( fl. China, ca, a.d. 250)
Mathematik.
Über das Leben von Liu Hui ist nichts bekannt, außer dass er gegen Ende der Zeit der Drei Königreiche (221-265 n. Chr.) im Königreich Wei blühte. Seine mathematischen Schriften hingegen sind bekannt; Sein Kommentar zum Chiu-Chang suan-shu („Neun Kapitel über die mathematische Kunst“) hat die chinesische Mathematik seit weit über 1.000 Jahren tiefgreifend beeinflusst. Er schrieb ein weiteres wichtiges, aber viel kürzeres Werk: das Hai-tao suan-ching („Sea Island Mathematical Manual“).
Einige Gelehrte glauben, dass das Chiu-chang suan-shu, auch Chiu-chang suan-ching („Mathematisches Handbuch in neun Kapiteln“) genannt, bereits im dritten Jahrhundert vor Christus in China existierte.c Ch’ien Paotsung, in seinem Chung-kuo suan-hsüeh-shih, und Chang Yin-lin (Yenching Hsüeh Pao, 2, 301) haben festgestellt, dass die Titel bestimmter in den Problemen erwähnter Beamter aus Ch’in und früher (drittes und frühes zweites Jahrhundert v. Chr.). Es gibt auch Referenzen, die ein Steuersystem von 203 v. Chr. Laut Liu Huis Vorwort wurde das Buch während der Zeit von Kaiser Ch’in Shih-huang (221-209 v. Chr.) verbrannt; aber Reste davon wurden später geborgen und in Ordnung gebracht. In den folgenden zwei Jahrhunderten wurden Kommentare zu diesem Buch von Chang Ts’ang (fl. 165-142 v. Chr.) und Keng Shou-ch’ang (fl. 75-49 v. Chr.). In einer Studie von Ch’ien Pao-tsung (1963) wird aufgrund interner Textbeweise vorgeschlagen, dass das Chiu-chang suan-shu zwischen 50 v. Chr. und 100 n. Chr. geschrieben wurde und dass es zweifelhaft ist, ob Chang Ts’ang und Keng Shou-ch’ang etwas mit dem Buch zu tun hatten. Doch Li Yen und Tu Shih-jan, beide Kollegen von Ch’ien Pao-tsung, glaubten immer noch Liu Huis Vorwort, als sie im selben Jahr über das Chiu-chang suan-shu schrieben.
Während des siebten Jahrhunderts wurden sowohl das Chiu-chang suan-shu als auch das Hai-tao suan-ching (263 n.Chr.) in Suan-ching shih-shu („Zehn mathematische Handbücher“, 656 n.chr.) aufgenommen, zu dem der T’ang-Mathematiker und Astronom Li Shun-feng (602-670) seine Anmerkungen und Kommentare hinzufügte. Diese Arbeiten wurden dann Standardtexte für Studenten der Mathematik; die offiziellen Vorschriften sahen vor, dass den Werken von Liu Hui drei Jahre gewidmet werden sollten. Liu Hui Werke fanden auch ihren Weg nach Japan mit diesen die mathematischen Handbücher. Als 702 in Japan Schulen gegründet wurden und Mathematik unterrichtet wurde, gehörten sowohl das Chiu-Chang Suan-shu als auch das Hai-Tao Suan-ching zu den vorgeschriebenen Texten.
Laut Ch’eng Ta-wei’s mathematischer Abhandlung, dem Suan-fa t’ung-tsung („Systematische Abhandlung über Arithmetik“; 1592), wurden sowohl das Chiu-chang suan-shu als auch das Hai-tao suan-ching erstmals 1084 offiziell gedruckt. Es gab eine andere gedruckte Version von ihnen von Pao Huan-chih im Jahr 1213. Im frühen fünfzehnten Jahrhundert wurden sie aufgenommen, obwohl erheblich neu geordnet, in der riesigen Ming-Enzyklopädie, die Yung-lo ta-tien (1403-1407). Jahrhunderts rekonstruierte Tai Chen (1724-1777) diese beiden Texte, nachdem er sie stückweise aus dem Yung-lo to-tilen extrahiert hatte. Sie wurden später von K’ung Chi-han (1739-1787) in sein Wei-po-hesieh ts’ung-shu (1773) aufgenommen. Drei Jahre später druckte ch’ü Tseng-fa sie separat mit einem Vorwort von Tai Chen.
Weitere Reproduktionen, die auf Tai Chens Rekonstruktion in der Wei-po-hsieh ts’ung-shu basieren, finden sich in der Suan-ching shih-shu („Zehn mathematische Handbücher“) von Mei Ch’i-chao (1862) und in der Wan-yu-wen-K’u (1929-1933) und Ssu-pu ts’ung-k’an Serie (1920-1922; beide der Commercial Press, Shanghai). Zwei Gelehrte des neunzehnten Jahrhunderts, Chung Hsiang und Li Huang, entdeckten, dass bestimmte Passagen im Text durch Tai Chens Versuch, den Originaltext des Chiu-Chang Suan-shu zu verbessern, unverständlich geworden waren. Ein Fragment der frühen Ausgabe des Chiu-Chang Suan-shu aus dem dreizehnten Jahrhundert. jahrhundert in Nanking in der Privatbibliothek von Huang Yü-chi (1629-1691) gefunden. Diese Kopie wurde 1678 vom berühmten Ch’ing-Gelehrten Mei Wen-ting (1633-1721) gesehen und kam später in den Besitz von K’ung Chi-han (1739-1784) und dann von Chang Tun-jen (1754-1834); Schließlich wurde es von der Shanghai Library erworben, wo es heute aufbewahrt wird. 1684 fertigte Mao I. (1640-nach 1710) eine handschriftliche Kopie des in der Bibliothek von Huang Yü-chi gefundenen Originaltextes an. Diese Kopie wurde später vom Kaiser während der Regierungszeit von Ch’ien-lung (1736-1795) erworben. 1932 wurde es in der T’ien-lu-lin-lang ts’ung-shu-Serie reproduziert.
1261 schrieb Yang Hui das Hsiang-csieh chiu-chang suan-fa („Detaillierte Analyse der mathematischen Regeln in den neun Kapiteln“), um die Probleme im Chiu-chang suan-shu aufzuklären. Ch’ien Pao-tsung sammelte 1963 den Text des Chiu-chang suan-shu aus Tai Chens Version, die Fragmente der späten Sung-Ausgabe, wie sie in der T’ien-lu-lin-lang ts’ung-shu-Serie reproduziert wurden, und Yang Huis Hsiang-chieh chiu-chang suan-fa.
Was das Hai-Tao Suan-ching betrifft, so ist nur die rekonstruierte Version von Tai Chen erhalten. Es wurde in der Wu-ying-tien palace Edition (vor 1794), den „Zehn mathematischen Handbüchern“ in K’ung Chi-hans Wei-po-hsieh ts’ung-shu und dem Anhang zu Chü Tseng-fas Chiu-chang suan-shu reproduziert.
Das Chiu-chang suan-shu war als praktisches Handbuch gedacht, eine Art Aide-mémoire für Architekten, Ingenieure, Beamte und Handwerker. Dies ist der Grund für das Vorhandensein so vieler Probleme beim Bau von Kanälen und Deichen, Stadtmauern, Steuern, Tauschhandel, öffentlichen Dienstleistungen usw. Es besteht aus neun Kapiteln mit insgesamt 246 Problemen. Die Kapitel können wie folgt umrissen werden:
(1) Fang-t’ien(„Landvermessung“) enthält die Regeln zum Auffinden der Bereiche von Dreiecken, Trapezen, Rechtecken, Kreisen, Kreissektoren und Annuli. Es gibt Regeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen. Es gibt eine interessante, aber ungenaue Formel für die Fläche des Segments von a, wo die Sehne c und die Sagitta s bekannt sind, in der Form s(c + s)/2. Dieser Ausdruck erschien später im neunten Jahrhundert in Mahāvīras Ganitasārasangraha.
Von besonderem Interesse ist der von Liu Hui verwendete Wert des Verhältnisses des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Der alte Wert von π, der in China verwendet wurde, war 3, aber seit dem ersten Jahrhundert hatten chinesische Mathematiker nach einem genaueren Wert gesucht. Liu Hsin (d. a.d. 23) verwendet 3.1547, während Chang Hen (78-139) gab √10 und 92/29. Wang Fan (219-257) fand 142/45, und dann gab Liu Hui 3.14. Die wichtigsten Namen in diesem Zusammenhang sind jedoch die von Tsu Ch’ung-chih (430-501), ein brillanter Mathematiker, Astronom und Ingenieur der Liu Sung und Ch’i Dynastien, und sein Sohn, Tsu Cheng-chih. Tsu Ch’ung-chih gab zwei Werte für π an, zuerst einen „ungenauen“ (yo lü), gleich 22/7, der früher von Archimedes gegeben wurde, und dann einen „genaueren“ ((mi lu)), 355/113 (3.1415929). Er suchte sogar nach weiteren Näherungen und stellte fest, dass π zwischen 3,1415926 und 3,1415927 liegt. Seine Methode wurde wahrscheinlich in der Chui Shu beschrieben, die er und sein Sohn schrieben, ist aber jetzt verloren. Tsu Ch’ung-chihs Wert von 355/113 für π verschwand für viele Jahrhunderte in China, bis er wieder von Chao Yu-ch’in ((fl, ca. 1300)). Liu Hui erhielt den genauen Wert 3,14, indem er das Verhältnis des Umfangs eines regelmäßigen Polygons von sechsundneunzig Seiten zum Durchmesser eines Kreises nahm, der dieses Polygon umschließt. Beginnen wir mit einem regulären Sechseck der Seite L6. Das Verhältnis des Umfangs des Sechsecks zum Durchmesser des ihn umgebenden Kreises beträgt 3. Wenn wir das Sechseck in ein reguläres Polygon mit zwölf Seiten ändern, wie in Abbildung 1 gezeigt — wobei zu beachten ist, dass L6 = r, der Radius des umschriebenen Kreises —, dann ist die Seite des zwölfseitigen Polygons gegeben durch
Wenn also L bekannt ist, dann kann L2n aus dem Ausdruck
Unter r = 1 können die folgenden Werte gefunden werden: L6 = 1; L12 = 0,517638; L24 = 0,261052; L48 = 0,130806; L96 = 0,065438.
Der Umfang eines regulären Polygons von n = 96 und r = 1 beträgt 96 × 0,065438 = 6,282048. Daher π = 6,282048 / 2 = 3,141024 oder ungefähr 3,14. Liu Hui verwendete auch ein Polygon von 3.072 Seiten und erhielt seinen besten Wert, 3,14159.
(2)Su-mi („Hirse und Reis“) befasst sich mit Prozentsätzen und Anteilen. Unbestimmte Gleichungen werden in den letzten neun Problemen dieses Kapitels durch die Verwendung von Proportionen vermieden.
(3)Ts’ui-fen(„Verteilung nach Progression“) betrifft die Verteilung von Immobilien unter Partnern nach bestimmten Tarifen. Es umfasst auch Probleme bei der Besteuerung von Gütern unterschiedlicher Qualität und andere in arithmetischen und geometrischen Verläufen, die alle durch Proportionen gelöst werden.
(4)Shao-Kuang („Abnehmende Breite“) beinhaltet das Finden der Seiten eines Rechtecks, wenn die Fläche und eine der Seiten gegeben sind, der Umfang eines Kreises
wenn seine Fläche bekannt ist, die Seite eines Würfels angesichts seines Volumens und der Durchmesser einer Kugel mit bekanntem Volumen. Die Verwendung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen in Brüchen wird gezeigt. Es ist interessant, dass Einheitsfraktionen beispielsweise in Problem 11 in diesem Kapitel verwendet werden. Die gegebene Breite einer rechteckigen Form wird ausgedrückt als
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
Die Probleme in diesem Kapitelführen auch zur Extraktion von Quadratwurzeln und Kubikwurzeln; Problem 13 beinhaltet beispielsweise das Finden der Quadratwurzel von 25.281. Nach der im Chiu-Chang Suan-shu angegebenen Methode wird diese Zahl, die als Shih (Dividende) bekannt ist, zuerst in der zweiten Reihe von oben auf dem Zählbrett platziert. Als nächstes wird ein Zählstab, der vorläufige Chieh-Suan genannt wird, in die untere Reihe des Zählbretts in der äußersten rechten Ziffernspalte gelegt. Diese Stange wird an zwei Stellen gleichzeitig nach links bewegt, um die am weitesten linke Ziffer der Zahl in der Shih-Reihe nicht zu überschreiten. Mit seinem neuen Stellenwert wird diese Rute Chieh-Sucn genannt. Es ist in Abbildung 2a gezeigt.
Die erste Zahl der Wurzel liegt zwischen 100 und 200. Dann wird 1 als erste Zahl der Wurzel genommen und in der obersten Zeile der dritten Spalte platziert. Die oberste Reihe heißt Fang. Der Chieh-Suan wird mit der ersten Zahl der Wurzel multipliziert. Das Produkt, genannt fa, wird in der dritten Reihe platziert. Das Shih (25.281) abzüglich des Fa (10.000) hinterlässt den „ersten Rest“ (15.281), der in der zweiten Zeile steht, wie in Abbildung 2b gezeigt. Dies wird eine Ziffer nach rechts verschoben, während der Chieh-Suan zwei Ziffern nach rechts verschoben wird, wie in Abbildung 2c gezeigt.
Die zweite Zahl, die durch Versuch und Irrtum ausgewählt wurde, liegt zwischen 5 und 6. Die Zehnerstelle wird daher als 5 angenommen und an der entsprechenden Position in der oberen Zeile in Abbildung 2e platziert. Der Chieh-Suan (der jetzt 100 ist) wird mit dieser zweiten Zahl multipliziert und das Produkt wird zum Ting-fa addiert, das 2.500 wird. Das mit 5 multiplizierte Ting-Fa wird vom ersten Rest subtrahiert, was einen Rest von ergibt 2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), wie in Abbildung 2d gezeigt. Das Ting-fa wird als nächstes um eine Ziffer nach rechts und das Chieh-suan um zwei Stellen verschoben (siehe Abbildung 2e). Die dritte Zahl, die wiederum durch Versuch und Irrtum ausgewählt wurde, ist 9. Diese Einheitsziffer wird an der entsprechenden Position in der oberen Reihe platziert. Der Chieh-Suan, der jetzt 1 ist, wird mit dieser dritten Zahl multipliziert und das Produkt wird zum Ting-fa addiert, das 259 wird. Der zweite Rest wird durch das Ting-Fa geteilt, das einen Rest von Null hinterlässt (2,781 ÷ 259 = 9 +0). Daher lautet die Antwort 159 (siehe Abbildung 2f).
(5) Shang-kung („Konsultationen über Ingenieurarbeiten“) gibt die Volumina von festen Figuren wie dem Prisma, der Pyramide, dem Tetraeder, dem Keil, dem Zylinder, dem Kegel und dem Kegelstumpf eines Kegels an:
(a) Volumen des quadratischen Prismas = Quadrat der Seite der Basis mal Höhe.
(b) Volumen des Zylinders = 1/12 Quadrat des Kreisumfangs mal Höhe (wobei π als ungefähr 3 angenommen wird).
(c) Volumen der abgeschnittenen quadratischen Pyramide = 1/3 die Höhe mal die Summe der Quadrate der Seiten der oberen und unteren Quadrate und das Produkt der Seiten der oberen und unteren Quadrate.
(d) Volumen der quadratischen Pyramide = 1/3 die Höhe mal das Quadrat der Seite der Basis.
(e) Volumen des Kegelstumpfes eines Kreiskegels = 1/36 die Höhe mal die Summe der Quadrate der Umfänge der oberen und unteren Kreisfläche und des Produkts dieser beiden Umfänge (wobei π als ungefähr 3 angenommen wird).
(f) Volumen des Kreiskegels = 1/36 die Höhe mal das Quadrat des Umfangs der Basis (wobei π als ungefähr 3 angenommen wird).
(g) Volumen eines rechten dreieckigen Prismas = 1/2 das Produkt aus Breite, Länge und Höhe.
(h) Volumen einer rechteckigen Pyramide = 1/3 das Produkt aus der Breite und Länge der Basis und der Höhe.
(i) Volumen des Tetraeders mit zwei gegenüberliegenden Kanten senkrecht zueinander = 1/6 das Produkt der beiden senkrecht gegenüberliegenden Kanten und der diesen beiden Kanten gemeinsamen Senkrechten.
(6) Chün-shu(„Unparteiische Besteuerung“) betrifft Probleme der Verfolgung und Alligation, insbesondere im Zusammenhang mit der Zeit, die die Steuerzahler benötigen, um ihre Getreidebeiträge von ihren Heimatstädten in die Hauptstadt zu bringen. Es befasst sich auch mit Problemen der Verhältnisse im Zusammenhang mit der Verteilung der Steuerlasten nach der Bevölkerung. Problem 12 in diesem Kapitel sagt:
Ein guter Läufer kann 100 Schritte gehen, während ein schlechter Läufer 60 Schritte geht. Der schlechte Läufer hat eine Strecke von 100 Schritten zurückgelegt, bevor der gute Läufer beginnt, ihn zu verfolgen. In wie vielen Schritten wird der gute Läufer aufholen?
(7) Ying pu-tsu oder Ying-nü („Überschuss und Mangel“). Ying bezieht sich auf den Vollmond und pu-tsu oder nü auf den Neumond und bedeutet „zu viel“ bzw. „zu wenig“. Dieser Abschnitt befasst sich mit einer chinesischen algebraischen Erfindung, die hauptsächlich zur Lösung von Problemen des Typs ax + b = 0 in einer eher umständlichen Weise verwendet wird. Die Methode wurde in Europa als Regel der falschen Position bekannt. Bei dieser Methode werden zwei Vermutungen, x1 und x2, durchgeführt, die zu Werten c1 bzw. c2 führen, die entweder größer oder kleiner als 0 sind. Daraus ergeben sich folgende Gleichungen:
Multipliziert man (1) mit x2 und (2) mit x1, ergibt sich
Aus (1) und (2),
Daher
Problem 1 in diesem Kapitel sagt:
In einer Situation, in der bestimmte Dinge gemeinsam gekauft werden, beträgt der Überschuss 3, wenn jede Person 8 zahlt , und wenn jede Person 7 zahlt, beträgt der Mangel 4. Finden Sie die Anzahl der Personen und den Preis der mitgebrachten Dinge.
Gemäß der Methode des Überschusses und Mangels werden die Raten (dh die „Vermutungen“ 8 und 7) zuerst auf dem Zählbrett festgelegt, wobei der Überschuss (3) und der Mangel (-4) darunter liegen. Die Raten werden dann mit dem Überschuss und dem Mangel multipliziert, und die Produkte werden addiert, um die Dividende zu bilden. Dann werden der Überschuss und der Mangel addiert, um den Divisor zu bilden. Der Quotient gibt den korrekten Geldbetrag an, der von jeder Person zu zahlen ist. Um die Anzahl der Personen zu erhalten, addieren Sie den Überschuss und den Mangel und dividieren Sie die Summe durch die Differenz zwischen den beiden Sätzen. Mit anderen Worten, x und a werden unter Verwendung der obigen Gleichungen (5) und (4) erhalten.
Manchmal kann ein einfaches Problem in ein Problem umgewandelt werden, bei dem die Regel der falschen Position verwendet wird. Problem 18 im selben Kapitel sagt:
Es gibt 9 Goldstücke und 11 Silberstücke. Die beiden Lose wiegen gleich. Ein Stück wird von jedem Los genommen und in das andere gelegt. Die Partie, die hauptsächlich Gold enthält, wiegt nun um 13 Unzen weniger als die Partie, die hauptsächlich Silber enthält. Finden Sie das Gewicht jedes Stück Gold und Silber.
Hier werden zwei Vermutungen für das Gewicht von Gold gemacht. Die Methode besagt, dass, wenn jedes Goldstück 3 Pfund wiegt, jedes Silberstück 2 5/11 Pfund wiegen würde, was einen Mangel von 49/11 Unzen ergibt; und wenn jedes Goldstück 2 Pfund wiegt, würde jedes Silberstück 1 7/11 Pfund wiegen, was einen Überschuss von 15/11 Unzen ergibt. Danach wird die Regel der falschen Position angewendet.
(8) Fang-ch’eng („Berechnung durch Tabellierung“) befasst sich mit simultanen linearen Gleichungen, wobei sowohl positive als auch negative Zahlen verwendet werden. Problem 18 in diesem Kapitel beinhaltet fünf Unbekannte, sondern gibt nur vier Gleichungen, so läutet die unbestimmte Gleichung. Der hier angegebene Prozess zum Lösen simultaner linearer Gleichungen ist derselbe wie das moderne Verfahren zum Lösen des Simultansystems
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b2y + c3z = d3,
mit der Ausnahme, dass die Koeffizienten und Konstanten in vertikalen Spalten angeordnet sind anstatt horizontal geschrieben zu werden:
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3.
In diesem Kapitel erklärt Liu Hui auch die algebraische Addition und Subtraktion von positiven und negativen Zahlen. (Liu Hui bezeichnete positive Zahlen und negative Zahlen durch rote bzw. schwarze Rechenstäbe.)
(9) Kou-ku („Rechte Winkel“) befasst sich mit der Anwendung des Satzes des Pythagoras. Einige seiner Probleme sind wie folgt:
Ein zylindrisches Stück Holz mit einem Querschnittsdurchmesser von 2 Fuß, 5 Zoll, ist in ein 7 Zoll dickes Stück Planke zu schneiden. Was ist die Breite? Es gibt einen Baum 20 Meter hoch und 3 Meter im Umfang.Eine Kriechpflanze windet sich sieben Mal um den Baum und erreicht gerade die Spitze. Finden Sie die Länge der Rebe, Es gibt einen Teich 7 Quadratfuß mit einem Schilf in der Mitte wächst und Mess I Fuß über dem Wasser. Das Schilf erreicht gerade das Ufer auf dem Wasserspiegel, wenn es darauf zugezogen wird. Finden Sie die Tiefe des Wassers und die Länge des Schilfs.
Es gibt einen Bambus 10 Fuß hoch. Wenn es gebogen ist, berührt das obere Ende den Boden 3 Fuß vom Stiel entfernt. Finden Sie die Höhe der Pause,
Es ist interessant, dass ein ähnliches Problem wie 13 in Brahmaguptas Werk im siebten Jahrhundert auftrat.
Problem 20 hat noch größeres Interesse geweckt:
Es gibt eine quadratische Stadt von unbekannter Dimension. In der Mitte jeder Seite befindet sich ein Tor. Zwanzig Schritte aus dem Nordtor ist ein Baum. Wenn man 14 Schritte vom Südtor entfernt geht, nach Westen abbiegt und 1.775 Schritte macht, wird der Baum gerade in Sicht kommen. Finden Sie die Länge der Seite der Stadt.
Das Buch zeigt an, dass die Antwort durch Entwickeln der Wurzel der quadratischen Gleichung erhalten werden kann.
x2 + (14 + 20)x = 2(1775 × 20).
Die Methode zur Lösung dieser Gleichung wird nicht beschrieben. Mikami schlägt vor, dass es sehr wahrscheinlich ist, dass die Wurzelextraktion mit einem zusätzlichen Begriff im Koeffizienten ersten Grades im Unbekannten durchgeführt wurde und dass dieser zusätzliche Begriff tsung genannt wurde, aber in seiner wörtlichen Übersetzung einiger Teile des Textes über Wurzelextraktionen bemerkt er nicht, dass die aufeinanderfolgenden Schritte denen in Horners Methode entsprechen. Chien Pao-tsung und Li Yen haben beide versucht, die im Chiu-chang suan-shu beschriebene Methode mit der von Horner zu vergleichen, aber sie haben die textlichen Unklarheiten nicht geklärt. Wang Ling und Needham sagen, dass es möglich ist zu zeigen, dass, wenn der Text des Chiu-chang Suan-shu sehr sorgfältig befolgt wird, die wesentlichen Methoden der Chinesen zur Lösung numerischer Gleichungen des zweiten und höheren Grades, ähnlich der von Horner 1819 entwickelten, in einem Werk vorhanden sind, das auf das erste Jahrhundert vor Christus datiert werden kann.
Das Hai-tao suan-ching, ursprünglich bekannt unter dem Namen Ch’ung ch’a („Methode der doppelten Differenzen“) , wurde dem Chiu-chang suan-shu als sein zehntes Kapitel beigefügt. Es wurde im siebten Jahrhundert vom Haupttext getrennt, als die „Zehn mathematischen Handbücher“ ausgewählt wurden, und erhielt den Titel Hai-tao suan-cluig. Nach Mikami sollte der Begriff ch’ung ch’a doppelte oder wiederholte Anwendung von Proportionen der Seiten von rechtwinkligen Dreiecken bedeuten. Der Name Hai-tao stammt wahrscheinlich aus dem ersten Problem des Buches, das sich mit einer Insel im Meer befasst. Das Buch besteht aus nur neun Problemen und entspricht weniger als einem Kapitel des Chiu-Chang Suan-shu.
Liu Hui beschreibt in seinem Vorwort die klassische chinesische Methode zur Bestimmung der Entfernung von der Sonne zur flachen Erde mittels Doppeltriangulation. Nach dieser Methode wurden zwei vertikale Pole, die acht Fuß hoch waren, auf derselben Höhe entlang desselben Meridians errichtet, einer in der alten Chou-Hauptstadt Yan-ch’eng und der andere 10.000 li (1, li = 1.800 Fuß) im Norden. Die Längen der Schatten, die die Sonne am Mittag der Sommersonnenwende warf, wurden gemessen, und daraus konnte die Entfernung der Sonne abgeleitet werden. Liu Hui zeigt dann, wie die gleiche Methode auf alltäglichere Beispiele angewendet werden kann. Problem 1 sagt:
Eine Meeresinsel wird aus der Ferne betrachtet. Zwei Pole, jeweils 30 Fuß hoch, sind auf der gleichen Ebene 1.000 Meter voneinander entfernt, so dass die Stange an der Rückseite ist in einer geraden Linie mit der Insel und der anderen Stange errichtet. Wenn man 123 pu vom näheren Pol zurückbewegt, ist die Spitze des nur durch das Ende des Pols sichtbar, wenn er es vom Boden aus betrachtet. Sollte er sich 127 Meter vom anderen Pol zurückbewegen, ist die Spitze der Insel nur durch das Ende des Pols sichtbar, wenn man sie vom Boden aus betrachtet. Finden Sie die Höhe der Insel und ihre Entfernung vom Pol. pol ist 102 li, 150 pu (300 pu = 1 li).]
Die Regel zur Lösung dieses Problems lautet wie folgt:
Multiplizieren Sie die Höhe der Stange mit dem Abstand zwischen den Stangen und dividieren Sie das Produkt durch die Differenz zwischen den Entfernungen, die man von den Stangen zurücklegen muss, um den höchsten Punkt der Insel zu sehen. Wenn Sie die Höhe des Pols zum Quotienten addieren, erhalten Sie die Höhe der Insel. Um die Entfernung vom näheren Pol zur Insel zu ermitteln, multiplizieren Sie die zurückgelegte Entfernung von diesem Pol mit der Entfernung zwischen den Polen. Dividiert man das Produkt durch die Differenz zwischen den Entfernungen, die man von den Polen zurücklegen muss, erhält man diese Entfernung.
Problem 7 ist von besonderem Interesse:
Eine Person schaut in einen Abgrund mit einem Stück weißen Felsens am Boden. Vom Ufer aus wird eine Querstange gedreht, um auf der normalerweise aufrechten Seite zu liegen . Wenn die Basis 3 Fuß groß ist und man von der Spitze der Basis aus auf die Wasseroberfläche schaut, trifft die Sichtlinie auf die Höhe der Querstange in einem Abstand von 4 Fuß, 5 Zoll; und wenn man auf den Felsen schaut, trifft die Sichtlinie auf die Höhe der Querstange in einem Abstand von 2 Fuß, 4 Zoll. Eine ähnliche Querstange befindet sich 4 Fuß über der ersten. Wenn man von der Spitze der Basis schaut, würde die Sichtlinie zur Wasseroberfläche die Höhe der Querstange in einem Abstand von 4 Fuß treffen; und wenn man auf den Felsen schaut, wird es 2 Fuß, 2 Zoll sein. Finde die Tiefe des Wassers.
Wenn in Abbildung 3 P die Wasseroberfläche über dem weißen Felsen ist, R und BC und FG die beiden Querstangen sind, dann BC = FG = 3 Fuß; GC = 4 Fuß; AC = 4 Fuß, 5 Zoll; DC = 2 Fuß, 4 Zoll; EG = 4 Fuß; und HG = 2 Fuß, 2 Zoll. Die Tiefe des Wassers wird jedoch gesucht. Um die Antwort zu erhalten, gibt Liu Hui die folgende Regel an:
Liu Hui hat hier den Brechungsindex von Wasser nicht berücksichtigt. Die angegebene Regel ist eine Erweiterung der bei der Lösung von Problem 4 verwendeten Regel, die dieselbe Methode zur Bestimmung der Tiefe eines Tals verwendet:
Eine Person betrachtet ein tiefes Tal. Vom Rand des Tales wird eine Querstange gedreht, um auf der Seite zu liegen, die normalerweise aufrecht ist . Die Basis
ist 6 Fuß lang. Wenn man den Talboden vom Rand der Basis aus betrachtet, trifft die Sichtlinie auf die vertikale Seite in einem Abstand von 9 Fuß, 1 Zoll. Eine weitere Querstange befindet sich 30 Fuß direkt über der ersten. Wenn der Talboden vom Rand der Basis aus beobachtet wird, trifft die Sichtlinie in einem Abstand von 8 Fuß und 5 Zoll auf die vertikale Seite. Finde die Tiefe des Tals.
Wenn wir uns erneut auf Abbildung 3 beziehen und die gestrichelten Linien ignorieren, haben wir CB = GF = 6 Fuß; CG = 30 Fuß; AC = 9 Fuß, 1 Zoll; EG = 8 Fuß, 5 Zoll; und CQ ist die Tiefe. Aus ähnlichen Dreiecken ABC und PBQ,
QB · AC = PQ · CB;
und aus ähnlichen Dreiecken EFG und PFQ,
QF · EG = PQ · GF.
Da CB = GF und QF = QB = BF,
QB · AC = (QB + BF) EG,
QB(AC – EG) = BF · EG = GC · EG,
das heißt,
(CQ + CB)(AC – EG) = GC · EG.
Daher
In Problem 7 erhält man auch den Abstand von der Bank zum Grund des Abgrunds (CS in Abbildung 3) aus dem Ausdruck
PR wird aus der Differenz zwischen CS und CQ abgeleitet.
Was die anderen Probleme betrifft, betrifft Problem 2 das Finden der Höhe eines Baumes auf einem Hügel; Problem 3 befasst sich mit der Größe einer entfernten ummauerten Stadt; Problem 5 zeigt, wie man die Höhe eines Turms auf einer Ebene von einem Hügel aus misst; Problem 6 gibt eine Methode an, um die Breite eines Golfs aus der Ferne an Land zu; problem 8 ist ein Fall, in dem die Breite eines Flusses von einem Hügel aus gesehen wird; und Problem 9 sucht die Größe einer Stadt von einem Berg aus gesehen.
BIBLIOGRAPHIE
Eine moderne ed. der Chiu-chang suan-shu ist vol. 1121 in der Ts’ung-Shu Chi-Chêng-Serie(Shanghai, 1936).
Werke, die sich mit Liu Hui und seinen Schriften befassen, sind Ch’ien Pao-tsung, Suan-ching shih-shu(„Zehn mathematische Handbücher“), 2 Bde. (Peking, 1963), 83-272; und Chung-kuosuan-hsüeh -shih („Geschichte der chinesischen Mathematik“) (Peking 1964), 61-75; L.van Hée, „Le Hai Tao Suan Ching de Lieou“, in T’young Pao, 20 (1921), 51-60; Hsü Shunfang, Chung-suan chia te tai-hsüeh yen-chiu („Eine Studie der Algebra durch chinesische Mathematiker“) (Peking, 1955), 1-8; Li Yen, Chung-kno shu-Hsüeh ta-kang („Umriss der chinesischen Mathematik“ I (Shanghai, 1931); und Chungkuo suan-hsüeh-shih(„Geschichte der chinesischen Mathematik“) (Shanghai, 1937;rev. ed., 1955), 16, 19, 21; Li Yen und Tu Shih-jan, Chung-kuo ku-tai shu-hsüeh chien-shih („Kurze Geschichte der alten chinesischen Mathematik“) I (Peking, 1963), 45-77; Yoshio Mikami, Die Entwicklung der Mathematik in China und Japan (New York, 1913); Joseph Needham, Wissenschaft und Zivilisation in China, III (Cambridge, 1959), 24-27; George Sarton, Einführung in die Wissenschaftsgeschichte, 3 Bde. (Baltimore, 1927-1947), insb. I, 338; Wang Ling, „Die Chiu-Chang Suan-Shu und die Geschichte der chinesischen Mathematik während der Han-Dynastie,“ ein Doktor diss. In: Cambridge Univ., 1956); Wang Ling und Joseph Needham, „Horner’Methode in der chinesischen Mathematik; Seine Ursprünge im Wurzelextraktionsverfahren der Han-Dynastie“, in T’oung Pao, 43 (1955), 345-401; und Alexander Wylie, Chinesische Forschungen (Shanghai, 1897; repr. Peking, 1936, und Taipei, 1966), 170-174.
Einige wichtige spezielle Studien über die Chiu-chang suan-shu sind E.I.Berezkina, „Drevnekitaysky traktat matematika v devyati knigach“ („Die alte chinesische mathematische Abhandlung in neun Büchern“), in Istoriko-matematicheskie isslidovaniya, 10 (1957), 423-584, eine russische trans. von der Chiu-chang suan-shu; Kurt Vogel, Neun Bücher arithmetischer Technik (Braunschweig, 1968), eine deutsche Übersetzung und Studie der Arbeit; und A. P. Youschkevitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (Leipzig, 1964), 1-88 („Die Mathematik in China“), übersetzt aus dem Russischen.
Zugang zu alten biographischen Notizen und bibliographischen Zitaten zu mathematischen Werken sind Hu Yü-chin, Ssu-K’u-T’i-Yao Pu-Chêng („Supplements to the Ssu-K’u-T’i-yao“), 2 vols, (Taipei, 1964-1967); und Ting Fu-pao und Chou Yün-ch’ing, Ssu-Pu-Tsung-Lu Suan-Fa-Pien (“ Bibliographie mathematischer Bücher zur Ergänzung der Ssu-K’u-Ch‘ uan-Shu-Enzyklopädie“; Shanghai, 1956).
Weitere Informationen zum Suan-Ching Shi-Shu finden Sie in Needham, Science and Civilisation in China, III, 18; und in A. Hummel, Eminent Chinese of the Ch’ing Period (Washington, 1943), S. 697.
Die beiden erhaltenen Bände der Yung-Lo Ta-Tien-Enzyklopädie wurden fotografisch reproduziert (Peking, 1960); Sie zeigen, dass die Anordnung nach mathematischen Verfahren und nicht nach Autoren erfolgte.
Ho Peng-Joch
