände bilden eine enge Resonanz (Kondo-Resonanz) auf der Fermi-Ebene \ ( E_ {\rm F} \), die die Übertragung eines Elektrons durch den Punkt erleichtert, wenn eine Vorspannung zwischen den Reservoirs angelegt wird.

Abbildung 5: Experimentelle Ergebnisse für die Änderungsrate des Stroms mit Vorspannung (G in Einheiten von \(e ^ 2 / h\)) für verschiedene Temperaturen als Funktion der Gate-Spannung \(V_g \,\) aus der Arbeit von van der Wiel et al. (2000), Nachdruck mit Genehmigung von AAAS. Die rote Kurve zeigt die Ergebnisse bei der höchsten Temperatur \( T> >T_{\rm K} \ :\) Es gibt einen Peak, wenn einer der diskreten Pegel auf dem Punkt den Bereich des Fermi-Pegels passiert \( E_{\rm F} \ ,\) und einen Dip, wenn der Fermi-Pegel zwischen die Pegel fällt, wie in Abbildung 3 (Coulomb-Blockade-Regime). Die schwarze Kurve zeigt die Ergebnisse bei der niedrigsten Temperatur \( T<<T_{\rm K} \ :\) Wenn eine ungerade Anzahl von Elektronen auf dem Punkt ist, wird der Strom aufgrund des Kondo-Effekts signifikant erhöht. Wenn sich eine gerade Anzahl von Elektronen auf dem Punkt befindet, gibt es kein magnetisches Nettomoment auf dem Punkt und daher keinen Kondo-Effekt. Die Reaktion nimmt in diesem Fall ab, wenn die Coulomb-Blockade bei niedrigen Temperaturen wirksamer wird. Der rechte Ausschnitt zeigt die Reaktion als Funktion der Temperatur für einen Fall mit einer ungeraden Anzahl von Elektronen, und die rote Linie zeigt an, dass der Strom im Zwischentemperaturbereich logarithmisch mit der Temperatur variiert, wie durch den Kondo-Effekt vorhergesagt.

Verwandte Entwicklungen

Streng genommen gilt der Kondo-Streumechanismus nur für metallische Systeme mit sehr geringen Mengen magnetischer Verunreinigungen (verdünnte magnetische Legierungen). Dies liegt daran, dass die Verunreinigungen indirekt durch die Leitungselektronen interagieren können (RKKY-Wechselwirkung), und es ist eindeutig zu erwarten, dass diese Wechselwirkungen mit zunehmender Anzahl magnetischer Verunreinigungen wichtig werden. Diese Wechselwirkungen werden in der Kondo-Berechnung ignoriert, die die Verunreinigungen als isoliert behandelt. Dennoch zeigen bestimmte nicht verdünnte Legierungen mit magnetischen Verunreinigungen, insbesondere solche, die die Seltenerdionen enthalten, wie Cer (Ce) und Ytterbium (Yb), ein Widerstandsminimum. Widerstandsminima können auch in einigen Verbindungen beobachtet werden, die die gleiche Art von magnetischen Ionen der seltenen Erden enthalten. In vielen Fällen liefert der Kondo-Mechanismus eine sehr zufriedenstellende quantitative Erklärung der Beobachtungen. Gute Beispiele sind die Cerverbindungen La1-xCexCu6 (siehe Abbildung 6) und Ce1-xLaxPb3 mit \( 0<x\le 1\.\) In diesen Systemen sind die Wechselwirkungen zwischen Verunreinigungen relativ gering, und bei mittleren und höheren Temperaturen wirken die magnetischen Ionen als unabhängige Streuer. Infolgedessen ist in diesem Temperaturregime die ursprüngliche Kondo-Berechnung anwendbar. Bei niedrigeren Temperaturen werden in den Verbindungen (wobei \( x = 1\)), die ein Widerstandsminimum aufweisen, aber vollständig geordnet sind, die Wechselwirkungen zwischen den magnetischen Ionen wichtig, und die Streuung der Leitungselektronen wird kohärent, im Gegensatz zur inkohärenten Streuung von unabhängigen Streuern. Daher nimmt in diesen Systemen der spezifische Widerstand unterhalb einer Kohärenztemperatur T coh aufgrund von nichtmagnetischen Verunreinigungen und Defekten schnell auf einen Restwert ab. Die Widerstandskurve zeigt dann sowohl ein Maximum als auch ein Minimum als Funktion der Temperatur an. Siehe zum Beispiel die in Abbildung 6 gezeigte Widerstandskurve für die Verbindung CeCu6 (Kurve x = 1).Weitere Beispiele für Verbindungen, die ein solches spezifisches Widerstandsmaximum aufweisen, sind in Abbildung 7 zu sehen. Die dramatischsten Effekte dieser Art treten in Seltenerd- und Aktinidverbindungen auf, die Ionen haben, die magnetische Momente tragen, aber nicht oder nur bei sehr niedrigen Temperaturen magnetisch ordnen. Diese Arten von Verbindungen sind allgemein als schwere Fermionen- oder schwere Elektronensysteme bekannt, da die Streuung der Leitungselektronen mit den magnetischen Ionen zu einer stark verbesserten (renormierten) effektiven Masse führt, wie in den Kondo-Systemen. Die effektive Masse kann in der Größenordnung des 1000-fachen der realen Masse der Elektronen liegen. Das Tieftemperaturverhalten vieler dieser Verbindungen kann als Fermi-Flüssigkeit schwerer Quasiteilchen mit induzierten schmalbandigen Zuständen (renormalisierte Banden) im Bereich des Fermi-Niveaus verstanden werden. Aufgrund der Vielfalt und komplexen Strukturen vieler dieser Materialien gibt es keine vollständige Theorie ihres Verhaltens, und es ist derzeit ein sehr aktives Forschungsgebiet sowohl experimentell als auch theoretisch.

Weiterführende Literatur

Siehe auch

Renormierungsgruppe