Kurtenbach jugó en la Saskatchewan Junior Hockey League (SJHL) con el Príncipe Alberto Mintos durante dos temporadas, también hizo breves apariciones con los Cuáqueros de Saskatoon de la Liga de Hockey occidental profesional menor (WHL) durante ese tiempo. En 1957, después de que el Príncipe Alberto fuera eliminado de los playoffs de la SJHL, Kurtenbach terminó la temporada con los Flin Flon Bombers, donde ayudó al equipo a ganar una Copa Conmemorativa.
Kurtenbach se convirtió en profesional en 1957-58, firmando un formulario C con los Vancouver Canucks de la WHL. Anotó 54 puntos en 52 partidos en camino a ganar el honor de Novato del Año. En los playoffs, ayudó a los Canucks a ganar el campeonato de la Copa del Presidente.
La mayor parte de los inicios de la carrera profesional de Kurtenbach se pasaría en las menores, dividiendo el tiempo entre la AHL con los Buffalo Bisons, Springfield Indians y Providence Reds, y la WHL con los San Francisco Seals y los Canucks. Su mejor temporada en este tramo fue 1962-63, cuando anotó 87 puntos para los Seals en 70 partidos y lideró al equipo en anotar en los playoffs en el camino a ganar el campeonato de la liga.
Durante su tiempo en las menores, Kurtenbach hizo dos breves apariciones en la Liga Nacional de Hockey con los New York Rangers y los Boston Bruins, totalizando dieciocho partidos, pero no jugó su primera temporada completa de la NHL hasta 1963-64 con los Bruins. En 1965-66, se convirtió en miembro de los Toronto Maple Leafs, donde jugó un papel principalmente defensivo. El entrenador de Toronto, Punch Imlach, designó a Kurtenbach a las dos últimas líneas ofensivas, mientras ganaba en su mayoría tiempo de ejecución de penaltis. La temporada siguiente, se unió a los Rangers de Nueva York, donde pasó cuatro temporadas. En la temporada baja de 1970, la dirección de los Rangers le dijo que estaría desprotegido para que el próximo Draft de Expansión de la NHL fuera recogido por los Buffalo Sabres o los Vancouver Canucks (la franquicia dejó la WHL para unirse a la NHL).
Kurtenbach fue obtenido por los Canucks y fue nombrado el primer capitán de la franquicia de la NHL. El 12 de diciembre de 1970, grabó el primer hat trick en la historia de los Canucks en una victoria por 5-2 sobre los California Golden Seals, también fue el único hat trick que grabaría en su carrera. Registró un récord de puntos por partido en su carrera en la NHL con 53 puntos en 52 partidos, a pesar de sufrir una lesión grave el 23 de diciembre que lo dejó de lado hasta el 3 de marzo. La temporada siguiente, registró un récord personal de 61 puntos en 78 partidos. Muchos de los jugadores de Vancouver dejaron el club esa temporada, desertando a la naciente Asociación Mundial de Hockey (WHA) por salarios más grandes. Al propio Kurtenbach se le ofreció un contrato de $150.000 con Los Angeles Sharks, pero declinó. A menudo tocaba en una línea con Wayne Maki y Murray Hall. Kurtenbach se retiró de la NHL después de su cuarta temporada con Vancouver.
Kurtenbach terminó su carrera en la NHL con 119 goles y 213 asistencias para 332 puntos en 639 partidos, sumando 628 minutos de penalización. El 26 de octubre de 2010, Kurtenbach fue el primer jugador de Canucks incluido en el Anillo de Honor del equipo. Una ceremonia se llevó a cabo antes de un partido de Canucks contra Colorado Avalanche.
