- Lernziele
- Kinetische Energie
- Beispiel
- Kinetische Energie eines Objekts
- Strategie
- Lösung
- Bedeutung
- Überprüfen Sie Ihr Verständnis
- Beispiel
- Kinetische Energie relativ zu verschiedenen Rahmen
- Lösung
- Überprüfen Sie Ihr Verständnis
- Beispiel
- Spezielle Bezeichnungen für kinetische Energie
- Lösung
- Bedeutung
- Zusammenfassung
- Konzeptionelle Fragen
- Probleme
- Glossar
Lernziele
Am Ende dieses Abschnitts können Sie:
- Berechnen Sie die kinetische Energie eines Teilchens angesichts seiner Masse und seiner Geschwindigkeit oder seines Impulses
- Bewerten Sie die kinetische Energie eines Körpers relativ zu verschiedenen Referenzrahmen
Es ist plausibel anzunehmen, dass je größer die Geschwindigkeit eines Körpers ist, desto größere Auswirkungen könnte er auf andere Körper haben. Dies hängt nicht von der Richtung der Geschwindigkeit ab, sondern nur von ihrer Größe. Jahrhunderts wurde eine Größe in die Mechanik eingeführt, um Kollisionen zwischen zwei perfekt elastischen Körpern zu erklären, bei denen ein Körper frontal mit einem identischen Körper in Ruhe kollidiert. Der erste Körper stoppt, und der zweite Körper bewegt sich mit der Anfangsgeschwindigkeit des ersten Körpers weg. (Wenn Sie jemals Billard oder Krocket gespielt oder ein Modell von Newtons Wiege gesehen haben, haben Sie diese Art von Kollision beobachtet.) Die Idee hinter dieser Größe bezog sich auf die auf einen Körper einwirkenden Kräfte und wurde als „Bewegungsenergie“ bezeichnet.“ Später, während des achtzehnten Jahrhunderts, wurde der Name kinetische Energie der Bewegungsenergie gegeben.
In Anbetracht dieser Geschichte können wir nun die klassische Definition der kinetischen Energie angeben. Beachten Sie, dass wir, wenn wir „klassisch“ sagen, nicht relativistisch meinen, dh mit Geschwindigkeiten, die viel geringer sind als die Lichtgeschwindigkeit. Bei Geschwindigkeiten, die mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar sind, erfordert die spezielle Relativitätstheorie einen anderen Ausdruck für die kinetische Energie eines Teilchens, wie in Relativity im dritten Band dieses Textes diskutiert.
Da Objekte (oder Systeme) von Interesse in ihrer Komplexität variieren, definieren wir zuerst die kinetische Energie eines Teilchens mit der Masse m.
Kinetische Energie
Die kinetische Energie eines Teilchens ist die Hälfte des Produkts aus der Masse des Teilchens m und dem Quadrat seiner Geschwindigkeit v:
Wir erweitern diese Definition dann auf jedes Teilchensystem, indem wir die kinetischen Energien aller konstituierenden Teilchen addieren:
Beachten Sie, dass, so wie wir Newtons zweites Gesetz entweder in Bezug auf die Änderungsrate des Impulses oder der Masse mal der Änderungsrate der Geschwindigkeit ausdrücken können, die kinetische Energie eines Teilchens in Bezug auf seine Masse und seinen Impuls ausgedrückt werden kann (\ overset {\ to}{p} = m \ overset {\to} {v}) anstelle seiner Masse und Geschwindigkeit. Da v=p\text{/}m , sehen wir, dass
auch die kinetische Energie eines einzelnen Teilchens ausdrückt. Manchmal ist dieser Ausdruck bequemer zu verwenden als (Abbildung).
Die Einheiten der kinetischen Energie sind Masse mal Quadrat der Geschwindigkeit oder \text{kg}·{\text{m}}^{2}{\text{/s}}^{2} . Aber die Einheiten der Kraft sind Masse mal Beschleunigung, \text {kg} * {\text{m / s}} ^{2} , also sind die Einheiten der kinetischen Energie auch die Einheiten der Kraft mal Entfernung, die die Arbeitseinheiten oder Joule sind. Sie werden im nächsten Abschnitt sehen, dass Arbeit und kinetische Energie die gleichen Einheiten haben, weil sie verschiedene Formen derselben, allgemeineren physikalischen Eigenschaft sind.
Beispiel
Kinetische Energie eines Objekts
(a) Was ist die kinetische Energie eines 80-kg-Athleten, der mit 10 m / s läuft? (b) Der Chicxulub-Krater in Yucatan, einer der größten existierenden Einschlagskrater der Erde, wurde vermutlich von einem Asteroiden mit einer Geschwindigkeit von
22 km / s erzeugt und freigesetzt 4.2\,×\,{10}^{23}\,\ text{J} der kinetischen Energie beim Aufprall. Was war seine Masse? (c) In Kernreaktoren spielen thermische Neutronen mit einer Geschwindigkeit von etwa 2,2 km / s eine wichtige Rolle. Was ist die kinetische Energie eines solchen Teilchens?
Strategie
Um diese Fragen zu beantworten, können Sie die Definition der kinetischen Energie in (Abbildung) verwenden. Sie müssen auch die Masse eines Neutrons nachschlagen.
Lösung
Vergessen Sie nicht, km in m umzurechnen, um diese Berechnungen durchzuführen.
- K=\frac{1}{2}(80\,\ text{kg})(10\,{\text{m/s})}^{2}=4.0\,\ in:text{kJ}\text{.}
- m=2K\text{/}{v}^{2}=2(4.2\,×\,{10}^{23}\text{J})\text{/}{(22\,\text{km/s})}^{2}=1.7\,×\,{10}^{15}\,\text{kg}\text{.}
- K=\frac{1}{2}(1.68\,×\,{10}^{-27}\,\ text {kg}){(2,2\,\text{km/s})}^{2}=4.1\,×\,{10}^{-21}\,\ text{J}\text{.}
Bedeutung
In diesem Beispiel haben wir die Art und Weise verwendet, wie Masse und Geschwindigkeit mit kinetischer Energie zusammenhängen, und wir sind auf einen sehr breiten Bereich von Werten für die kinetischen Energien gestoßen. Für solche sehr großen und sehr kleinen Werte werden üblicherweise unterschiedliche Einheiten verwendet. Die Energie des Impaktors in Teil (b) kann mit der explosiven Ausbeute von TNT und nuklearen Explosionen verglichen werden, 1\,\text{megaton}=4.18\,×\,{10}^{15}\,\ text{J}\text{.} Die kinetische Energie des Chicxulub-Asteroiden betrug etwa hundert Millionen Megatonnen. Am anderen Extrem wird die Energie des subatomaren Teilchens in Elektronenvolt ausgedrückt, 1\,\ text {eV}=1.6\,×\,{10}^{-19}\,\ text{J}\text{.} Das thermische Neutron in Teil (c) hat eine kinetische Energie von etwa einem Vierzigstel Elektronenvolt.
Überprüfen Sie Ihr Verständnis
(a) Ein Auto und ein LKW bewegen sich jeweils mit der gleichen kinetischen Energie. Angenommen, der LKW hat mehr Masse als das Auto. Welches hat die höhere Geschwindigkeit? (b) Ein Auto und ein LKW bewegen sich jeweils mit der gleichen Geschwindigkeit. Welches hat die größere kinetische Energie?
Da die Geschwindigkeit eine relative Größe ist, können Sie sehen, dass der Wert der kinetischen Energie von Ihrem Bezugsrahmen abhängen muss. Sie können in der Regel einen Bezugsrahmen wählen, der dem Zweck Ihrer Analyse entspricht und Ihre Berechnungen vereinfacht. Ein solcher Bezugsrahmen ist derjenige, in dem die Beobachtungen des Systems gemacht werden (wahrscheinlich ein externer Rahmen). Eine andere Wahl ist ein Rahmen, der an dem System befestigt ist oder sich mit ihm bewegt (wahrscheinlich ein interner Rahmen). Die Gleichungen für die Relativbewegung, die in Bewegung in zwei und drei Dimensionen diskutiert werden, stellen eine Verbindung zur Berechnung der kinetischen Energie eines Objekts in Bezug auf verschiedene Referenzrahmen her.
Beispiel
Kinetische Energie relativ zu verschiedenen Rahmen
Eine 75,0 kg schwere Person läuft mit einer Geschwindigkeit von 1,50 m / s relativ zum Wagen den Mittelgang eines U-Bahnwagens hinunter, während sich der Zug mit 15,0 m / s relativ zu den Gleisen bewegt. (a) Was ist die kinetische Energie der Person relativ zum Auto? (b) Was ist die kinetische Energie der Person im Verhältnis zu den Spuren? (c) Was ist die kinetische Energie der Person relativ zu einem Rahmen, der sich mit der Person bewegt?
Da Geschwindigkeiten gegeben sind, können wir \frac{1}{2}m{v}^{2} verwenden, um die kinetische Energie der Person zu berechnen. In Teil (a) ist die Geschwindigkeit der Person jedoch relativ zum U-Bahn-Wagen (wie angegeben); in Teil (b) ist es relativ zu den Gleisen; und in Teil (c) ist es Null. Wenn wir den Wagenrahmen mit C, den Gleisrahmen mit T und die Person mit P bezeichnen, sind die Relativgeschwindigkeiten in Teil (b) durch {\overset{\to }{v}}_{\text{PT}}={\overset{\to }{v}}_{\text{PC}}+{\overset{\to }{v}}_{\text{CT}} verwandt. Wir können davon ausgehen, dass der Mittelgang und die Gleise auf derselben Linie liegen, aber die Richtung, in die die Person relativ zum Auto geht, ist nicht angegeben, daher geben wir für jede Möglichkeit eine Antwort, {v}_{\text{PT}}={v}_{\text{CT}}±{v}_{\text{PC}} , wie in gezeigt (Abbildung).
Abbildung 7.10 Die möglichen Bewegungen einer Person, die in einem Zug geht, sind (a) zur Vorderseite des Wagens und (b) zur Rückseite des Wagens.
Lösung
- K=\frac{1}{2}(75.0\,\ text {kg})(1,50\,{\text{m/s})}^{2}=84.4\,\ text{J}\text{.}
- {v}_{\text{PT}}=(15.0±1.50)\,\ text{m/s}\text{.} Daher sind die beiden möglichen Werte für die kinetische Energie relativ zum Auto
K=\frac{1}{2}(75.0\,\ text {kg})(13,5\,{\text{m/s})}^{2}=6.83\,\ text{kJ}
und
K=\frac{1}{2}(75.0\,\ text {kg})(16,5\,{\text{m/s})}^{2}=10.2\,\ in:text{kJ}\text{.} - In einem Rahmen, in dem {v}_{\text{P}}=0, K= 0 ist.
Sie können sehen, dass die kinetische Energie eines Objekts je nach Bezugsrahmen sehr unterschiedliche Werte haben kann. Die kinetische Energie eines Objekts kann jedoch niemals negativ sein, da sie das Produkt der Masse und des Quadrats der Geschwindigkeit ist, die beide immer positiv oder Null sind.
Überprüfen Sie Ihr Verständnis
Sie rudern ein Boot parallel zu den Ufern eines Flusses. Ihre kinetische Energie relativ zu den Ufern ist geringer als Ihre kinetische Energie relativ zum Wasser. Rudern Sie mit oder gegen den Strom?
Die kinetische Energie eines Partikels ist eine einzelne Größe, aber die kinetische Energie eines Systems von Partikeln kann manchmal in verschiedene Arten unterteilt werden, abhängig von dem System und seiner Bewegung. Zum Beispiel, wenn alle Teilchen in einem System die gleiche Geschwindigkeit haben, wird das System einer Translationsbewegung unterzogen und hat translationale kinetische Energie. Wenn sich ein Objekt dreht, könnte es kinetische Rotationsenergie haben, oder wenn es vibriert, könnte es kinetische Vibrationsenergie haben. Die kinetische Energie eines Systems in Bezug auf einen internen Bezugsrahmen kann als interne kinetische Energie bezeichnet werden. Die kinetische Energie, die mit zufälliger Molekularbewegung verbunden ist, kann als thermische Energie bezeichnet werden. Diese Namen werden gegebenenfalls in späteren Kapiteln des Buches verwendet. Unabhängig vom Namen ist jede Art von kinetischer Energie die gleiche physikalische Größe, die Energie darstellt, die mit Bewegung verbunden ist.
Beispiel
Spezielle Bezeichnungen für kinetische Energie
(a) Ein Spieler wirft einen Mittelfeldpass mit einem 624-g-Basketball, der 15 m in 2 s abdeckt. Wie hoch ist die kinetische Translationsenergie des Basketballs während des Fluges? (b) Ein durchschnittliches Luftmolekül im Basketball in Teil (a) hat eine Masse von 29 u und eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 500 m / s relativ zum Basketball. Es gibt ungefähr 3\,×\,{10}^{23} moleküle darin, die sich in zufällige Richtungen bewegen, wenn der Ball richtig aufgeblasen ist. Was ist die durchschnittliche translationskinetische Energie der zufälligen Bewegung aller Moleküle im Inneren relativ zum Basketball? (c) Wie schnell müsste sich der Basketball wie in Teil (a) relativ zum Platz bewegen, um eine kinetische Energie zu haben, die der Menge in Teil (b) entspricht?
Ermitteln Sie in Teil (a) zuerst die horizontale Geschwindigkeit des Basketballs und verwenden Sie dann die Definition der kinetischen Energie in Bezug auf Masse und Geschwindigkeit, K=\frac{1}{2}m{v}^{2} . Konvertieren Sie dann in Teil (b) einheitliche Einheiten in Kilogramm und verwenden Sie dann K=\frac {1}{2} m{v} ^{2}, um die durchschnittliche translationskinetische Energie eines Moleküls relativ zum Rest zu erhalten. Multiplizieren Sie dann mit der Anzahl der Moleküle, um das Gesamtergebnis zu erhalten. Schließlich können wir in Teil (c) die Menge an kinetischer Energie in Teil (b) und die Masse des Basketballs in Teil (a) durch die Definition K=\frac{1} {2} m{v} ^{2} ersetzen und nach v lösen.
Lösung
- Die horizontale Geschwindigkeit beträgt (15 m) / (2 s), sodass die horizontale kinetische Energie des Basketballs
\frac{1}{2}(0.624\,\ text {kg}){(7,5\,\text{m/s})}^{2}=17.6\,\ text{J}\text{.}
- Die durchschnittliche kinetische Translationsenergie eines Moleküls beträgt
\frac{1}{2}(29\,\ text {u})(1.66\,×\,{10}^{-27}\,\ text {kg/e}){(500\,\text{m/s})}^{2}=6.02\,×\,{10}^{-21}\,\ text {J,}
und die gesamte kinetische Energie aller Moleküle ist
(3\,×\,{10}^{23})(6.02\,×\,{10}^{-21}\,\ text{J})=1,80\,\text{kJ}\text{.} - v=\sqrt{2(1,8\,\text{kJ})\text{/}(0,624\,\text{kg})}=76,0\,\text{m/s}\text{.}
Bedeutung
In Teil (a) kann diese Art von kinetischer Energie als horizontale kinetische Energie eines Objekts (des Basketballs) relativ zu seiner Umgebung (des Platzes) bezeichnet werden. Wenn sich der Basketball drehen würde, hätten alle Teile nicht nur die Durchschnittsgeschwindigkeit, sondern auch die kinetische Rotationsenergie. Teil (b) erinnert uns daran, dass diese Art von kinetischer Energie als innere oder thermische kinetische Energie bezeichnet werden kann. Beachten Sie, dass diese Energie etwa hundertmal so groß ist wie die Energie in Teil (a). Wie man thermische Energie nutzt, wird Gegenstand der Kapitel zur Thermodynamik sein. Da die Energie in Teil (b) etwa 100-mal so groß ist wie in Teil (a), sollte die Geschwindigkeit in Teil (c) etwa 10-mal so groß sein (76 im Vergleich zu 7,5 m / s).
Zusammenfassung
- Die kinetische Energie eines Teilchens ist das Produkt der Hälfte seiner Masse und des Quadrats seiner Geschwindigkeit für nichtrelativistische Geschwindigkeiten.
- Die kinetische Energie eines Systems ist die Summe der kinetischen Energien aller Teilchen im System.
- Kinetische Energie ist relativ zu einem Bezugsrahmen, ist immer positiv und erhält manchmal spezielle Namen für verschiedene Bewegungsarten.
Konzeptionelle Fragen
Ein Teilchen von m hat eine Geschwindigkeit von {v}_{x}\hat{i}+{v}_{y}\hat{j}+{v}_{z}\hat{k}. Ist seine kinetische Energie gegeben durch m({v}_{x}{}^{2}\hat{i}+{v}_{y}{}^{2}\hat{j}+{v}_{z}{}^{2}\hat{k}\text{)/2?} Wenn nicht, was ist der richtige Ausdruck?
Ein Teilchen hat die Masse m und ein zweites Teilchen die Masse 2m. Das zweite Teilchen bewegt sich mit der Geschwindigkeit v und das erste mit der Geschwindigkeit 2v. Wie vergleichen sich ihre kinetischen Energien?
Eine Person lässt einen Kieselstein der Masse {m} _{1} aus einer Höhe h fallen und trifft mit kinetischer Energie K auf den Boden. Die Person lässt einen anderen Kieselstein der Masse {m} _{2} aus einer Höhe von 2h fallen und trifft mit derselben kinetischen Energie K auf den Boden. Wie vergleichen sich die Massen der Kieselsteine?
Probleme
Vergleichen Sie die kinetische Energie eines 20.000 kg schweren Lastwagens, der sich mit 110 km / h bewegt, mit der eines 80,0 kg schweren Astronauten im Orbit, der sich mit 27.500 km / h bewegt.
( a) Wie schnell muss sich ein 3000 kg schwerer Elefant bewegen, um die gleiche kinetische Energie zu haben wie ein 65,0 kg schwerer Sprinter mit 10,0 m / s? (b) Diskutieren Sie, wie die größeren Energien, die für die Bewegung größerer Tiere benötigt werden, mit den Stoffwechselraten zusammenhängen würden.
Schätzen Sie die kinetische Energie eines 90.000 Tonnen schweren Flugzeugträgers, der sich mit einer Geschwindigkeit von 30 Knoten bewegt. Sie müssen die Definition einer Seemeile nachschlagen, um die Einheit für die Geschwindigkeit umzurechnen, wobei 1 Knoten 1 Seemeile pro Stunde entspricht.
Berechnen Sie die kinetischen Energien von (a) einem 2000,0-kg-Automobil, das sich mit 100,0 km / h bewegt; (b) ein 80.-kg Läufer sprinten bei 10. m/s; und (c) a 9.1\,×\,{10}^{-31}\,\ text{-kg} Elektron bewegt sich um 2.0\,×\,{10}^{7}\,\ text{m/s}\text{.}
Ein 5,0 kg schwerer Körper hat die dreifache kinetische Energie eines 8,0 kg schweren Körpers. Berechnen Sie das Verhältnis der Geschwindigkeiten dieser Körper.
Ein 8,0-g-Geschoss hat eine Geschwindigkeit von 800 m / s. (a) Was ist seine kinetische Energie? (b) Was ist seine kinetische Energie, wenn die Geschwindigkeit halbiert wird?
Glossar
kinetische Energie Bewegungsenergie, die Hälfte der Masse eines Objekts mal das Quadrat seiner Geschwindigkeit
