(fl. China, ca, a. d. 250)
matemáticas.
No se sabe nada sobre la vida de Liu Hui, excepto que floreció en el reino de Wei hacia el final del período de los Tres Reinos (221-265 d.c.). Sus escritos matemáticos, por otro lado, son bien conocidos; su comentario sobre el Chiu-chang suan-shu («Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático») ha ejercido una profunda influencia en las matemáticas chinas durante más de 1.000 años. Escribió otra obra importante, pero mucho más corta: el Hai-tao suan-ching («Manual Matemático de la Isla del Mar»).
Algunos estudiosos creen que el Chiu-chang suan-shu, también llamado Chiu-chang suan-ching(«Manual Matemático en Nueve capítulos»), ya existía en China durante el siglo III a.c.Ch’ien Paotsung, en su Chung-kuo suan-hsüeh-shih, y Chang Yin-lin (Yenching Hsüeh Pao, 2 , 301) han observado que los títulos de ciertos funcionarios mencionados en los problemas datan de CH en y anteriores (siglos tercero y principios del segundo a. c.). También hay referencias que deben indicar un sistema impositivo de 203 a.c. Según el prefacio de Liu Hui, el libro fue quemado durante la época del emperador Ch’in Shih-huang (221-209 a.c.); pero los restos del libro fueron recuperados y puestos en orden. En los dos siglos siguientes, Chang Ts’ang (fl. 165-142 b.c) y Keng Shou-ch’ang (fl. 75 a 49 a.c.). En un estudio de Ch’ien Pao-tsung (1963) se sugiere, a partir de la evidencia textual interna, que el Chiu-chang suan-shu fue escrito entre el 50 a.c. y el 100 d.c. y que es dudoso que Chang Ts’ang y Keng Shou-ch’ang tuvieran algo que ver con el libro. Sin embargo, Li Yen y Tu Shih-jan, ambos colegas de Ch’ien Pao-tsung, todavía creían en el prefacio de Liu Hui cuando escribieron sobre el Chiu-chang suan-shu en el mismo año.
Durante el siglo VII, tanto el Chiu-chang suan-shu como el Hai-tao suan-ching (263 d.c.) fueron incluidos en Suan-ching shih-shu («Diez Manuales Matemáticos», 656 d.c.), a los que el matemático y astrónomo T’ang Li Shun-feng (602-670) añadió sus anotaciones y comentarios. Estos trabajos se convirtieron en textos estándar para estudiantes de matemáticas; las regulaciones oficiales prescribían que se dedicaran tres años a las obras de Liu Hui. Las obras de Liu Hui también encontraron su camino a Japón con estos manuales matemáticos. Cuando se establecieron escuelas en Japón en 702 y se enseñaron matemáticas, tanto el Chiu-chang suan-shu como el Hai-tao suan-ching estaban entre los textos prescritos.
De acuerdo con el tratado matemático de Ch’eng Ta-wei, el Suan-fa t’ung-tsung («Tratado Sistemático de Aritmética»; 1592), tanto el Chiu-chang suan-shu como el Hai-tao suan-ching se imprimieron oficialmente por primera vez en 1084. Hubo otra versión impresa de ellos por Pao Huan-chih en 1213. A principios del siglo XV fueron incluidos, aunque considerablemente reorganizados, en la vasta enciclopedia Ming, el Yung-lo ta-tien (1403-1407). En la segunda parte del siglo XVIII, Tai Chen (1724-1777) reconstruyó estos dos textos después de haberlos extraído por partes del Yung-lo to-tilen. Posteriormente fueron incluidos por K’ung Chi-han (1739-1787) en su Wei-po-hesieh ts’ung-shu (1773). Tres años más tarde, ch’u Tseng-fa los imprimió por separado con el prefacio de Tai Chen.
Otras reproducciones basadas en la reconstrucción de Tai Chen en el Wei-po-hsieh ts’ung-shu se encuentran en los Suan-ching shih-shu («Diez manuales matemáticos») de Mei Ch’i-chao (1862 y en las series Wan-yu-wen-K’u (1929-1933) y Ssu-pu ts’ung-k’an (1920-1922; ambas de la Prensa Comercial, Shanghai). Dos eruditos del siglo XIX, Chung Siang y Li Huang, descubrieron que ciertos pasajes del texto se habían vuelto incomprensibles por el intento de Tai Chen de mejorar el texto original del Chiu-chang suan-shu. Un fragmento de la edición de principios del siglo XIII del Chiu-chang suan-shu. consta de solo cinco capítulos, se encontró durante el siglo XVII en Nankín, en la biblioteca privada de Huang Yü-chi (1629-1691). Esta copia fue vista por el famoso erudito Ch’ing Mei Wen-ting (1633-1721) en 1678, y más tarde pasó a manos de K’ung Chi-han (1739-1784) y luego de Chang Tun-jen (1754-1834); finalmente fue adquirida por la Biblioteca de Shanghai, donde ahora se conserva. En 1684, Mao I (1640-después de 1710) hizo una copia manuscrita del texto original encontrado en la biblioteca de Huang Yü-chi. Esta copia fue adquirida más tarde por el emperador durante el reinado de Ch’ien-lung (1736-1795). En 1932 fue reproducido en la serie T’ien-lu-lin-lang ts’ung-shu.
En 1261 Yang Hui escribió el Hsiang-csieh chiu-chang suan-fa («Análisis Detallado de las Reglas Matemáticas en los Nueve Capítulos») para dilucidar los problemas en el Chiu-chang suan-shu. Ch’ien Pao-tsung en 1963 recopiló el texto del Chiu-chang suan-shu de la versión de Tai Chen, los fragmentos de la última edición Sung reproducidos en la serie T’ien-lu-lin-lang ts’ung-shu, y el Hsiang-chieh chiu-chang suan-fa de Yang Hui.
En cuanto al Hai-tao suan-ching, solo queda la versión reconstruida de Tai Chen. Fue reproducido en la edición del palacio Wu-ying-tien (antes de 1794), los «Diez Manuales Matemáticos» en el Wei-po-hsieh ts’ung-shu de K’ung Chi-han, y el apéndice del Chiu-chang suan-shu de Chü Tseng-fa.
El Chiu-chang suan-shu fue concebido como un manual práctico, una especie de aide-mémoire para arquitectos, ingenieros, funcionarios y comerciantes. Esta es la razón de la presencia de tantos problemas en la construcción de canales y diques, murallas, impuestos, trueque, servicios públicos, etc. Consta de nueve capítulos, con un total de 246 problemas. Los capítulos pueden resumirse de la siguiente manera::
(1) Fang-t’ien («Agrimensura») contiene las reglas para encontrar las áreas de triángulos, trapezoides, rectángulos, círculos, sectores de círculos y anulos. Da reglas para la suma, resta, multiplicación y división de fracciones. Existe una fórmula interesante pero inexacta para el área del segmento de a donde se conoce el acorde do y la sagitta s, en la forma s (c + s) / 2. Esta expresión apareció más tarde durante el siglo IX en Ganitasārasangraha de Mahāvīra.
De especial interés es el valor de la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro que utilizó Liu Hui. El valor antiguo de π utilizado en China era 3, pero desde el primer siglo los matemáticos chinos habían estado buscando un valor más preciso. Liu Hsin (d. a.d. 23) utilizó 3.1547, mientras que Chang Hen (78-139) dio √10 y 92/29. Wang Fan (219-257) encontró 142/45, y luego Liu Hui dio 3.14. Los nombres más importantes en este sentido son, sin embargo, los de Tsu Ch’ung-chih (430-501), un brillante matemático, astrónomo e ingeniero de las dinastías Liu Sung y Ch’i, y su hijo, Tsu Cheng-chih. Tsu Ch’ung-chih dio dos valores para π primero uno » inexacto «(yo lü), igual a 22/7, dado anteriormente por Arquímedes, y luego uno» más preciso » ((mi lu)), 355/113 (3.1415929). Incluso buscó más aproximaciones y encontró que π se encuentra entre 3,1415926 y 3,1415927. Su método fue probablemente descrito en el Chui Shu, que él y su hijo escribieron, pero ahora está perdido. El valor de Tsu Ch’ung-chih de 355/113 para π desapareció durante muchos siglos en China hasta que fue retomado por Chao Yu-ch’in ((fl, ca. 1300)). Liu Hui obtuvo el valor exacto 3.14 tomando la relación del perímetro de un polígono regular de noventa y seis lados con el diámetro de un círculo que encierra este polígono. Comencemos con un hexágono regular del lado L6. La relación entre el perímetro del hexágono y el diámetro del círculo que lo encierra es de 3. Si cambiamos el hexágono a un polígono regular de doce lados, como se muestra en la Figura 1, observando que L6 = r, el radio del círculo circunscrito, entonces el lado del polígono de doce lados viene dado por
Por lo tanto, si Lnis es conocido, entonces L2n se puede encontrar a partir de la expresión
Tomando r = 1, se pueden encontrar los siguientes valores: L6 = 1; L12 = 0.517638; L24 = 0,261052; L48 = 0,130806; L96 = 0,065438.
El perímetro de un polígono regular de n = 96 y r = 1 es 96 × 0,065438 = 6,282048. Por lo tanto π = 6,282048/2 = 3,141024, o aproximadamente 3,14. Liu Hui también utilizó un polígono de 3.072 lados y obtuvo su mejor valor, 3.14159.
(2) Su-mi («Mijo y arroz») trata de porcentajes y proporciones. Las ecuaciones indeterminadas se evitan en los últimos nueve problemas de este capítulo mediante el uso de proporciones.
(3) Ts’ui-fen («Distribución por progresión») se refiere a la distribución de propiedades entre socios de acuerdo con tarifas dadas. También incluye problemas en la tributación de bienes de diferentes calidades, y otros en progresiones aritméticas y geométricas, todos resueltos mediante el uso de proporciones.
(4) Shao-kuang («Anchura decreciente») implica encontrar los lados de un rectángulo cuando se da el área y uno de los lados, la circunferencia de un círculo
cuando se conoce su área, el lado de un cubo dado su volumen y el diámetro de una esfera de volumen conocido. Se muestra el uso del múltiplo menos común en fracciones. Es interesante que se utilicen fracciones unitarias, por ejemplo, en el problema 11 de este capítulo. Dada la anchura de una forma rectangular se expresa como
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
Los problemas en este capítulo también conducen a la extracción de raíces cuadradas y raíces cúbicas; el problema 13, por ejemplo, implica encontrar la raíz cuadrada de 25,281. De acuerdo con el método dado en el Chiu-chang suan-shu, este número, conocido como el shih (dividendo), se coloca primero en la segunda fila desde la parte superior del tablero de conteo. A continuación, una barra de conteo, llamada chieh-suan preliminar, se coloca en la fila inferior de la tabla de conteo en la columna de dígitos derecha más lejana. Esta varilla se mueve hacia la izquierda, dos lugares a la vez, en cuanto a lo que puede ir sin rebasar el dígito izquierdo más lejano del número en la fila shih. Con su nuevo valor de posición, esta varilla se llama chieh-sucn. Se muestra en la Figura 2a.
La primera figura de la raíz se encuentra entre 100 y 200. A continuación, 1 se toma como la primera figura de la raíz y se coloca en la fila superior de la columna de cientos. La fila superior se llama colmillo. El chieh-suan se multiplica por la primera figura de la raíz. El producto, llamado fa, se coloca en la tercera fila. El shih (25,281) menos el fa (10,000) deja el «primer resto» (15,281), que está escrito en la segunda fila, como se muestra en la Figura 2b. Después de que se haya hecho la división, el fa se duplica para formar el ting-fa. Este se mueve un dígito a la derecha, mientras que el chieh-suan se desplaza dos dígitos a la derecha, como se muestra en la Figura 2c.
La segunda figura, seleccionada por ensayo y error, se encuentra entre 5 y 6. Por lo tanto, se considera que el dígito de las decenas es 5 y se colocará en su posición adecuada en la fila superior de la figura 2e. El chieh – suan (que ahora es 100) se multiplica por esta segunda cifra y el producto se agrega al ting-fa, que se convierte en 2.500. El ting-fa multiplicado por 5 se resta del primer resto, lo que da un resto de 2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), como se muestra en la Figura 2d, el ting-fa se desplaza a continuación un dígito a la derecha y el chieh-suan dos lugares (véase la Figura 2e). La tercera figura, nuevamente seleccionada por ensayo y error, es 9. Este dígito de unidad se coloca en su posición adecuada en la fila superior. El Chieh-suan, que ahora es 1, se multiplica por esta tercera cifra y el producto se agrega al ting-fa, que se convierte en 259. El segundo resto se divide por el ting-fa, que deja un resto de cero (2,781 ÷ 259 = 9 +0). Por lo tanto, la respuesta es 159 (véase la Figura 2f).
(5) Shang-kung («Consultas sobre Obras de Ingeniería») da los volúmenes de figuras sólidas tales como el prisma, la pirámide, el tetraedro, la cuña, el cilindro, el cono y el tronco de un cono:
(a) Volumen de prisma cuadrado = cuadrado del lado de la base por altura.
(b) Volumen del cilindro = 1/12 cuadrado de circunferencia del círculo por altura (donde π se toma como aproximadamente 3).
c) Volumen de la pirámide cuadrada truncada = 1/3 la altura multiplicada por la suma de los cuadrados de los lados de los cuadrados superior e inferior y el producto de los lados de los cuadrados superior e inferior.
(d) Volumen de la pirámide cuadrada = 1/3 de la altura por el cuadrado del lado de la base.
e) Volumen del tronco de un cono circular = 1/36 la altura multiplicada por la suma de los cuadrados de las circunferencias de las caras circulares superior e inferior y el producto de estas dos circunferencias (donde π se considera aproximadamente 3).
(f) Volumen del cono circular = 1/36 la altura por el cuadrado de la circunferencia de la base (donde π se toma como aproximadamente 3).
(g) Volumen de un prisma triangular derecho = 1/2 el producto de la anchura, la longitud y la altura.
(h) Volumen de una pirámide rectangular = 1/3 el producto de la anchura y la longitud de la base y la altura.
i) Volumen de tetraedro con dos aristas opuestas perpendiculares entre sí = 1/6 el producto de las dos aristas opuestas perpendiculares y la perpendicular común a estas dos aristas.
(6) Chün-shu («Tributación imparcial») se refiere a problemas de persecución y aligeración, especialmente en relación con el tiempo requerido para que los contribuyentes obtengan sus contribuciones de granos de sus ciudades nativas a la capital. También se ocupa de los problemas de ratios en relación con la distribución de las cargas fiscales en función de la población. El problema 12 en este capítulo dice:
Un buen corredor puede dar 100 pasos mientras que un mal corredor da 60 pasos. El mal corredor ha recorrido una distancia de 100 pasos antes de que el buen corredor comience a perseguirlo. ¿En cuántos pasos alcanzará el buen corredor?
(7) Ying pu-tsu o ying-nü («Exceso y deficiencia»). Ying, refiriéndose a la luna llena, y pu-tsu o nü a la luna nueva, significan «demasiado» y «muy poco», respectivamente. Esta sección trata de una invención algebraica china utilizada principalmente para resolver problemas del tipo ax + b = 0 de una manera bastante indirecta. El método llegó a conocerse en Europa como la regla de la posición falsa. En este método se realizan dos conjeturas, x1 y x2, dando lugar a valores c1 y c2, respectivamente, mayores o menores que 0. De estos tenemos las siguientes ecuaciones:
Multiplicando (1) por x2 y (2) por x1, tenemos
De (1) y (2),
Por lo tanto
El problema 1 de este capítulo dice:
En una situación en la que ciertas cosas se compran conjuntamente, si cada persona paga 8 , el excedente es 3 , y si cada persona paga 7, la deficiencia es 4. Encuentra el número de personas y el precio de las cosas traídas.
De acuerdo con el método de exceso y deficiencia, las tasas (es decir, las «conjeturas» 8 y 7) se establecen primero en el tablero de conteo con el exceso (3) y la deficiencia (-4) colocados debajo de ellos. Las tasas se multiplican por el exceso y la deficiencia, y los productos se agregan para formar el dividendo. Luego, el exceso y la deficiencia se suman para formar el divisor. El cociente da la cantidad correcta de dinero a pagar por cada persona. Para obtener el número de personas, agregue el exceso y la deficiencia y divida la suma por la diferencia entre las dos tasas. En otras palabras, x y a se obtienen usando las ecuaciones (5) y (4) anteriores.
A veces un problema sencillo puede transformarse en uno que implique el uso de la regla de la posición falsa. El problema 18 en el mismo capítulo dice:
Hay 9 piezas de oro y 11 piezas de plata. Los dos lotes pesan lo mismo. Una pieza se toma de cada lote y se coloca en la otra. El lote que contiene principalmente oro ahora pesa menos de 13 onzas que el lote que contiene principalmente plata. Encuentra el peso de cada pieza de oro y plata.
Aquí se hacen dos conjeturas para el peso del oro. El método dice que si cada pieza de oro pesa 3 libras, entonces cada pieza de plata pesaba 2 5/11 libras, dando una deficiencia de 49/11 onzas; y si cada pieza de oro pesa 2 libras, entonces cada pieza de plata pesaría 1 7/11 libras, dando un exceso de 15/11 onzas. Después de esto, se aplica la regla de posición falsa.
(8) Fang-ch’eng («Cálculo por Tabulación») se refiere a ecuaciones lineales simultáneas, utilizando números positivos y negativos. El problema 18 en este capítulo involucra cinco incógnitas pero da solo cuatro ecuaciones, anunciando así la ecuación indeterminada. El proceso de resolución de ecuaciones lineales simultáneas que se da aquí es el mismo que el procedimiento moderno para resolver el sistema simultáneo
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b2y + c3z = d3,
excepto que los coeficientes y constantes están dispuestos en columnas verticales en lugar de escribirse horizontalmente:
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3.
En este capítulo Liu Hui también explica la suma y resta algebraica de números positivos y negativos. (Liu Hui denotó números positivos y números negativos por barras de cálculo rojas y negras, respectivamente.)
(9) Kou-ku («Ángulos rectos») trata de la aplicación del teorema de Pitágoras. Algunos de sus problemas son los siguientes:
Una pieza cilíndrica de madera con un diámetro de sección transversal de 2 pies, 5 pulgadas, se cortará en una pieza de tablón de 7 pulgadas de grosor. ¿Cuál es el ancho? Hay un árbol de 20 pies de alto y 3 pies de circunferencia.Una enredadera serpentea alrededor del árbol siete veces y llega a la cima. Encuentra la longitud de la vid, Hay un estanque de 7 pies cuadrados con una caña que crece en el centro y mide un pie por encima del agua. La caña solo llega a la orilla al nivel del agua cuando es atraída hacia ella. Encontrar la profundidad del agua y la longitud de la caña.
Hay un bambú de 10 pies de alto. Cuando se dobla, el extremo superior toca el suelo a 3 pies del tallo. Encuentra la altura de la rotura,
Es interesante que un problema similar al 13 apareciera en la obra de Brahmagupta en el siglo VII.
El problema 20 ha despertado un interés aún mayor:
Hay una ciudad cuadrada de dimensión desconocida. Una puerta está en el centro de cada lado. A veinte pasos de la puerta norte hay un árbol. Si uno camina 14 pasos desde la puerta sur, gira hacia el oeste y toma 1.775 pasos, el árbol simplemente aparecerá a la vista. Encuentra la longitud del lado de la ciudad.
El libro indica que la respuesta se puede obtener evolucionando la raíz de la ecuación cuadrática.
x2 + (14 + 20)x = 2 (1775 × 20).
No se describe el método para resolver esta ecuación. Mikami sugiere que es muy probable que la extracción de raíces se llevó a cabo con un término adicional en el coeficiente de primer grado en lo desconocido y que este término adicional se llamó tsung, pero en su traducción literal de algunas partes del texto relativas a las extracciones de raíces, no nota que los pasos sucesivos se corresponden estrechamente con los del método de Horner. Ch’ien Pao-tsung y Li Yen han intentado comparar el método descrito en el Chiu-chang suan-shu con el de Horner, pero no han aclarado las oscuridades textuales. Wang Ling y Needham dicen que es posible demostrar que si se sigue con mucho cuidado el texto del Chiu-chang suan-shu, los elementos esenciales de los métodos utilizados por los chinos para resolver ecuaciones numéricas de segundo y grados superiores, similares a los desarrollados por Horner en 1819, están presentes en una obra que puede fecharse en el siglo I a.c.
El Hai-tao suan-ching, originalmente conocido con el nombre de Ch’ung ch’a («Método de Diferencias Dobles»), fue anexado al Chiu-chang suan-shu como su décimo capítulo. Se separó del texto principal durante el siglo VII, cuando se eligieron los «Diez Manuales Matemáticos», y se le dio el título de Hai-tao suan-cluig. Según Mikami, el término ch’ung ch’a pretendía significar la aplicación doble o repetida de las proporciones de los lados de los triángulos rectángulos. El nombre Hai-tao probablemente proviene del primer problema del libro, que trata sobre una isla en el mar. Consta de solo nueve problemas, el libro es equivalente a menos de un capítulo del Chiu-chang suan-shu.
En su prefacio Liu Hui describe el método chino clásico de determinar la distancia del sol a la tierra plana por medio de doble triangulación. De acuerdo con este método, se erigieron dos postes verticales de ocho pies de altura al mismo nivel a lo largo del mismo meridiano, uno en la antigua capital Chou de Yan-ch’eng y el otro de 10.000 li (1 ,li = 1.800 pies) al norte. Se midieron las longitudes de las sombras proyectadas por el sol al mediodía del solsticio de verano, y de ellas se pudo deducir la distancia del sol. Liu Hui luego muestra cómo el mismo método se puede aplicar a ejemplos más cotidianos. El problema 1 dice:
Una isla marina se ve desde la distancia. Dos postes, cada uno de 30 pies de altura, se erigen en el mismo nivel a 1.000 pu de distancia para que el poste en la parte trasera esté en línea recta con la isla y el otro poste. Si uno mueve 123 pu hacia atrás desde el poste más cercano, la parte superior del poste es solo visible a través del extremo del poste si lo ve desde el nivel del suelo. Si retrocede 127 pu desde el otro poste, la parte superior de la isla es visible a través del extremo del poste si se ve desde el nivel del suelo. Encuentra la elevación de la isla y su distancia desde el polo. el polo es 102 li, 150 pu (300 pu = 1 li).]
La regla para resolver este problema se da de la siguiente manera:
Multiplique la altura del poste por la distancia entre los postes y divida el producto por la diferencia entre las distancias que uno tiene que caminar desde los postes para ver el punto más alto de la isla. La adición de la altura del polo al cociente da la elevación de la isla. Para encontrar la distancia desde el polo más cercano a la isla, multiplique la distancia recorrida desde ese polo por la distancia entre los polos. Dividir el producto por la diferencia entre las distancias que uno tiene que caminar desde los polos da esa distancia.
El problema 7 es de especial interés:
Una persona está mirando hacia un abismo con un trozo de roca blanca en el fondo. Desde la orilla se gira un travesaño para que quede en el lado que normalmente está erguido . Si la base mide 3 pies y uno mira la superficie del agua desde la punta de la base, la línea de visión cumple con la altura del travesaño a una distancia de 4 pies, 5 pulgadas; y cuando uno mira la roca, la línea de visión cumple con la altura del travesaño a una distancia de 2 pies, 4 pulgadas. Un travesaño similar se coloca 4 pies por encima del primero. Si uno mira desde la punta de la base, la línea de visión a la superficie del agua alcanzaría la altura del travesaño a una distancia de 4 pies; y si uno mira la roca, será de 2 pies, 2 pulgadas. Encuentra la profundidad del agua.
En la Figura 3, si P es la superficie del agua por encima de la roca blanca, R, y BC y FG son las dos barras transversales, entonces BC = FG = 3 pies; GC = 4 pies; AC = 4 pies, 5 pulgadas; DC = 2 pies, 4 pulgadas; EG = 4 pies; y HG = 2 pies, 2 pulgadas. Se busca la profundidad del agua, PR. Para obtener la respuesta, Liu Hui da la siguiente regla:
Liu Hui no ha tenido en cuenta aquí el índice de refracción del agua. La regla dada es una extensión de la utilizada para resolver el problema 4, que utiliza el mismo método para determinar la profundidad de un valle:
Una persona está mirando un valle profundo. Desde el borde del valle se gira un travesaño para que quede en el lado que normalmente está erguido . La base
es de 6 pies de largo. Si uno mira el fondo del valle desde el borde de la base, la línea de visión se encuentra con el lado vertical a una distancia de 9 pies, 1 pulgada. Otro travesaño se encuentra a 30 pies directamente sobre el primero. Si el fondo del valle se observa desde el borde de la base, la línea de visión se encontrará con el lado vertical a una distancia de 8 pies, 5 pulgadas. Encuentra la profundidad del valle.
Si nos referimos de nuevo a la Figura 3, ignorando las líneas rotas, tenemos CB = GF = 6 pies; CG = 30 pies; AC = 9 pies, 1 pulgada; EG = 8 pies, 5 pulgadas; y CQ es la profundidad. De triángulos similares ABC y PBQ,
QB · AC = PQ · CB;
y de triángulos similares EFG y PFQ,
QF * EG = PQ * GF.
Desde el CB = GF, y QF = QB = BF,
QB · AC = (QB + BF), por ejemplo,
QB(AC – EG) = BF · EG = GC · por ejemplo,
que es
(CQ + CB)(AC – EG) = GC · EJ.
Por lo tanto,
En el problema 7 también se obtiene la distancia desde el banco hasta el fondo del abismo (CS en la Figura 3) de la expresión
PR se deriva de la diferencia entre CS y CQ.
En cuanto a los otros problemas, el problema 2 se refiere a encontrar la altura de un árbol en una colina; el problema 3 trata del tamaño de una ciudad amurallada distante; el problema 5 muestra cómo medir la altura de una torre en una llanura vista desde una colina; el problema 6 da un método para encontrar la anchura de un golfo visto desde la distancia en tierra; el problema 8 es un caso de encontrar el ancho de un río visto desde una colina; y el problema 9 busca el tamaño de una ciudad vista desde la montaña a.
BIBLIOGRAFÍA
A modern ed. del Chiu-chang suan-shu es el vol. 1121 en la serie Ts’ung-Shu Chi-Chêng (Shanghai, 1936).
Las obras que tratan de Liu Hui y sus escritos son Ch’ien Pao-tsung, Suan-ching shih-shu («Diez manuales matemáticos»), 2 vols. (Pekín, 1963), 83-272; y Chung-kuosuan-hsüeh-shih («Historia de las matemáticas chinas») (Pekín, 1964), 61-75; L.van Hée, «Le Hai Tao Suan Ching de Lieou,» en T’oung Pao, 20 (1921), 51-60; Hsü Shunfang, Chung-suan chia te tai-hsüeh yen-chiu («Un estudio de Álgebra por Matemáticas Chinas») (Pekín, 1955), 1-8; Li Yen, Chung-kno shu-Hsüeh ta-kang («Esquema de Matemáticas Chinas» I (Shanghái, 1931); y Chungkuo suan-hsüeh-shih(«Historia de las matemáticas chinas») (Shanghai, 1937;rev.ed., 1955), 16, 19, 21; Li Yen y Tu Shih-jan, Chung-kuo ku-tai shu-hsüeh chien-shih («Breve historia de las Matemáticas Chinas Antiguas») I (Pekín, 1963), 45-77; Yoshio Mikami, El desarrollo de las Matemáticas en China y Japón (Nueva York, 1913); Joseph Needham, Ciencia y Civilización en China,III (Cambridge, 1959), 24-27; George Sarton, Introducción a la Historia de la Ciencia, 3 vols. (Baltimore, 1927-1947), esp. I, 338; Wang Ling, » The Chiu-Chang Suan-Shu and the History of Chinese Mathematics During the Han Dynasty,» a doctoral diss. (Cambridge Univ., 1956); Wang Ling y Joseph Needham, «Método Horner en Matemáticas Chinas; Sus Orígenes en el Procedimiento de Extracción de Raíces de la Dinastía Han», en T ‘ oung Pao, 43 (1955), 345-401; y Alexander Wylie, Chinese Researches (Shanghai, 1897; repr. Pekín, 1936, y Taipei, 1966), 170-174.
Algunos estudios especiales importantes sobre el Chiu-chang suan-shu son E. I. Berezkina, «Drevnekitaysky traktat matematika v devyati knigach» («El Antiguo Tratado Matemático Chino en Nueve Libros»), en Istoriko-matematicheskie isslidovaniya, 10 (1957), 423-584, una traducción rusa. del Chiu-chang suan-shu; Kurt Vogel, Neun Bücher arithme-tischer Technik (Brunswick, 1968), un trans alemán, y estudio de la obra; y A. P. Youschkevitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (Leipzig, 1964), 1-88 («Die Mathematik in China»), traducido del ruso.
El acceso a antiguas notas biográficas y citas bibliográficas relativas a obras matemáticas son Hu Yü-chin, Ssu-K’u-T’i-Yao Pu-Chêng («Suplementos al Ssu-K’u-T’i-yao»), 2 vols, (Taipei, 1964-1967); y Ting Fu-pao y Chou Yün-ch’ing, Ssu-Pu-Tsung-Lu Suan-Fa-Pien («Bibliography of Mathematical Books to Supplement the Ssu-K’u-Ch’ uan-Shu Encyclopedia»; Shanghai, 1956).
Se puede encontrar más información sobre el Shi-Shu Suan-Ching en Needham, Science and Civilisation in China, III, 18; y en A. Hummel, Eminent Chinese of the Ch’ing Period (Washington, 1943), p. 697.
Los dos volúmenes existentes de la enciclopedia Yung-Lo Ta-Tien se han reproducido fotográficamente( Pekín, 1960); muestran que la disposición fue de acuerdo con procedimientos matemáticos y no por autores.
Ho Peng-Yoke
