Les microscales de Kolmogorov

Les microscales de Kolmogorov sont les plus petites écailles en écoulement turbulent. À l’échelle de Kolmogorov, la viscosité domine et l’énergie cinétique turbulente est dissipée en chaleur. Ils sont définis par

Échelle de longueur de Kolmogorov	η=(ν 3 ε) 1 / 4 {\displaystyle\eta= \left({\frac{\nu^{3}} {\varepsilon}} \right)^{1/4}}
Échelle de temps de Kolmogorov	τ η =(ν ε) 1 / 2 {\displaystyle\tau_{\eta}= \left({\frac{\nu} {\varepsilon}}\right)^{1/2}}
Échelle de vitesse de Kolmogorov	u η=( ν ε) 1 / 4 {\displaystyle u_ {\eta} = \left(\nu\varepsilon\right)^{1/4}}

où ε{\displaystyle\varepsilon} est le taux moyen de dissipation de l’énergie cinétique de turbulence par unité de masse, et ν {\displaystyle\nu} est la viscosité cinématique du fluide. Les valeurs typiques de l’échelle de longueur de Kolmogorov, pour les mouvements atmosphériques dans lesquels les grands tourbillons ont des échelles de longueur de l’ordre du kilomètre, vont de 0,1 à 10 millimètres; pour les flux plus petits, comme dans les systèmes de laboratoire, η{\displaystyle\eta} peut être beaucoup plus petit.

Dans sa théorie de 1941, Andreï Kolmogorov a introduit l’idée que les plus petites échelles de turbulence sont universelles (similaires pour chaque écoulement turbulent) et qu’elles ne dépendent que de ε{\displaystyle\varepsilon} et ν{\displaystyle\nu} . Les définitions des microscales de Kolmogorov peuvent être obtenues en utilisant cette idée et cette analyse dimensionnelle. Étant donné que la dimension de la viscosité cinématique est length2 /time et que la dimension du taux de dissipation d’énergie par unité de masse est length2/time3, la seule combinaison qui a la dimension du temps est τ η =(ν/ε) 1 /2 {\displaystyle\tau_ {\eta} =(\nu/\varepsilon )^{1/2}} qui est l’échelle de temps de Kolmorogov. De même, l’échelle de longueur de Kolmogorov est la seule combinaison de ε{\displaystyle\varepsilon} et ν{\displaystyle\nu} qui a une dimension de longueur.

Alternativement, la définition de l’échelle de temps de Kolmogorov peut être obtenue à partir de l’inverse du tenseur de vitesse de déformation quadratique moyen, τ η =−2 ⟨ E i j E i j ⟩) – 1 /2 {\displaystyle\tau_{\eta} =(2\langle E_{ij} E_{ij}\rangle )^{-1/2}} ce qui donne également τ η =(ν/ε) 1 / 2 {\displaystyle\tau_{\eta} =(\nu/\varepsilon )^{1/2}} en utilisant la définition du taux de dissipation d’énergie par unité de masse ε = 2 ν ⟨ E i j E i j j {\displaystyle\varepsilon = 2\nu\langle E_{ij} E_{ij}\rangle} . Ensuite, l’échelle de longueur de Kolmogorov peut être obtenue comme l’échelle à laquelle le nombre de Reynolds est égal à 1, R e = U L / ν =(η/ τ η) η/ν = 1 {\displaystyle {\mathit{Re}} = UL /\nu =(\eta/\tau_ {\eta}) \eta/\nu = 1} .

La théorie de Kolmogorov 1941 est une théorie du champ moyen car elle suppose que le paramètre dynamique pertinent est le taux de dissipation d’énergie moyen. Dans la turbulence des fluides, le taux de dissipation d’énergie fluctue dans l’espace et le temps, il est donc possible de considérer les microscales comme des quantités qui varient également dans l’espace et le temps. Cependant, la pratique courante consiste à utiliser des valeurs de champ moyennes car elles représentent les valeurs typiques des plus petites échelles d’un flux donné.