Kurtenbach spielte in der Saskatchewan Junior Hockey League (SJHL) mit den Prince Albert Mintos für zwei Spielzeiten, auch kurze Auftritte mit den Saskatoon Quakers der Minor Professional Western Hockey League (WHL) während dieser Zeit. 1957, nachdem Prinz Albert aus den SJHL-Playoffs ausgeschieden war, beendete Kurtenbach die Saison mit den Flin Flon Bombers, wo er dem Team half, einen Memorial Cup zu gewinnen.
Kurtenbach wurde 1957/58 Profi und unterschrieb eine C-Form bei den Vancouver Canucks der WHL. Er erzielte 54 Punkte in 52 Spiele auf dem Weg zum Rookie des Jahres. In den Playoffs verhalf er den Canucks zu einer President’s Cup-Meisterschaft.
Der Großteil von Kurtenbachs früher Profikarriere wurde in den Minors verbracht, wobei er die Zeit zwischen der AHL mit den Buffalo Bisons, den Springfield Indians und den Providence Reds und der WHL mit den San Francisco Seals und den Canucks aufteilte. Seine beste Saison in dieser Strecke war 1962-63, als er in 70 Spielen 87 Punkte für die Seals erzielte und das Team in den Playoffs auf dem Weg zum Gewinn der Meisterschaft anführte.
Während seiner Zeit in den Minors machte Kurtenbach zwei kurze Auftritte in der National Hockey League mit den New York Rangers und Boston Bruins, insgesamt achtzehn Spiele, aber würde seine erste volle NHL-Saison erst 1963/64 mit den Bruins spielen. 1965/66 wurde er Mitglied der Toronto Maple Leafs, wo er eine hauptsächlich defensive Rolle spielte. Torontos Trainer Punch Imlach bezeichnete Kurtenbach als die beiden unteren Offensivlinien, während er meistens Elfmeterschießen verdiente. In der folgenden Saison wechselte er zu den New York Rangers, wo er vier Spielzeiten verbrachte. In der Nebensaison 1970 wurde ihm vom Rangers-Management mitgeteilt, dass er ungeschützt sein würde, wenn der bevorstehende NHL Expansion Draft entweder von den Buffalo Sabres oder den Vancouver Canucks abgeholt würde (das Franchise verließ die WHL, um der NHL beizutreten).
Kurtenbach wurde von den Canucks übernommen und zum ersten NHL-Kapitän der Franchise ernannt. Am 12. Dezember 1970 verzeichnete er den ersten Hattrick in der Geschichte der Canucks in einem 5-2 Sieg über die California Golden Seals, es war auch der einzige Hattrick, den er jemals in seiner Karriere aufnehmen würde. Er verzeichnete mit 53 Punkten in 52 Spielen einen NHL-Karrierehöhepunkt pro Spiel, obwohl er am 23. Dezember eine schwere Verletzung erlitt, die ihn bis zum 3. März außer Gefecht setzte. In der folgenden Saison verzeichnete er in 78 Spielen ein Karrierehoch von 61 Punkten. Viele Spieler von Vancouver verließen den Verein in dieser Saison und gingen zur entstehenden World Hockey Association (WHA), um höhere Gehälter zu erhalten. Kurtenbach selbst wurde ein Vertrag über 150.000 US-Dollar bei den Los Angeles Sharks angeboten, den er jedoch ablehnte. Er spielte oft auf einer Linie mit Wayne Maki und Murray Hall. Kurtenbach zog sich nach seiner vierten Saison mit Vancouver aus der NHL zurück.
Kurtenbach beendete seine NHL-Karriere mit 119 Toren und 213 Assists für 332 Punkte in 639 Spielen und fügte 628 Strafminuten hinzu. Am 26.Oktober 2010 wurde Kurtenbach als erster Canucks-Spieler in den Ehrenring des Teams aufgenommen. Eine Zeremonie fand vor einem Canucks-Spiel gegen die Colorado Avalanche statt.
