(n. St. Louis, Missouri, 8 de diciembre de 1919; m. Berkeley, California, 30 de julio de 1985), matemáticas, lógica matemática, teoría de números, problemas de decisión, definibilidad.
El trabajo matemático de Robinson exhibe poder y encanto. Abordó problemas difíciles y se esforzó por encontrar soluciones elegantes. Su vida y su trabajo no pueden verse correctamente sin notar que, como mujer en un campo dominado por hombres, fue una especie de pionera. Su métier era la interfaz entre dos ramas de las matemáticas, la lógica y la teoría de los números, que normalmente se cree que tienen poco que ver entre sí. Es particularmente conocida por sus contribuciones a la solución del décimo problema en una famosa lista de veintitrés propuestas por el matemático David Hilbert en 1900. Fue elegida para la Academia Nacional de Ciencias y también para la presidencia de la American Mathematical Society, en ambos casos la primera mujer matemática en ser honrada, y también recibió una beca MacArthur.
Vida temprana Nacida Julia Bowman, sufrió dos calamidades a temprana edad. Solo tenía dos años cuando su madre murió, dejando a su padre para hacer frente a Julia y su hermana mayor Constanza. Después de su nuevo matrimonio, la familia se mudó al oeste, finalmente a San Diego, donde nació su hermanastra Billie. Cuando Julia tenía nueve años sufrió una enfermedad devastadora: escarlatina seguida de fiebre reumática. Faltó a dos años de escuela y sufrió daños muy graves en el corazón. Académicamente se destacó y pronto recuperó el terreno perdido. En la escuela secundaria, fue la única chica en tomar los cursos avanzados de ciencias y matemáticas y se graduó con varios honores. En 1936 ingresó en el San Diego State College, especializándose en matemáticas. En busca de vistas más amplias, se trasladó a la Universidad de California en Berkeley para su último año. Entre los cinco cursos de matemáticas que tomó ese año fue uno sobre la teoría de los números impartida por Raphael Robinson. Impresionado por su habilidad, la convenció de continuar sus estudios como estudiante de posgrado. Rafael era un matemático de amplios intereses y conocimientos y un mentor ideal. Pero pronto su relación se hizo más personal y se casaron en diciembre de 1941. Sus esperanzas de formar una familia se desvanecieron cuando Julia sufrió un aborto espontáneo y un médico le advirtió que, debido a su corazón gravemente dañado, el embarazo sería extremadamente peligroso. Su opinión era que probablemente moriría antes de cumplir los cuarenta años. En un esfuerzo por ayudar a Julia a superar la profunda depresión en la que fue arrojada, Rafael la alentó a buscar consuelo en las matemáticas.
Antecedentes matemáticos La década de 1930 había visto desarrollos revolucionarios en el antiguo tema de la lógica, drásticamente cambiados del campo tradicional originado por Aristóteles. El famoso teorema de incompletitud de Kurt Gödel había señalado las limitaciones inherentes de los sistemas formales de lógica en la encapsulación de la práctica matemática. El trabajo de Alonzo Church, Alan Turing y Emil Post, así como el propio Gödel, había demostrado que la cuestión de la existencia de soluciones algorítmicas a problemas matemáticos específicos podía recibir una formulación precisa. Esto abría la posibilidad de que en casos específicos, tales soluciones algorítmicas pudieran no existir, e incluso que en tales casos, esto pudiera probarse. Alfred Tarski había explicado cómo definir nociones semánticas de verdad y definibilidad de lenguajes formales. Estos fueron los desarrollos que proporcionaron el contexto de la investigación de Julia Robinson.
Cualquier rama particular de las matemáticas utilizará símbolos para representar las operaciones y relaciones particulares que son fundamentales para ese tema. Además de estos símbolos, la lógica matemática moderna utiliza los símbolos especiales
junto con el signo familiar=. Uno habla de estos símbolos, junto con los correspondientes a una determinada rama de las matemáticas constituyen un lenguaje. El trabajo de Julia Robinson fue en gran medida en el contexto del lenguaje de la aritmética, que utiliza los dos símbolos + y × que representan la suma y la multiplicación, respectivamente, así como los símbolos para 0 y 1. Las letras del alfabeto se usan como variables, y en el caso del lenguaje aritmético, generalmente se entiende que varían sobre los números naturales familiares 0,1,2 …… Así, por ejemplo, la «oración»
expresa la verdadera proposición de que la adición de dos números impares produce un número par. La fórmula(u) (x = u+u+1)> por sí misma define el conjunto de números impares, es decir, si x es reemplazado por un número natural particular, la oración resultante será verdadera si y solo si ese número es impar. Las cuestiones de la definibilidad y la existencia de algoritmos fueron fundamentales para el trabajo de Robinson.
Un conjunto de números naturales S se llama computable (o recursivo) si hay un algoritmo que puede determinar para un número natural dado n si n pertenece o no a S. Un conjunto de números naturales se llama listable (el término preferido por Julia Robinson) o enumerable recursivamente si hay un algoritmo para hacer sistemáticamente una lista de los miembros de S. Todos los resultados de irresolubilidad se pueden considerar como consecuencias del teorema clave: Existe un conjunto listable que no es computable. Estos asuntos también fueron muy importantes en el trabajo de Robinson.
Tesis de Julia Robinson Fue en un seminario dirigido por el carismático Alfred Tarski, uno de los grandes lógicos del siglo XX, que Robinson encontró su métier. Tarski había dejado su Polonia natal en agosto de 1939 en lo que iba a haber sido un breve viaje para asistir a una conferencia en los Estados Unidos, justo antes de que la invasión alemana de Polonia precipitara la Segunda Guerra Mundial. Tarski planteó una serie de preguntas sin resolver sobre la definibilidad en el lenguaje de la aritmética a la que Robinson se sintió atraído. En la década de 1940 era bien sabido que no había ningún algoritmo para determinar si una oración dada en el lenguaje de la aritmética, con las variables que van más allá de los números naturales, es verdadera. Como se dice, este es un problema algorítmicamente irresoluble. Tarski quería saber si lo mismo es cierto cuando en este mismo lenguaje, se permite que las variables se extiendan sobre todos los números racionales en lugar de solo los números naturales. (Los números racionales son aquellos expresables como fracciones m/n o-m / n donde m es un número natural y n es un número natural distinto de cero.) Se habían desarrollado técnicas para «reducir» uno de esos «problemas de decisión» a otro. En este caso, se demostraría que si hubiera un algoritmo para probar la verdad de una oración del lenguaje aritmético con las variables restringidas a variar sobre los números racionales, tal algoritmo podría usarse para proporcionar un algoritmo para hacer lo mismo cuando las variables varían sobre los números naturales. Por lo tanto, dado que no existe tal algoritmo para este último, se deduce que ninguno de los dos podría haber uno para el primero.
El resultado principal de la disertación de Robinson fue una fórmula explícita en el lenguaje de la aritmética, con las variables limitadas a variar sobre los números racionales, que define con precisión el conjunto de enteros (es decir, el conjunto de números naturales y sus negativos). A continuación, se siguió que el problema de determinar la verdad de una oración aritmética sigue siendo insoluble incluso cuando las variables varían sobre los números racionales. También siguieron otros resultados de irresolubilidad. El enfoque de Robinson era intrincado, elegante e ingenioso utilizando algunas ideas bastante profundas de la teoría de números.
Caracterizaciones elegantes Robinson siempre buscó elegancia y simplicidad en su trabajo matemático. Uno de sus primeros trabajos mostró cómo caracterizar, de una manera particularmente simple, las funciones algorítmicamente computables (también llamadas funciones recursivas) que mapean los números naturales en sí mismas. Su hermosa caracterización implica dos funciones iniciales y tres operaciones para obtener nuevas funciones a partir de funciones dadas. Una de las funciones iniciales es solo la función sucesora S(x)= x+1. El otro, que Robinson llama E, se define como la diferencia entre un número dado y el cuadrado perfecto más grande que no lo exceda. (Por lo tanto E(19) = 19 – 16 = 3 y E(25) = 25 -25 = 0.) Las tres operaciones son las siguientes: (1) de funciones dadas F y G obtienen la función H(x)=F(G(x)); (2) de funciones dadas F y G obtienen la función H(x)=F(x) + G(x); y (3) de una función dada F cuyos valores incluyen todos los números naturales obtienen la función H donde H(x) es el número mínimo t para el cual F(t)=x.
Es realmente notable que todas las funciones computables (desde los números naturales hasta los números naturales) se puedan obtener comenzando con las dos funciones iniciales y aplicando estas tres operaciones una y otra vez.
Mucho más tarde Robinson mostró la misma elegancia y entusiasmo en encontrar nuevas caracterizaciones de un dominio muy alejado de lo computable. Ya se ha mencionado la existencia de un conjunto listable K que no es computable. Así que no hay un algoritmo para determinar la pertenencia a K. Al considerar conjuntos que pueden ser listados por algoritmos que tienen acceso a la información de membresía sobre dichos conjuntos (metafóricamente a través de un «oráculo»), se pueden traer conjuntos adicionales al pliegue, y este proceso puede ser iterado. Al permitir que esta iteración ocurra cualquier número finito de veces, los conjuntos obtenidos resultan ser exactamente los llamados aritméticos, los conjuntos definibles en el lenguaje de la aritmética con variables que se extienden sobre los números naturales. Pero no hay necesidad de detenerse aquí. Uno puede definir un conjunto no aritmético, y luego usarlo como un» oráculo » para poder enumerar aún más conjuntos. Hay un lugar natural donde este proceso llega a su fin, y los conjuntos de números naturales así obtenidos se llaman hiperarítmicos. Fue este reino enrarecido para el que Robinson proporcionó una caracterización simple y directa.
Definibilidad existencial y Décimo Problema de Hilbert La obra por la que Julia Robinson es más recordada se originó con un problema aparentemente simple planteado por Alfred Tarski. Tarski quería saber qué conjuntos de números naturales son definibles por fórmulas del lenguaje de la aritmética si los símbolos y se excluyen. Llamó a tales conjuntos existencialmente definibles y propuso el problema de probar que el conjunto {1,2,4,8,16, ….} de potencias de 2 no es existencialmente definible. Este era exactamente el tipo de problema que le gustaba a Robinson. La noción de definibilidad existencial podría fácilmente verse estrechamente relacionada con problemas de un tipo que estudian los teóricos de los números, los llamados problemas diofánticos. Estos típicamente tienen que ver con una ecuación polinómica p (a, x, y, z, u, v, w,….) = 0 con coeficientes enteros donde a es un parámetro y, x,y,z,u,v,w,…. son «desconocidos.»(Recordemos que tal polinomio es solo la suma de términos como 5a3x2v5 y-7a4x3z6. Para ecuaciones diofánticas particulares de este tipo, los teóricos de los números tratan de determinar para qué valores numéricos naturales del parámetro a, la ecuación tiene soluciones numéricas naturales en las incógnitas. Ahora, por métodos estándar simples, es fácil ver que un conjunto de números naturales S es existencialmente definible si y solo si hay una ecuación polinómica de este tipo tal que S es exactamente el conjunto de valores del parámetro para el que la ecuación tiene soluciones de números naturales. Por esta razón, los conjuntos existencialmente definibles también se llaman diofánticos, y este es el término que se ha adoptado en la literatura posterior.
Sin tener éxito en probar la conjetura de Tarski de que el conjunto de poderes de 2 no es Diofántico, Robinson comenzó a considerar la posibilidad de que la conjetura de Tarski pudiera haber sido errónea. Para poder progresar, tuvo que asumir una cierta hipótesis, no probada en ese momento, que llegó a llamarse J. R.; en términos generales, J. R. afirma que hay una ecuación diofántica con dos parámetros a, b con la propiedad de que los pares (a, b) para los que la ecuación tiene soluciones son tales que b crece exponencialmente en función de a. Asumiendo J. R. y llevando a cabo un análisis complejo e ingenioso, demostró no solo que los poderes de 2 son diofánticos, sino también que el conjunto de números primos, así como muchos otros, también lo son. Se ve fácilmente que todos los conjuntos diofánticos son listables, pero ahora se preguntaba si lo contrario podría ser cierto, si todos los conjuntos listables podrían ser diofánticos. Sabía que esto tendría profundas consecuencias.
En 1900, para dar la bienvenida al nuevo siglo, el gran matemático David Hilbert propuso una lista de veintitrés problemas como desafío. El décimo de su lista era proporcionar un algoritmo para determinar si una ecuación diofántica polinómica dada tiene soluciones. Si de hecho todos los conjuntos listables eran diofánticos, se dio cuenta de que, en particular, habría un conjunto diofántico no computable, lo que implica que no podría haber un algoritmo como el que Hilbert había pedido. Esto constituiría una solución negativa del décimo problema de Hilbert.
En el verano de 1959, Robinson recibió por correo una preimpresión de un artículo de Martin Davis y Hilary Putnam. El documento contenía una prueba de que, suponiendo que J. R., todos los juegos listables son de hecho diofánticos. Sin embargo, la prueba tenía un vacío importante. Utilizó el hecho de que hay secuencias arbitrariamente largas de números primos con la propiedad especial de que la diferencia entre términos consecutivos de la secuencia es constante. Aunque esto es cierto, en 1959 era una mera hipótesis; no se demostró hasta 2004. Robinson conocía muy bien el trabajo anterior de Davis y Putnam y expresó sorpresa y placer por su logro. En muy poco tiempo, mostró cómo prescindir de la hipótesis extra sobre los números primos, e incluso encontró una versión corta de la prueba. Por lo tanto, para obtener la solución negativa anticipada del décimo problema de Hilbert, solo quedaba probar que J. R.
Esto se logró en enero de 1970 por Yuri Matiyasevich, de veintidós años, utilizando la famosa secuencia de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,…. Encontró una ecuación diofántica con dos parámetros a, b que pudo probar que tiene soluciones en caso de que b sea el número de Fibonacci en el lugar 2a de esta secuencia. Debido a que los números de Fibonacci crecen exponencialmente, esto constituyó una prueba de que J. R. Robinson estaba encantado con la ingeniosa prueba de Matiyasevich y viajó a Leningrado, donde se reunieron sus familias. Su colaboración fue fructífera; juntos pudieron demostrar que el décimo problema de Hilbert es irresoluble incluso para ecuaciones en 13 incógnitas. (Más tarde, Matiyasevich pudo reducir el número a 9.)
Coda Las reglas de «nepotismo» en vigor en la Universidad de California habrían hecho imposible una cita regular para Robinson mientras su esposo estuviera en la facultad. En cualquier caso, es muy posible que sus problemas de salud hubieran impedido un puesto de tiempo completo. Ocasionalmente impartió un curso como adjunta, y se desempeñó como asesora de facto de dos excelentes estudiantes de doctorado, Leonard Adleman y Kenneth Manders. Robinson desafió la predicción del doctor de que no viviría hasta los cuarenta años, pero para cuando cumplía cuarenta y uno años, su corazón dañado la había llevado a un estado cercano a la invalidez. Fue rescatada por un procedimiento quirúrgico que solo había estado disponible recientemente y que mejoró enormemente su situación, permitiéndole vivir una vida activa durante veinticinco años más.
Su destacado trabajo fue reconocido por su elección en 1975 a la Academia Nacional de Ciencias, la primera mujer en ser elegida para la sección de matemáticas. Ese mismo año, finalmente se le ofreció un puesto de profesor en la Universidad de California en Berkeley.
A petición suya, era una cita de cuarto de hora. Una Beca MacArthur llegó en 1983. Fue elegida presidenta de la Sociedad Americana de Matemáticas para 1983-1984, la primera mujer en ocupar este cargo. Trágicamente, no pudo completar su período. Se descubrió que sufría de leucemia durante el verano de 1984. Después de una breve remisión, Julia Robinson murió de la enfermedad el 30 de julio de 1985.
BIBLIOGRAFÍA
OBRAS DE ROBINSON
» Definability and Decision Problems in Arithmetic.»Journal of Symbolic Logic 14 (1949): 98-114. Esta fue la disertación de Robinson. «Funciones Recursivas Generales.»Proceedings of the American Mathematical Society 1( 1950): 703-718. Además de la caracterización de funciones computables de un argumento descrito anteriormente, en este artículo se discuten muchos otros resultados interesantes. «Existential Definability in Arithmetic.»Transactions of the American Mathematical Society 72 (1952): 437-449. Un documento fundamental en el que se demostró que lo que llegó a llamarse J. R. implicaba la definibilidad existencial de los poderes de 2, los números primos y, de hecho, la función exponencial completa.
Con Martin Davis y Hilary Putnam.»The Decision Problem for Exponential Diophantine Equations.»Annals of Mathematics 74 (1961): 425-436. Fue en este documento que se demostró que J. R. implica la irresolubilidad del décimo problema de Hilbert. «An Introduction to Hyperarithmetical Functions.»Journal of Symbolic Logic 32 (1967): 325-342. Esta fue la única excursión de Robinson a lo que no se puede cambiar.
Con Yuri Matiyasevich. «Reducción de una Ecuación Diofántica Arbitraria a Una en 13 Incógnitas.»Acta Arithmetica 27( 1975): 521-553. ¡Virtuosa teoría de números! Con Martin Davis y Yuri Matiyasevich. «El Décimo Problema de Hilbert. Ecuaciones Diofánticas: Aspectos Positivos de una Solución Negativa.»En Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems, editado por Felix Browder. Providence, RI: American Mathematical Society, 1976.
Proceedings of Symposia in Pure Mathematics 28 (1976): 323-378. Un estudio de la prueba de la irresolubilidad del décimo problema de Hilbert, así como de los desarrollos matemáticos derivados de ella por tres de los cuatro matemáticos cuyo trabajo condujo a esa prueba.
Las Obras completas de Julia Robinson. Editado por Solomon
Feferman. Providence, RI: American Mathematical Society, 1996. Las veinticinco publicaciones de Robinson se reimprimen aquí en su totalidad. Además, hay un buen ensayo biográfico sobre ella escrito por Feferman para la Academia Nacional de Ciencias.
OTRAS FUENTES
Davis, Martin. «El Décimo Problema De Hilbert Es Irresoluble.»
American Mathematical Monthly 80 (1973): 233-269; reimpreso como apéndice en Computability and Unsolvability, editado por Martin Davis. Nueva York: Dover, 1983. Un ensayo ganador del Premio Steele que ofrece la prueba completa de la irresolubilidad del décimo problema de Hilbert. La reimpresión de Dover es uno de los primeros tratamientos de longitud de libro de la teoría de la computabilidad.
—, y Reuben Hersh. «El Décimo Problema de Hilbert.»
Scientific American 229 (Noviembre de 1973): 84-91. Reprinted in The Chauvenet Papers, Vol. 2, editado por J.C. Abbott. Washington, DC: Mathematical Association of America, 1978. Un artículo ganador del Premio Chauvenet destinado al público educado en general.
Matiyasevich, Yuri. «Mi colaboración con Julia Robinson.»
The Mathematical Intelligencer 14( 1992): 38-45. Su historia de cómo una joven rusa y una mujer estadounidense mucho mayor llegaron a producir matemáticas elegantes juntas.
———. El Décimo Problema De Hilbert. Cambridge, MA: MIT Press,
1993. Una excelente introducción y encuesta adecuada para carreras de matemáticas de pregrado, con una bibliografía muy inclusiva.
Reid, Constance. Julia, una vida en Matemáticas. Washington, DC:
Asociación Matemática de América, 1996. De la hermana de Robinson, contiene fotografías, la útil biografía de Reid, titulada «La Autobiografía de Julia Robinson», y una breve nota de Martin Davis sobre su trabajo con Hilary Putnam.
Martin Davis
