(fl. China, ca, a. d. 250)
matematiikka.
Liu Huin elämästä ei tiedetä mitään muuta kuin että hän kukoisti Wein valtakunnassa Kolmen kuningaskunnan kauden loppupuolella (a.K. 221-265). Hänen matemaattiset kirjoituksensa sen sijaan ovat hyvin tunnettuja; hänen kommentaarinsa Chiu-chang suan-shu (”Nine Chapters on the Mathematical Art”) on vaikuttanut syvällisesti kiinalaiseen matematiikkaan reilusti yli 1000 vuoden ajan. Hän kirjoitti toisen tärkeän, mutta paljon lyhyemmän teoksen: Hai-tao suan-Chingin (”Sea Island Mathematical Manual”).
jotkut tutkijat uskovat, että Chiu-Chang suan-shu, jota kutsutaan myös nimellä Chiu-Chang suan-ching(”matemaattinen käsikirja yhdeksässä luvussa”), oli olemassa Kiinassa jo kolmannella vuosisadalla B. c Ch ’Lien Paotsung, hänen Chung-kuo suan-hsüeh-shih, ja Chang Yin-lin (Yenching Hsüeh Pao , 2, 301) ovat todenneet, että tiettyjen ongelmissa mainittujen virkamiesten arvonimet ovat peräisin CH’ IN ja varhaisemmat (kolmannella ja toisella vuosisadalla eaa.). On myös viittauksia, joiden on ilmoitettava verotusjärjestelmä 203 b.c. Liu Huin esipuheen mukaan kirja poltettiin keisari Ch ’ in Shih-Huangin aikana (221-209 eaa.), mutta sen jäänteet otettiin myöhemmin talteen ja pantiin järjestykseen. Seuraavien kahden vuosisadan aikana, kommentaareja tähän kirjaan kirjoitti Chang Ts ’ ang (fl. 165-142 b. c) ja Keng Shou-Ch ’ ang (fl. 75-49 eaa. Ch ’Lien Pao-Tsungin tutkimuksessa (1963) on esitetty sisäisistä tekstitodisteista, että Chiu-Chang suan-shu kirjoitettiin vuosien 50 eaa.ja A. d.100 välillä ja että on kyseenalaista, oliko Chang Ts’ ang ja Keng Shou-Ch ’ angilla mitään tekemistä kirjan kanssa. Kuitenkin Li Yen ja Tu Shih-jan, molemmat Ch ’ Lien Pao-Tsungin kollegat, uskoivat yhä Liu Huin esipuheeseen kirjoittaessaan Chiu-chang suan-shusta samana vuonna.
600-luvulla sekä Chiu-Chang suan-shu että Hai-tao suan-ching (a.d. 263) sisällytettiin Suan-ching shih-shuun (”Ten Mathematical Manuals”, a.d. 656), johon T ’ angin matemaatikko ja tähtitieteilijä Li Shun-feng (602-670) lisäsi huomautuksensa ja kommentaarinsa. Nämä teokset sitten tuli standardin tekstejä opiskelijoille matematiikan; virallisissa määräyksissä määrättiin, että Liu Huin teoksille oli omistettava kolme vuotta. Liu Hui teokset myös löytäneet tiensä Japaniin näiden matemaattisia käsikirjoja. Kun kouluja perustettiin Japanissa vuonna 702 ja matematiikkaa opetettiin, sekä Chiu-Chang suan-shu että Hai-tao suan-ching olivat säädettyjen tekstien joukossa.
Ch ’eng Ta-Wein matemaattisen tutkielman, Suan-fa t’ ung-Tsungin (”systemaattinen tutkielma aritmetiikasta”; 1592) mukaan sekä Chiu-chang suan-shu että Hai-tao suan-ching painettiin virallisesti ensimmäisen kerran vuonna 1084. Pao Huan-chih julkaisi niistä toisen painetun version vuonna 1213. 1500-luvun alussa heidät sisällytettiin, vaikkakin huomattavasti uudelleenjärjesteltyinä, laajaan Ming-tietosanakirjaan, Yung-lo ta-tien (1403-1407). Toisessa osassa kahdeksastoista-luvulla Tai Chen (1724-1777) rekonstruoida nämä kaksi tekstiä otettuaan ne pala palalta alkaen Yung-lo to-tilen. Myöhemmin k ’ung Chi-han (1739-1787) otti heidät mukaan teokseensa” Wei-Po-hesieh ts ’ung-shu” (1773). Kolme vuotta myöhemmin ch’ü Tseng-fa painatti ne erikseen tai Chenin esipuheella.
muita Tai Chenin rekonstruktioon perustuvia jäljennöksiä Wei-po-hsieh ts ’ung-Shussa on Mei Ch’ i-Chaon (1862) Suan-ching shih-Shussa (”Ten Mathematical Manuals”) sekä Wan-yu-Wen-k ’u (1929-1933) ja Ssu-pu ts’ ung-k ’ an-sarjassa (1920-1922; molemmat kaupalliset lehdet, Shanghai). Kaksi yhdeksännentoista vuosisadan tutkijaa, Chung Hsiang ja Li Huang, havaitsivat, että tietyt kohdat tekstissä oli tehty käsittämättömiksi Tai Chen yritys parantaa alkuperäisen tekstin Chiu-Chang suan-shu. Katkelma Chiu-Chang suan-Shun 1300-luvun alkupuolen painoksesta. koostuu vain viisi lukua, löytyi aikana seitsemästoista luvulla Nanking, yksityinen kirjasto Huang Yü-chi (1629-1691). Tämän kopion näki kuuluisa Ch ’ing-oppinut Mei Wen-ting (1633-1721) vuonna 1678, ja se päätyi myöhemmin K’ ung Chi-Hanin (1739-1784) ja sitten Chang Tun-jenin (1754-1834) haltuun; lopulta sen osti Shanghain kirjasto, jossa sitä nykyään säilytetään. Vuonna 1684 Mao I (1640-vuoden 1710 jälkeen) teki käsinkirjoitetun kopion Huang Yü-Chin kirjastosta löytyneestä alkutekstistä. Tämän kopion keisari hankki myöhemmin Ch ’ eten-lung-hallituskaudella (1736-1795). Vuonna 1932 se toistettiin ” T ’Lu-lin-lang ts’ ung-shu ” -sarjassa.
vuonna 1261 Yang Hui kirjoitti teoksen”Hsiang-csieh chiu-Chang suan-fa” (”yksityiskohtaista analyysia matemaattisista säännöistä yhdeksässä luvussa”) selvittääkseen Chiu-Chang suan-Shun ongelmia. Ch ’et Pao-tsung kokosi vuonna 1963 Chiu-Chang suan-Shun tekstin Tai Chenin versiosta, t’ et-lu-lin-lang ts ’ ung-shu-sarjan myöhäisen Sung-laitoksen katkelmat ja Yang Hsiang-chieh chiu-Chang suan-fa.
Hai-tao suan-chingistä on jäljellä vain tai Chenin rekonstruoima versio. Se toistettiin Wu-ying-tien palatsin laitoksessa (ennen vuotta 1794), K ’ung Chi-Hanin Wei-po-hsieh ts’ ung-Shun ”kymmenessä matemaattisessa oppaassa” ja chü Tseng-fa: n Chiu-chang suan-Shun liitteessä.
Chiu-Chang suan-shu oli tarkoitettu käytännölliseksi käsikirjaksi, eräänlaiseksi muistoapulaiseksi arkkitehdeille, insinööreille, virkamiehille ja kauppiaille. Tämä on syynä siihen, että kanaalien ja patojen rakentamiseen, kaupunginmuureihin, verotukseen, vaihtokauppaan, julkisiin palveluihin jne.liittyy niin paljon ongelmia. Se koostuu yhdeksästä luvusta, joissa on yhteensä 246 ongelmaa. Luvut voidaan hahmotella seuraavasti:
(1) Fang-t ’ Lien(”Maanmittaus”) sisältää säännöt kolmioiden, puolisuunnikkaiden, suorakulmioiden, ympyröiden, ympyröiden ja annulien alojen löytämiseksi. Se antaa säännöt yhteen -, vähennys -, kerto-ja jako jakeet. On olemassa mielenkiintoinen, mutta epätarkka kaava janan a alueelle, jossa tunnetaan sointu c ja sagitta s, muodossa s(c + S)/2. Tämä ilmaisu esiintyi myöhemmin 800-luvulla Mahāvīran ganitasārasangrahassa.
erityisen kiinnostava on Liu Huin käyttämän ympyrän kehän ja sen halkaisijan välisen suhteen arvo. Kiinassa käytetyn π: n muinainen arvo oli 3, mutta ensimmäiseltä vuosisadalta lähtien kiinalaiset matemaatikot olivat etsineet tarkempaa arvoa. Liu Hsin (K. a.D. 23) käytti 3,1547, kun taas Chang Hen (78-139) antoi √10 ja 92/29. Wang Fan (219-257) löysi 142/45, ja sitten Liu Hui antoi 3,14. Tärkeimmät nimet tässä yhteydessä ovat kuitenkin Liu Sung-ja Ch ’i-dynastioiden nerokas matemaatikko, tähtitieteilijä ja insinööri Tsu Ch’ ung-chih (430-501) ja hänen poikansa Tsu Cheng-chih. Tsu Ch ’ ung-chih antoi kaksi arvoa π ensin ”epätarkka” yksi (yo lü), joka vastaa 22/7, antanut aiemmin Arkhimedes, ja sitten ”tarkempi” yksi ((mi Lu)), 355/113 (3.1415929). Hän jopa etsinyt lisää likiarvoja ja totesi, että π sijaitsee välillä 3.1415926 ja 3.1415927. Hänen menetelmänsä on todennäköisesti kuvattu Chui Shussa, jonka hän ja hänen poikansa kirjoittivat, mutta on nyt kadonnut. Tsu Ch ’ung-chih’ n arvo 355/113 π: lle katosi moniksi vuosisadoiksi Kiinassa, kunnes sen otti jälleen käyttöön Chao Yu-ch ’ in ((fl, ca. 1300)). Liu Hui sai tarkan arvon 3,14 ottamalla yhdeksänkymmenen kuuden sivun säännöllisen monikulmion kehän suhteen tämän monikulmion ympärillä olevan ympyrän halkaisijaan. Aloittakaamme säännöllinen kuusikulmio puolella L6. Kuusikulmion kehän ja sitä ympäröivän ympyrän halkaisijan suhde on 3. Jos muutamme kuusikulmion kahdentoista sivun säännölliseksi monikulmioksi, kuten kuvassa 1 esitetään—huomaten, että L6 = r, rajatun ympyrän säde—sitten kahdentoista sivun monikulmion sivu on annettu
siten, jos lnis tunnetaan, niin L2N voidaan löytää lausekkeesta
ottaen R = 1, seuraavat arvot voidaan löytää: L6 = 1; L12 = 0.517638; L24 = 0, 261052; L48 = 0, 130806; L96 = 0, 065438.
säännöllisen monikulmion kehä N = 96 ja r = 1 on 96 × 0,065438 = 6,282048. Näin ollen π = 6.282048 / 2 = 3.141024 eli Noin 3.14. Liu Hui käytti myös 3 072 sivun monikulmiota ja sai parhaan arvonsa, 3,14159.
(2) Su-mi (”hirssi ja riisi”) käsittelee prosentteja ja osuuksia. Määrittelemättömät yhtälöt vältetään tämän luvun yhdeksässä viimeisessä ongelmassa käyttämällä mittasuhteita.
(3) Ts’ui-fen(”Distribution by Progression”) koskee ominaisuuksien jakautumista kumppaneiden kesken annettujen suhdelukujen mukaan. Se sisältää myös ongelmia verotuksen tavaroiden eri laatuja, ja toiset aritmeettista ja geometrinen progressions, kaikki ratkaista käyttämällä mittasuhteita.
(4) Shao-kuang (”pienenevä leveys”) tarkoittaa suorakulmion sivujen löytämistä, kun annetaan pinta-ala ja yksi sivuista, ympyrän ympärysmitta
, kun sen pinta-ala tunnetaan, kuution sivu annettuna sen tilavuutena ja pallon läpimitta tunnettuna tilavuutena. Pienimmän yhteisen kerrannaisen käyttö murtoluvuissa näkyy. On mielenkiintoista, että yksikkömurtolukuja käytetään esimerkiksi tämän luvun ongelmassa 11. Suorakulmaisen muodon annettu leveys ilmaistaan seuraavasti
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
tämän luvun ongelmat johtavat myös neliöjuurten ja kuutiojuurten erottamiseen; esimerkiksi ongelmaan 13 liittyy neliöjuuren löytäminen 25,281. Chiu-chang suan-Shussa annetun menetelmän mukaan tämä luku, joka tunnetaan nimellä Shih (osinko), sijoitetaan ensin toiselle riville laskutaulun yläreunasta. Seuraavaksi yksi laskusauva, jota kutsutaan alustavaksi chieh-suaniksi, laitetaan laskutaulun alariville kaukaisimpaan oikeanpuoleiseen numerosarakkeeseen. Tätä tankoa siirretään vasemmalle, kaksi paikkaa kerrallaan, sillä se voi mennä ylittämättä Shih-rivin numeron kauinta vasenta numeroa. Uuden paikka-arvonsa myötä tätä sauvaa kutsutaan chieh-sucniksi. Se on esitetty kuvassa 2a.
juuren ensimmäisen luvun on todettu sijoittuvan välille 100-200. Sitten 1 on otettu ensimmäinen luku juuri ja on sijoitettu ylärivin satoja sarake. Ylärivin nimi on torahammas. Chieh-suan kerrotaan juuren ensimmäisellä luvulla. Tuote, nimeltään fa, on sijoitettu kolmanteen riviin. Shih (25,281) miinus fa (10,000) jättää ”ensimmäinen jäljellä” (15,281), joka on kirjoitettu toisella rivillä, kuten kuvassa 2b. kun jako on tehty, fa kaksinkertaistetaan muodostaen Ting-fa. Tämä siirretään yksi numero oikealle, kun taas chieh-suan siirretään kaksi numeroa oikealle, kuten kuvassa 2C on esitetty.
toisen yrityksen ja erehdyksen avulla valitun luvun havaitaan olevan välillä 5-6. Kymmenlukua pidetään siis 5: nä, ja se sijoitetaan asianmukaiselle paikalleen kuvan 2e yläriville. Chieh-suan (joka on nyt 100) kerrotaan tällä toisella luvulla ja tuote lisätään Ting-fa: han, josta tulee 2 500. Ting-fa kerrottuna 5: llä vähennetään ensimmäisestä jäljellä olevasta, joka antaa jäljellä olevan 2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), kuten kuvassa 2d. Ting-fa siirretään seuraavaksi yksi numero oikealle ja chieh-suan kaksi paikkaa (KS. Kuva 2e). Kolmas, jälleen yrityksen ja erehdyksen kautta valittu luku on 9. Tämä yksikkönumero on sijoitettu asianmukaiselle paikalleen yläriville. Chieh-suan, joka on nyt 1, kerrotaan tällä kolmannella luvulla ja tuote lisätään Ting-fa: han, josta tulee 259. Toinen loppuosa jaetaan Ting-fa: lla, jolloin jäljelle jää nolla (2,781 ÷ 259 = 9 +0). Näin ollen vastaus on 159 (KS.Kuva 2f).
(5) Shang-kung (”consultations on Engineering Works”) antaa sellaisten kiinteiden lukujen kuin prisman, pyramidin, tetraedrin, kiilan, sylinterin, kartion ja kartion frustumin tilavuudet:
(a) Neliöprisman tilavuus = neliö sivun perusajan korkeus.
(b) sylinterin tilavuus =1/12 ympyrän kehän neliö kertaa korkeus (missä π otetaan noin 3).
(C) typistetyn neliöpyramidin tilavuus = 1/3 korkeus kertaa ylä-ja alaneliöiden sivujen neliöiden summa ja ylä-ja alaneliöiden sivujen tulo.
(d)neliöpyramidin tilavuus = 1/3 korkeus kertaa pohjan sivun neliö.
(e) pyöreän kartion frustumin tilavuus = 1/36 korkeus kertaa ylemmän ja alemman kehän kehän neliöiden summa ja näiden kahden kehän tulo (jossa π: n arvoksi otetaan noin 3).
(f) ympyräkartion tilavuus = 1/36 korkeus kertaa pohjan kehän neliö (missä π otetaan noin 3).
(g) oikean kolmion prisman tilavuus = 1/2 leveyden, pituuden ja korkeuden tulo.
(h) suorakulmaisen pyramidin tilavuus = 1/3 pohjan leveyden ja pituuden sekä korkeuden tulo.
(i) tetraedrin tilavuus, jossa on kaksi vastakkaista särmää kohtisuorassa toisiinsa nähden = 1/6 kahden vastakkaisen särmän ja näiden kahden särmän välinen kohtisuora tulo.
(6) Chün-shu(”puolueeton verotus”) koskee takaa-ajo-ja alligointiongelmia, jotka liittyvät erityisesti siihen, että veronmaksajien on saatava viljarahansa synnyinkaupungeistaan pääkaupunkiin. Siinä käsitellään myös suhdelukuongelmia, jotka liittyvät verorasituksen jakamiseen väestön mukaan. Ongelma 12 tässä luvussa sanotaan:
hyvä juoksija voi mennä 100 askelta, kun taas huono juoksija menee 60 askelta. Paha juoksija on mennyt 100 askeleen matkan ennen kuin hyvä juoksija alkaa jahdata häntä. Montako askelta hyvä juoksija saa kiinni?
(7) Ying pu-tsu tai ying-nü (”ylimääräinen ja puutos”). Ying, joka viittaa täydeenkuuhun, ja PU-tsu tai nü uuteen kuuhun, tarkoittavat vastaavasti ”liikaa” ja ”liian vähän”. Tässä osassa käsitellään kiinalaista algebrallista keksintöä, jota käytetään pääasiassa tyypin ax + b = 0 ongelmien ratkaisemiseen melko kiertoteitse. Menetelmä tuli tunnetuksi Euroopassa väärän kannan sääntönä. Tässä menetelmässä tehdään kaksi arvausta, x1 ja x2, jolloin arvot c1 ja c2 ovat vastaavasti joko suurempia tai pienempiä kuin 0. Näistä meillä on seuraavat yhtälöt:
kertomalla (1) x2: lla ja (2) x1: llä, meillä on
(1) ja (2),
siksi
ongelma 1 Tässä luvussa sanoo:
tilanteessa, jossa tietyt tavarat ostetaan yhdessä , jos jokainen maksaa 8 , ylijäämä on 3 ja jos jokainen maksaa 7, puute on 4. Etsi henkilömäärä ja tuotujen tavaroiden hinta.
omavastuu-ja puutostavan menetelmän mukaan osuudet (eli ”arvaukset” 8 ja 7) asetetaan ensin laskentataulukolle, jonka alapuolelle sijoittuvat omavastuu (3) ja puutos (-4). Tämän jälkeen kurssit ristiin kerrotaan ylimäärällä ja puutteella, ja tuotteet lisätään osingon muodostamiseksi. Sitten ylimääräinen ja puute lasketaan yhteen muodostaen jakaja. Osamäärä antaa oikean rahamäärän, joka jokaisen on maksettava. Jos haluat saada Henkilömäärän, lisää ylimääräinen ja puute ja jaa summa näiden kahden verokannan erotuksella. Toisin sanoen, x ja A saadaan käyttämällä yhtälöt (5) ja (4) edellä.
joskus suoraviivainen ongelma voidaan muuttaa sellaiseksi, jossa käytetään väärän kannan sääntöä. Ongelma 18 samassa luvussa sanoo:
kultaa on 9 kappaletta ja hopeaa 11 kappaletta. Kaksi erää painavat saman verran. Yksi pala otetaan jokaisesta erästä ja laitetaan toiseen. Pääasiassa kultaa sisältävän erän on nyt todettu painavan 13 unssia vähemmän kuin pääasiassa hopeaa sisältävän erän. Etsi paino kunkin palan kultaa ja hopeaa.
tässä on kaksi arvausta kullan painosta. Menetelmä sanoo, että jos jokainen pala kultaa painaa 3 kiloa, niin jokainen pala hopeaa painaisi 2 5/11 kiloa, jolloin puute 49/11 unssia, ja jos jokainen pala kultaa painaa 2 kiloa, niin jokainen pala hopeaa painaisi 1 7/11 kiloa, jolloin ylimääräinen 15/11 unssia. Tämän jälkeen sovelletaan väärän asennon sääntöä.
(8) Fang-ch ’ eng (”taulukkolaskenta”) käsittelee samanaikaisia lineaarisia yhtälöitä, joissa käytetään sekä positiivisia että negatiivisia lukuja. Ongelma 18 Tässä luvussa liittyy viisi tuntemattomia, mutta antaa vain neljä yhtälöt, mikä entalding epämääräinen yhtälö. Tässä annettu samanaikaisten lineaaristen yhtälöiden ratkaisuprosessi on sama kuin nykyinen menetelmä samanaikaisen systeemin ratkaisemiseen
A1X + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = D2
A3X + b2y + c3z = d3,
paitsi että Kertoimet ja vakiot on järjestetty pystysarakkeisiin sen sijaan, että kirjoitettaisiin vaakatasossa:
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3.
tässä luvussa Liu Hui selittää myös positiivisten ja negatiivisten lukujen algebrallisen yhteen-ja vähennyslaskun. (Liu Hui merkitsi positiivisia lukuja ja negatiivisia lukuja punaisilla ja mustilla laskusauvoilla vastaavasti.)
(9) Kou-ku (”oikeat kulmat”) käsittelee Pythagoraan lauseen soveltamista. Joitakin sen ongelmia ovat seuraavat:
lieriömäinen puukappale, jonka poikkileikkauksen halkaisija on 2 jalkaa, 5 tuumaa, leikataan 7 tuumaa paksuksi lankuksi. Mikä on leveys? Puu on 20 jalkaa korkea ja 3 jalkaa ympärysmitta.Hiiviskelijä kiertää puun seitsemän kertaa ja pääsee vain latvaan. Etsi pituus viiniköynnöksen, on lampi 7 jalkaa neliön ruoko kasvaa keskellä ja mittaus I jalka veden yläpuolella. Ruovikko saavuttaa rantatörmän juuri vedenpinnan korkeudella, kun sitä kohti vedetään. Etsi veden syvyys ja ruovikon pituus.
on 10 metriä korkea bambu. Taivutettaessa yläpää koskettaa maata metrin päässä varresta. Etsi tauon korkeus,
on mielenkiintoista, että ongelma samanlainen kuin 13 ilmestyi Brahmagupta työtä 600-luvulla.
ongelma 20 on herättänyt entistä suurempaa kiinnostusta:
siellä on tuntematon neliökaupunki. Portti on jokaisen sivun keskellä. Kaksikymmentä askelta pohjoisportista on puu. Jos yksi kävelee 14 askelta eteläportista, kääntyy länteen ja ottaa 1775 askelta, puu vain tulee näkyviin. Etsi pituus puolella kaupungin.
kirja osoittaa, että vastaus voidaan saada kehittämällä neliöyhtälön juuri.
x2 + (14 + 20) x = 2(1775 × 20).
tämän yhtälön ratkaisutapaa ei ole kuvattu. Mikami esittää, että on erittäin todennäköistä, että juurenpoisto suoritettiin ensimmäisen asteen kertoimen lisätermillä tuntemattomassa ja että tätä lisätermiä kutsuttiin tsungiksi, mutta kirjaimellisessa käännöksessään joistakin juurenpoistoa koskevista tekstin osista hän ei huomaa peräkkäisten vaiheiden vastaavan läheisesti Hornerin menetelmää. Ch ’ Lien Pao-tsung ja Li Yen ovat molemmat yrittäneet verrata Chiu-chang suan-Shussa kuvattua menetelmää Hornerin menetelmään, mutta he eivät ole selventäneet tekstuaalisia epäselvyyksiä. Wang Ling ja Needham sanovat, että on mahdollista osoittaa, että jos Chiu-Chang suan-Shun tekstiä seurataan hyvin tarkasti, olennaiset menetelmät, joita kiinalaiset käyttävät toisen ja korkeamman asteen numeeristen yhtälöiden ratkaisemiseen, vastaavat Hornerin vuonna 1819 kehittämiä menetelmiä, ovat läsnä teoksessa, joka voidaan ajoittaa ensimmäiselle vuosisadalle b.c.
Hai-tao suan-ching, joka tunnettiin alun perin nimellä Ch ’ung ch’ a (”Kaksoiserojen menetelmä”)), liitettiin Chiu-Chang Suan-shuun sen kymmenentenä lukuna. Se erotettiin päätekstistä 600-luvulla, jolloin valittiin ”kymmenen matemaattista käsikirjaa”, ja sille annettiin nimi Hai-tao suan-cluig. Mikamin mukaan termi ch ’ung ch’ a tarkoitti oikeiden kolmioiden sivujen mittasuhteiden kaksinkertaista eli toistuvaa soveltamista. Nimi Hai-tao tuli todennäköisesti kirjan ensimmäisestä ongelmasta, joka käsittelee meressä olevaa saarta. Koostuu vain yhdeksän ongelmia, kirja vastaa alle yksi luku, Chiu-chang suan-shu.
sen esipuheessa Liu Hui kuvaa klassista kiinalaista menetelmää, jolla auringon etäisyys litteään maahan määritettiin kaksinkertaisen kolmiomittauksen avulla. Tämän menetelmän mukaan kaksi kahdeksan jalkaa korkeaa pystypylvästä pystytettiin samalle tasolle samaa pituuspiiriä pitkin, toinen muinaisen Choun pääkaupungin Yan-ch ’ Engin kohdalle ja toinen 10 000 li: n (1 ,li = 1 800 jalkaa) pohjoispuolelle. Auringon kesäpäivänseisauksen keskipäivällä heittämien varjojen pituudet mitattiin, ja niistä voitiin päätellä auringon etäisyys. Liu Hui näyttää sitten, miten samaa menetelmää voidaan soveltaa arkisempiin esimerkkeihin. Ongelma 1 sanoo:
merisaarta katsellaan kaukaa. Kaksi 30 metriä korkeaa pylvästä on pystytetty samalle tasolle 1000 pu: n välein niin, että takana oleva napa on suorassa linjassa saaren ja toisen tangon kanssa. Jos liikutaan 123 pu: ta taaksepäin lähempänä olevasta navasta, niin sen yläosa näkyy vain tangon pään läpi, jos hän näkee sen maan tasolta. Jos hän siirtää 127 pu: ta taaksepäin toisesta navasta, saaren huippu näkyy vain tangon pään läpi, jos sitä tarkastellaan maan tasolta. Etsi korkeus saaren ja sen etäisyys napa. napa on 102 li, 150 pu (300 pu = 1 li).]
sääntö tämän ongelman ratkaisemiseksi annetaan seuraavasti:
kerrotaan tangon korkeus napojen välisellä etäisyydellä ja jaetaan tuote niiden etäisyyksien erotuksella, jotka on käveltävä napojen luota taaksepäin, jotta voidaan nähdä saaren korkein kohta. Kun osamäärään lisätään napakorkeus, saadaan saaren korkeus. Jos haluat löytää etäisyyden lähempänä olevasta navasta saareen, kerro siitä navasta takaisin kävelty matka napojen välisellä etäisyydellä. Kun tuote jaetaan niiden etäisyyksien erotuksella, jotka on käveltävä napoja taaksepäin, saadaan tuo etäisyys.
ongelma 7 kiinnostaa erityisesti:
ihminen katsoo kuiluun, jonka pohjalla on pala valkoista kiveä. Rannasta käännetään poikkipuu makaamaan sivulle, joka on normaalisti pystyssä . Jos pohja on 3 jalkaa ja tarkastellaan veden pintaa pohjan kärjestä, näköyhteys täyttää poikkipalkin korkeuden etäisyydellä 4 jalkaa, 5 tuumaa, ja kun tarkastellaan kalliota, näköyhteys täyttää poikkipalkin korkeuden etäisyydellä 2 jalkaa, 4 tuumaa. Samanlainen crossbar on perustettu 4 jalat edellä ensimmäinen. Jos tarkastellaan kärjestä pohja, näköyhteys veden pintaan täyttäisi korkeus poikkipalkin etäisyydellä 4 jalkaa; ja jos tarkastellaan rock, se on 2 jalkaa, 2 tuumaa. Etsi veden syvyys.
Kuvassa 3, Jos P on veden pinta valkoisen kallion yläpuolella, R ja BC ja FG ovat kaksi poikkiviirua, niin BC = FG = 3 jalkaa; GC = 4 jalkaa; AC = 4 jalkaa, 5 tuumaa; DC = 2 jalkaa, 4 tuumaa; EG = 4 jalkaa; ja HG = 2 jalkaa, 2 tuumaa. Veden syvyyttä, PR: ää, etsitään. Vastauksen saamiseksi Liu Hui antaa seuraavan säännön:
Liu Hui ei ole ottanut tässä huomioon veden taitekerrointa. Annettu sääntö on ongelman 4 ratkaisemisessa käytetyn säännön laajennus, joka käyttää samaa menetelmää laakson syvyyden määrittämiseen:
henkilö katselee syvää laaksoa. Laakson reunasta käännetään poikkipuu makaamaan sille sivulle, joka on normaalisti pystyssä . Pohja
on 18 metriä pitkä. Jos tarkastellaan laakson pohjaa reunasta, näköyhteys kohtaa pystysuoran puolen etäisyydellä 9 jalkaa, 1 tuumaa. Toinen poikkipuu on asetettu 30 jalkaa suoraan ensimmäisen yläpuolelle. Jos laakson pohja havaitaan pohjan reunasta, näköyhteys kohtaa pystysuoran puolen etäisyydellä 8 jalkaa, 5 tuumaa. Etsi laakson syvyys.
jos viittaamme jälleen kuvioon 3, välittämättä rikkinäisistä viivoista, meillä on CB = GF = 6 jalkaa; CG = 30 jalkaa; AC = 9 jalkaa, 1 tuumaa; EG = 8 jalkaa, 5 tuumaa; ja CQ on syvyys. Samanlaisista kolmioista ABC ja PBQ,
QB · AC = PQ · CB;
ja samanlaisista kolmioista EFG ja PFQ,
QF · EG = PQ · GF.
koska CB = GF, ja QF = QB = BF,
QB · AC = (QB + BF)EG,
QB(AC – EG) = BF · EG,
eli
(CQ + CB)(AC – EG) = GC · EG.
näin ollen
ongelmassa 7 saadaan myös etäisyys pankista kuilun pohjalle (CS Kuvassa 3) lausekkeesta
PR johdetaan CS: n ja CQ: n erosta.
muiden ongelmien osalta ongelma 2 koskee puun korkeuden löytämistä kukkulalta; ongelma 3 käsittelee kaukaisen muurein ympäröidyn kaupungin kokoa; ongelma 5 osoittaa, miten mitataan tornin korkeus tasangolla kukkulalta katsottuna; ongelma 6 antaa menetelmän, jolla voidaan löytää kuilun leveys kaukaa katsottuna maalla; ongelma 8 on tapaus löytää leveys joen nähnyt kukkulalta, ja ongelma 9 pyrkii koko kaupungin nähnyt vuoren.
bibliografia
a modern ed. of the Chiu-Chang suan-shu is vol. 1121 Ts ’ ung-Shu Chi-Chêng-sarjassa (Shanghai, 1936).
Liu Huita ja hänen kirjoituksiaan käsittelevät teokset ovat Ch ’ Lien Pao-tsung, Suan-ching shih-shu(”kymmenen matemaattista käsikirjaa”), 2 vols. (Peking, 1963), 83-272; ja Chung-kuosuan-hsüeh-shih (”Kiinan Matematiikan historia”) (Peking 1964), 61-75; L.van Hée, ”Le Hai Tao Suan Ching de Lieou”, teoksessa t ’ oung Pao, 20 (1921), 51-60; Hsü Shunfang, Chung-suan chia te tai-hsüeh yen-chiu (”A Study of Algebra by Chinese Mathematicals”) (Peking, 1955), 1-8; Li Yen, Chung-kno shu-Hsüeh ta-kang (”Outline of Chinese Mathematics” I (Shanghai, 1931); ja Chungkuo Suan-Hsüeh-Shih(”Kiinan Matematiikan historia”) (Shanghai, 1937;Ilm., 1955), 16, 19, 21; Li Yen ja Tu Shih-jan, Chung-kuo ku-tai shu-hsüeh chien-shih (”muinaisen Kiinan matematiikan lyhyt historia”) I (Peking, 1963), 45-77; Yoshio Mikami, the Development of Mathematics in China and Japan (New York, 1913); Joseph Needham, Science and Civilisation in China,III (Cambridge, 1959), 24-27; George Sarton, Introduction to the History of Science, 3 vols. (Baltimore, 1927-1947), esp. I, 338; Wang Ling, ”The Chiu-Chang Suan-Shu and the History of Chinese Mathematics During the Han Dynasty,” a doctoral diss. (Cambridge Univ., 1956); Wang Ling ja Joseph Needham, ”Horner’ Method in Chinese Mathematics; its Origins in the Root-Extraction Procedure of the Han Dynasty,” teoksessa T’ oung Pao,43 (1955), 345-401; ja Alexander Wylie, kiinalaiset tutkijat (Shanghai, 1897; uusintapainos. Peking, 1936 ja Taipei, 1966), 170-174.
tärkeitä Chiu-Chang suan-Shun erikoistutkimuksia ovat E. I. Berezkina, ”Drevnekitayski traktat matematika v devyati knigach” (”muinainen kiinalainen matemaattinen tutkielma yhdeksässä kirjassa”), teoksessa Istoriko-matematicheskie isslidovaniya,10 (1957), 423-584, venäläinen trans. of the Chiu-Chang suan-shu; Kurt Vogel, neun Bücher arithme-tischer Technik (Brunswick, 1968), a German trans, and study of the work; and A. P. Youschkevitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (Leipzig, 1964), 1-88 (”Die Mathematik in China”), käännetty venäjäksi.
vanhojen matemaattisia teoksia koskevien elämäkerrallisten muistiinpanojen ja bibliografisten lainausten saatavuus ovat Hu Yü-chin, Ssu-k’ u-t ’ i-Yao Pu-Chêng (”täydennyksiä Ssu-k’ u-t ’i-yao”), 2 vols (Taipei, 1964-1967) sekä Ting Fu-pao ja Chou Yün-ch ’ ing, Ssu-Pu-Tsung-Lu Suan-Fa-pien (”bibliography of mathematical books to supplement the SSU-k’ u-ch ’uan-Shu Encyclopedia”; Shanghai, 1956).
lisätietoja Suan-Ching Shi-Shusta löytyy teoksesta Needham, Science and Civilisation in China, III, 18; ja teoksesta A. Hummel, Eminent Chinese of The Ch ’ ing Period (Washington, 1943), s. 697.
Yung-Lo Ta-Tien-tietosanakirjan kaksi jäljellä olevaa osaa on toistettu valokuvin (Peking, 1960); ne osoittavat, että järjestely oli matemaattisten menetelmien eikä tekijöiden tekemä.
Ho Peng-Yoke
