( fl. Chine, ca, a.d. 250)
mathématiques.
On ne sait rien de la vie de Liu Hui, si ce n’est qu’il a prospéré dans le royaume de Wei vers la fin de la période des Trois Royaumes (a.d. 221-265). Ses écrits mathématiques, d’autre part, sont bien connus; son commentaire sur le Chiu-chang suan-shu (« Neuf chapitres sur l’Art mathématique ») a exercé une profonde influence sur les mathématiques chinoises pendant plus de 1 000 ans. Il a écrit un autre ouvrage important, mais beaucoup plus court: le Hai-tao suan-ching (« Manuel mathématique de l’île de la mer »).
Certains chercheurs pensent que le Chiu-chang suan-shu, également appelé Chiu-chang suan-ching (« Manuel mathématique en neuf chapitres »), existait déjà en Chine au troisième siècle avant notre ère. c Ch’ien Paotsung, dans son Chung-kuo suan-hsüeh-shih, et Chang Yin-lin (Yenching Hsüeh Pao, 2, 301) ont noté que les titres de certains fonctionnaires mentionnés dans les problèmes datent de Ch’in et plus tôt (IIIe et début IIe siècles av.j.-c.). Il existe également des références qui doivent indiquer un système d’imposition de 203 b.c. Selon la préface de Liu Hui, le livre a été brûlé à l’époque de l’empereur Ch’in Shih-huang (221-209 av.j.-c.); mais des restes de celui-ci ont ensuite été récupérés et mis en ordre. Au cours des deux siècles suivants, des commentaires sur ce livre ont été écrits par Chang Ts’ang (fl. 165-142 av. j.-c.) et Keng Shou-ch’ang (fl. 75-49 av. j.-c.). Dans une étude de Ch’ien Pao-tsung (1963), il est suggéré, à partir de preuves textuelles internes, que le Chiu-chang suan-shu a été écrit entre 50 av.j.-c. et 100 ap.j.-c. et qu’il est douteux que Chang Ts’ang et Keng Shou-ch’ang aient quelque chose à voir avec le livre. Pourtant, Li Yen et Tu Shih-jan, tous deux collègues de Ch’ien Pao-tsung, croyaient toujours à la préface de Liu Hui lorsqu’ils écrivirent sur le Chiu-chang suan-shu la même année.
Au VIIe siècle, le Chiu-chang suan-shu et le Hai-tao suan-ching (a.d. 263) ont été inclus dans Suan-ching shih-shu (« Dix Manuels de mathématiques », a.d. 656), auxquels le mathématicien et astronome T’ang Li Shun-feng (602-670) a ajouté ses annotations et commentaires. Ces travaux sont ensuite devenus des textes standard pour les étudiants en mathématiques; les règlements officiels prescrivaient que trois ans soient consacrés aux œuvres de Liu Hui. Les travaux de Liu Hui ont également trouvé leur chemin au Japon avec ces manuels de mathématiques. Lorsque les écoles ont été créées au Japon en 702 et que les mathématiques ont été enseignées, le Chiu-chang suan-shu et le Hai-tao suan-ching faisaient partie des textes prescrits.
Selon le traité mathématique de Ch’eng Ta-wei, le Suan-fa t’ung-tsung (« Traité systématique d’Arithmétique »; 1592), le Chiu-chang suan-shu et le Hai-tao suan-ching ont été imprimés officiellement pour la première fois en 1084. Il en existe une autre version imprimée par Pao Huan-chih en 1213. Au début du XVe siècle, ils ont été inclus, bien que considérablement réorganisés, dans la vaste encyclopédie Ming, le Yung-lo ta-tien (1403-1407). Dans la deuxième partie du XVIIIe siècle, Tai Chen (1724-1777) a reconstruit ces deux textes après les avoir extraits au coup par coup du Yung-lo to-tilen. Ils ont ensuite été inclus par K’ung Chi-han (1739-1787) dans son Wei-po-hesieh ts’ung-shu (1773). Trois ans plus tard, ch’u Tseng-fa les imprima séparément avec une préface de Tai Chen.
D’autres reproductions basées sur la reconstruction de Tai Chen dans le Wei-po-hsieh ts’ung-shu se trouvent dans les séries Suan-ching shih-shu (« Dix Manuels mathématiques ») de Mei Ch’i-chao (1862 et dans les séries Wan-yu-wen-K’u (1929-1933) et Ssu-pu ts’ung-k’an (1920-1922; toutes deux de la Presse Commerciale, Shanghai) . Deux érudits du XIXe siècle, Chung Hsiang et Li Huang, ont découvert que certains passages du texte avaient été rendus incompréhensibles par la tentative de Tai Chen d’améliorer le texte original du Chiu-chang suan-shu. Un fragment de l’édition du début du XIIIe siècle du Chiu-chang suan-shu. composé de seulement cinq chapitres, a été trouvé au XVIIe siècle à Nankin, dans la bibliothèque privée de Huang Yü-chi (1629-1691). Cette copie a été vue par le célèbre érudit Ch’ing Mei Wen-ing (1633-1721) en 1678, et elle est ensuite entrée en possession de K’ung Chi-han (1739-1784) puis de Chang Tun-jen (1754-1834); enfin, elle a été acquise par la Bibliothèque de Shanghai, où elle est aujourd’hui conservée. En 1684, Mao I (1640 – après 1710) a fait une copie manuscrite du texte original trouvé dans la bibliothèque de Huang Yü-chi. Cette copie a ensuite été acquise par l’empereur pendant le règne de Ch’ien-lung (1736-1795). En 1932, il a été reproduit dans la série T’ien-lu-lin-lang ts’ung-shu.
En 1261, Yang Hui a écrit le Hsiang-csieh chiu-chang suan-fa (« Analyse détaillée des Règles Mathématiques dans les Neuf chapitres ») pour élucider les problèmes du Chiu-chang suan-shu. Ch’ien Pao-tsung en 1963 a rassemblé le texte du Chiu-chang suan-shu de la version de Tai Chen, les fragments de la dernière édition chantée tels que reproduits dans la série T’ien-lu-lin-lang ts’ung-shu, et le Hsiang-chieh chiu-chang suan-fa de Yang Hui.
Quant au Hai-tao suan-ching, il ne reste que la version reconstruite par Tai Chen. Il a été reproduit dans l’édition du palais Wu-ying-tien (avant 1794), les « Dix Manuels de mathématiques » dans le Wei-po-hsieh ts’ung-shu de K’ung Chi-han et l’annexe au Chiu-chang suan-shu de Chü Tseng-fa.
Le Chiu-chang suan-shu était conçu comme un manuel pratique, une sorte d’aide-mémoire pour les architectes, les ingénieurs, les fonctionnaires et les commerçants. C’est la raison de la présence de tant de problèmes sur la construction de canaux et de digues, les murs de la ville, la fiscalité, le troc, les services publics, etc. Il se compose de neuf chapitres, avec un total de 246 problèmes. Les chapitres peuvent être décrits comme suit:
(1) Fang-t’ien (« Arpentage ») contient les règles pour trouver les zones de triangles, trapèzes, rectangles, cercles, secteurs de cercles et annuli. Il donne des règles pour l’addition, la soustraction, la multiplication et la division des fractions. Il existe une formule intéressante mais inexacte pour l’aire du segment de a où l’accord c et la sagitta s sont connus, sous la forme s(c+s)/2. Cette expression est apparue plus tard au IXe siècle dans le Ganitasārasangraha de Mahāvīra.
D’un intérêt particulier est la valeur du rapport de la circonférence d’un cercle à son diamètre utilisé par Liu Hui. La valeur ancienne de π utilisée en Chine était de 3, mais depuis le premier siècle, les mathématiciens chinois cherchaient une valeur plus précise. Liu Hsin (d.a.d. 23) a utilisé 3,1547, tandis que Chang Hen (78-139) a donné √10 et 92/29. Wang Fan (219-257) a trouvé 142/45, puis Liu Hui a donné 3,14. Les noms les plus importants à cet égard sont cependant ceux de Tsu Ch’ung-chih (430-501), un brillant mathématicien, astronome et ingénieur des dynasties Liu Sung et Ch’i, et de son fils, Tsu Cheng-chih. Tsu Ch’ung-chih a donné deux valeurs pour π d’abord une « inexacte » (yo lü), égale à 22/7, donnée précédemment par Archimède, puis une « plus précise » ((mi lu)), 355/113 (3.1415929). Il a même cherché d’autres approximations et a constaté que π se situe entre 3,1415926 et 3,1415927. Sa méthode a probablement été décrite dans le Chui Shu, que lui et son fils ont écrit, mais est maintenant perdue. La valeur de Tsu Ch’ung-chih de 355/113 pour π a disparu pendant de nombreux siècles en Chine jusqu’à ce qu’elle soit reprise par Chao Yu-ch’in ((fl, ca. 1300)). Liu Hui a obtenu la valeur précise 3,14 en prenant le rapport entre le périmètre d’un polygone régulier de quatre-vingt-seize côtés et le diamètre d’un cercle entourant ce polygone. Commençons par un hexagone régulier de côté L6. Le rapport entre le périmètre de l’hexagone et le diamètre du cercle l’entourant est de 3. Si nous changeons l’hexagone en un polygone régulier de douze côtés, comme le montre la figure 1 — en notant que L6 = r, le rayon du cercle circonscrit — alors le côté du polygone à douze côtés est donné par
Par conséquent, si Ln est connu, alors L2n peut être trouvé à partir de l’expression
En prenant r = 1, les valeurs suivantes peuvent être trouvées: L6 = 1; L12 = 0,517638; L24 = 0,261052; L48 = 0,130806; L96 = 0,065438.
Le périmètre d’un polygone régulier de n = 96 et r = 1 est de 96 × 0,065438 = 6,282048. D’où π = 6,282048 / 2 = 3,141024, soit environ 3,14. Liu Hui a également utilisé un polygone de 3 072 côtés et a obtenu sa meilleure valeur, 3,14159.
(2) Su-mi (« Millet et riz ») traite des pourcentages et des proportions. Les équations indéterminées sont évitées dans les neuf derniers problèmes de ce chapitre par l’utilisation de proportions.
(3) Ts’ui-fen (« Distribution par progression ») concerne la distribution des propriétés entre partenaires selon des taux donnés. Il comprend également des problèmes de taxation de biens de différentes qualités, et d’autres de progressions arithmétiques et géométriques, tous résolus par l’utilisation de proportions.
(4) Le Shao-kuang (« Largeur décroissante ») consiste à trouver les côtés d’un rectangle lorsque l’aire et l’un des côtés sont donnés, la circonférence d’un cercle
lorsque son aire est connue, le côté d’un cube étant donné son volume, et le diamètre d’une sphère de volume connu. L’utilisation du multiple le moins commun en fractions est illustrée. Il est intéressant de noter que les fractions unitaires sont utilisées, par exemple, dans le problème 11 de ce chapitre. La largeur donnée d’une forme rectangulaire s’exprime par
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
Les problèmes de ce chapitre conduisent également à l’extraction des racines carrées et des racines cubiques; le problème 13, par exemple, consiste à trouver la racine carrée de 25 281. Selon la méthode donnée dans le Chiu-chang suan-shu, ce nombre, connu sous le nom de shih (dividende), est d’abord placé dans la deuxième rangée à partir du haut du tableau de comptage. Ensuite, une tige de comptage, appelée chieh-suan préliminaire, est placée sur la rangée inférieure du tableau de comptage dans la colonne de chiffres la plus éloignée à droite. Cette tige est déplacée vers la gauche, deux endroits à la fois, car elle peut aller sans dépasser le chiffre le plus à gauche du nombre de la rangée shih. Avec sa nouvelle valeur de lieu, cette tige s’appelle le chieh-sucn. Il est représenté sur la figure 2a.
La première figure de la racine se situe entre 100 et 200. Ensuite, 1 est pris comme première figure de la racine et est placé sur la rangée supérieure de la colonne des centaines. La rangée du haut s’appelle croc. Le chieh-suan est multiplié par la première figure de la racine. Le produit, appelé fa, est placé dans la troisième rangée. Le shih (25 281) moins le fa (10 000) laisse le « premier reste » (15 281), qui est écrit sur la deuxième rangée, comme le montre la figure 2b. Une fois la division effectuée, le fa est doublé pour former lefa-fa. Ceci est déplacé d’un chiffre vers la droite, tandis que le chieh-suan est déplacé de deux chiffres vers la droite, comme le montre la figure 2c.
Le deuxième chiffre, sélectionné par essais et erreurs, se situe entre 5 et 6. Le chiffre des dizaines est donc considéré comme étant 5 et sera placé dans sa position appropriée sur la rangée supérieure de la figure 2e. Le chieh-suan (qui est maintenant 100) est multiplié par ce deuxième chiffre et le produit est ajouté aufa-fa, qui devient 2 500. Lefa-fa multiplié par 5 est soustrait du premier reste, ce qui donne un reste de 2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), comme le montre la figure 2d. Lefa-fa est ensuite décalé d’un chiffre vers la droite et le chieh-suan de deux endroits (voir Figure 2e). Le troisième chiffre, encore une fois sélectionné par essais et erreurs, s’avère être 9. Ce chiffre d’unité est placé dans sa position appropriée sur la rangée supérieure. Le Chieh-suan, qui est maintenant 1, est multiplié par ce troisième chiffre et le produit est ajouté aufa-fa, qui devient 259. Le deuxième reste est divisé par lefa-fa, ce qui laisse un reste de zéro (2,781 ÷ 259 = 9 +0). La réponse est donc 159 (voir Figure 2f).
(5) Shang-kung (« Consultations sur les travaux d’ingénierie ») donne les volumes de figures solides telles que le prisme, la pyramide, le tétraèdre, le coin, le cylindre, le cône et le tronc de cône:
(a) Volume du prisme carré = carré du côté de la base fois la hauteur.
(b) Volume du cylindre = 1/12 carré de circonférence du cercle fois la hauteur (où π est considéré comme étant d’environ 3).
(c) Volume de pyramide carrée tronquée = 1/3 de la hauteur fois la somme des carrés des côtés des carrés supérieur et inférieur et le produit des côtés des carrés supérieur et inférieur.
(d) Volume de la pyramide carrée = 1/3 de la hauteur fois le carré du côté de la base.
(e) Volume du tronc d’un cône circulaire = 1/36 la hauteur multipliée par la somme des carrés des circonférences des faces circulaires supérieure et inférieure et le produit de ces deux circonférences (où π est pris pour environ 3).
(f) Volume du cône circulaire = 1/36 la hauteur fois le carré de la circonférence de la base (où π est considéré comme étant d’environ 3).
(g) Volume d’un prisme triangulaire droit = 1/2 du produit de la largeur, de la longueur et de la hauteur.
(h) Volume d’une pyramide rectangulaire = 1/3 du produit de la largeur et de la longueur de la base et de la hauteur.
(i) Volume de tétraèdre à deux bords opposés perpendiculaires l’un à l’autre = 1/6 le produit des deux bords opposés perpendiculaires et de la perpendiculaire commune à ces deux bords.
(6) Le Chün-shu (« Fiscalité impartiale ») concerne les problèmes de poursuite et d’alligation, en particulier en relation avec le temps nécessaire aux contribuables pour obtenir leurs contributions en céréales de leurs villes natales à la capitale. Il traite également des problèmes de ratios liés à la répartition des charges fiscales en fonction de la population. Le problème 12 dans ce chapitre dit:
Un bon coureur peut faire 100 pas tandis qu’un mauvais coureur fait 60 pas. Le mauvais coureur a parcouru une distance de 100 pas avant que le bon coureur ne commence à le poursuivre. À combien de pas le bon coureur rattrapera-t-il?
(7) Ying pu-tsu ou ying-nü (« Excès et carence »). Ying, se référant à la pleine lune, et pu-tsu ou nü à la nouvelle lune, signifient respectivement « trop » et « trop peu ». Cette section traite d’une invention algébrique chinoise utilisée principalement pour résoudre des problèmes de type ax + b = 0 de manière assez détournée. La méthode est devenue connue en Europe comme la règle de la fausse position. Dans ce procédé, on fait deux suppositions, x1 et x2, donnant respectivement des valeurs c1 et c2 supérieures ou inférieures à 0. De ceux-ci, nous avons les équations suivantes:
Multipliant (1) par x2 et (2) par x1, nous avons
De (1) et (2),
D’où
Le problème 1 de ce chapitre dit:
Dans une situation où certaines choses sont achetées conjointement, si chaque personne paie 8, le surplus est de 3 et si chaque personne paie 7, le déficit est de 4. Trouvez le nombre de personnes et le prix des choses apportées.
Selon la méthode de l’excès et du déficit, les taux (c’est-à-dire les « suppositions » 8 et 7) sont d’abord fixés sur le tableau de comptage avec l’excès (3) et le déficit (-4) placés en dessous. Les taux sont ensuite multipliés par l’excédent et le déficit, et les produits sont ajoutés pour former le dividende. Ensuite, l’excès et la carence sont additionnés pour former le diviseur. Le quotient donne le montant correct d’argent payable par chaque personne. Pour obtenir le nombre de personnes, ajoutez l’excédent et le déficit et divisez la somme par la différence entre les deux taux. En d’autres termes, x et a sont obtenus à l’aide des équations (5) et (4) ci-dessus.
Parfois, un problème simple peut être transformé en un problème impliquant l’utilisation de la règle de fausse position. Le problème 18 dans le même chapitre dit:
Il y a 9 pièces d’or et 11 pièces d’argent. Les deux lots pèsent le même poids. Une pièce est prise de chaque lot et mise dans l’autre. Le lot contenant principalement de l’or pèse maintenant moins de 13 onces que le lot contenant principalement de l’argent. Trouvez le poids de chaque pièce d’or et d’argent.
Ici, deux suppositions sont faites pour le poids de l’or. La méthode dit que si chaque pièce d’or pèse 3 livres, alors chaque pièce d’argent pèserait 2 5/11 livres, ce qui donnerait une carence de 49/11 onces; et si chaque pièce d’or pèse 2 livres, alors chaque pièce d’argent pèserait 1 7/11 livres, ce qui donnerait un excès de 15/11 onces. Après cela, la règle de la fausse position est appliquée.
(8) Fang-ch’eng (« Calcul par tabulation ») s’intéresse aux équations linéaires simultanées, utilisant à la fois des nombres positifs et négatifs. Le problème 18 de ce chapitre implique cinq inconnues mais ne donne que quatre équations, annonçant ainsi l’équation indéterminée. Le processus de résolution des équations linéaires simultanées donné ici est le même que la procédure moderne de résolution du système simultané
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b2y + c3z = d3,
sauf que les coefficients et les constantes sont disposés en colonnes verticales au lieu de en cours d’écriture horizontale :
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3.
Dans ce chapitre, Liu Hui explique également l’addition et la soustraction algébriques des nombres positifs et négatifs. (Liu Hui a désigné les nombres positifs et les nombres négatifs par des tiges de calcul rouges et noires, respectivement.)
(9) Kou-ku (« Angles droits ») traite de l’application du théorème de Pythagore. Certains de ses problèmes sont les suivants:
Un morceau de bois cylindrique d’un diamètre de section transversale de 2 pieds, 5 pouces, doit être coupé en un morceau de planche de 7 pouces d’épaisseur. Quelle est la largeur? Il y a un arbre de 20 pieds de haut et de 3 pieds de circonférence.Une plante grimpante serpente sept fois autour de l’arbre et atteint juste le sommet. Trouvez la longueur de la vigne, Il y a un étang de 7 pieds carrés avec un roseau poussant au centre et mesurant I pied au-dessus de l’eau. Le roseau atteint juste la rive au niveau de l’eau lorsqu’il est attiré vers lui. Trouvez la profondeur de l’eau et la longueur du roseau.
Il y a un bambou de 10 pieds de haut. Lorsqu’elle est pliée, l’extrémité supérieure touche le sol à 3 pieds de la tige. Trouvez la hauteur de la pause,
Il est intéressant de noter qu’un problème similaire à 13 est apparu dans le travail de Brahmagupta au septième siècle.
Le problème 20 a suscité un intérêt encore plus grand:
Il y a une ville carrée de dimension inconnue. Une porte se trouve au milieu de chaque côté. À vingt pas de la porte nord se trouve un arbre. Si l’on marche à 14 pas de la porte sud, tourne vers l’ouest et fait 1 775 pas, l’arbre apparaîtra simplement. Trouvez la longueur du côté de la ville.
Le livre indique que la réponse peut être obtenue en faisant évoluer la racine de l’équation quadratique.
x2 +(14+20) x = 2 (1775 × 20).
La méthode de résolution de cette équation n’est pas décrite. Mikami suggère qu’il est hautement probable que l’extraction des racines ait été effectuée avec un terme supplémentaire dans le coefficient du premier degré dans l’inconnu et que ce terme supplémentaire ait été appelé tsung, mais dans sa traduction littérale de certaines parties du texte concernant les extractions de racines, il ne remarque pas que les étapes successives correspondent étroitement à celles de la méthode de Horner. Ch’ien Pao-tsung et Li Yen ont tous deux essayé de comparer la méthode décrite dans le Chiu-chang suan-shu avec celle de Horner, mais ils n’ont pas clarifié les obscurcissements textuels. Wang Ling et Needham disent qu’il est possible de montrer que si le texte du Chiu-chang suan-shu est très attentivement suivi, l’essentiel des méthodes utilisées par les Chinois pour résoudre des équations numériques du deuxième degré et des degrés supérieurs, similaires à celle développée par Horner en 1819, sont présentes dans un ouvrage qui peut être daté du premier siècle avant j.-c.
Le Hai-tao suan-ching, connu à l’origine sous le nom de Ch’ung ch’a (« Méthode des Doubles Différences »), a été ajouté au Chiu-chang suan-shu en tant que dixième chapitre. Il a été séparé du texte principal au cours du septième siècle, lorsque les « Dix Manuels de mathématiques » ont été choisis, et a reçu le titre Hai-tao suan-cluig. Selon Mikami, le terme ch’ung ch’a était destiné à signifier l’application double, ou répétée, des proportions des côtés des triangles rectangles. Le nom Hai-tao vient probablement du premier problème du livre, qui traite d’une île dans la mer. Composé de seulement neuf problèmes, le livre équivaut à moins d’un chapitre du Chiu-chang suan-shu.
Dans sa préface, Liu Hui décrit la méthode chinoise classique de détermination de la distance du soleil à la terre plate au moyen de la double triangulation. Selon cette méthode, deux poteaux verticaux de huit pieds de haut ont été érigés au même niveau le long du même méridien, l’un à l’ancienne capitale Chou de Yan-ch’eng et l’autre à 10 000 li (1, li = 1 800 pieds) au nord. Les longueurs des ombres projetées par le soleil à midi du solstice d’été ont été mesurées, et à partir de celles-ci, la distance du soleil a pu être dérivée. Liu Hui montre ensuite comment la même méthode peut être appliquée à des exemples plus quotidiens. Problème 1 dit:
Une île de mer est vue de loin. Deux poteaux, chacun de 30 pieds de haut, sont érigés au même niveau espacés de 1 000 pu de sorte que le poteau à l’arrière soit en ligne droite avec l’île et l’autre poteau. Si l’on recule de 123 pu du pôle le plus proche, le sommet du pôle est juste visible à travers l’extrémité du pôle s’il le regarde du niveau du sol. S’il recule de 127 pu de l’autre pôle, le sommet de l’île est juste visible à travers l’extrémité du pôle si vu du niveau du sol. Trouvez l’altitude de l’île et sa distance du pôle. le pôle est de 102 li, 150 pu (300 pu = 1 li).]
La règle pour résoudre ce problème est donnée comme suit:
Multipliez la hauteur du poteau par la distance entre les poteaux et divisez le produit par la différence entre les distances qu’il faut remonter des poteaux pour voir le point le plus élevé de l’île. L’ajout de la hauteur du pôle au quotient donne l’élévation de l’île. Pour trouver la distance entre le pôle le plus proche et l’île, multipliez la distance parcourue depuis ce pôle par la distance entre les pôles. En divisant le produit par la différence entre les distances que l’on doit parcourir depuis les pôles, on obtient cette distance.
Le problème 7 présente un intérêt particulier:
Une personne regarde dans un abîme avec un morceau de roche blanche au fond. De la rive, une barre transversale est tournée pour se coucher sur le côté normalement droit. Si la base mesure 3 pieds et que l’on regarde la surface de l’eau depuis la pointe de la base, la ligne de visée rencontre la hauteur de la barre transversale à une distance de 4 pieds, 5 pouces; et lorsque l’on regarde la roche, la ligne de visée rencontre la hauteur de la barre transversale à une distance de 2 pieds, 4 pouces. Une barre transversale similaire est installée à 4 pieds au-dessus de la première. Si l’on regarde de la pointe de la base, la ligne de visée à la surface de l’eau correspondrait à la hauteur de la barre transversale à une distance de 4 pieds; et si l’on regarde la roche, ce sera 2 pieds, 2 pouces. Trouvez la profondeur de l’eau.
Dans la figure 3, si P est la surface de l’eau au-dessus de la roche blanche, R et BC et FG sont les deux barres transversales, alors BC = FG = 3 pieds; GC = 4 pieds; AC = 4 pieds, 5 pouces; DC = 2 pieds, 4 pouces; EG = 4 pieds; et HG = 2 pieds, 2 pouces. La profondeur de l’eau, PR, est recherchée. Pour obtenir la réponse, Liu Hui donne la règle suivante:
Liu Hui n’a pas pris en compte ici l’indice de réfraction de l’eau. La règle donnée est une extension de celle utilisée pour résoudre le problème 4, qui utilise la même méthode pour déterminer la profondeur d’une vallée:
Une personne regarde une vallée profonde. Du bord de la vallée, une barre transversale est tournée pour se coucher sur le côté normalement droit. La base
mesure 6 pieds de long. Si l’on regarde le fond de la vallée depuis le bord de la base, la ligne de visée rencontre le côté vertical à une distance de 9 pieds, 1 pouce. Une autre barre transversale est placée à 30 pieds directement au-dessus de la première. Si le fond de la vallée est observé depuis le bord de la base, la ligne de visée rencontrera le côté vertical à une distance de 8 pieds et 5 pouces. Trouvez la profondeur de la vallée.
Si nous nous référons à nouveau à la figure 3, en ignorant les lignes brisées, nous avons CB = GF = 6 pieds; CG = 30 pieds; AC = 9 pieds, 1 pouce; EG = 8 pieds, 5 pouces; et CQ est la profondeur. À partir de triangles similaires ABC et PBQ,
QB *AC = PQ * CB;
et à partir de triangles similaires EFG et PFQ,
QF · EG = PQ · GF.
Puisque CB = GF, et QF = QB = BF,
QB ·AC =(QB + BF) Par EXEMPLE,
QB(AC-EG) = BF · EG = GC · EG,
c’est-à-dire,
(CQ + CB) (AC-EG) = GC · EG.
Par conséquent,
Dans le problème 7, on obtient également la distance de la rive au fond de l’abîme (CS sur la figure 3) à partir de l’expression
PR est dérivée de la différence entre CS et CQ.
Quant aux autres problèmes, le problème 2 concerne la recherche de la hauteur d’un arbre sur une colline; le problème 3 concerne la taille d’une ville fortifiée éloignée; le problème 5 montre comment mesurer la hauteur d’une tour sur une plaine vue d’une colline; le problème 6 donne une méthode pour trouver la largeur d’un golfe vu de loin sur terre; le problème 8 est un cas de trouver la largeur d’une rivière vue d’une colline; et le problème 9 cherche la taille d’une ville vue de la montagne.
BIBLIOGRAPHIE
Une édition moderne. du Chiu-chang suan-shu est le vol. 1121 dans la série Ts’ung-Shu Chi-Chêng (Shanghai, 1936).
Les ouvrages traitant de Liu Hui et de ses écrits sont Ch’ien Pao-tsung, Suan-ching shih-shu (« Dix Manuels mathématiques »), 2 vols. (Pékin, 1963), 83-272; et Chung-kuosuan-hsüeh-shih (« Histoire des mathématiques chinoises ») (Pékin 1964), 61-75; L.van Hée, « Le Hai Tao Suan Ching de Lieou », in T’ong Pao, 20 (1921), 51-60; Hsü Shunfang, Chung-suan chia te tai-hsüeh yen-chiu (« Une étude de l’Algèbre par les Mathématiciens chinois ») (Pékin, 1955), 1-8; Li Yen, Chung-kno shu-Hsüeh ta-kang (« Aperçu des Mathématiques chinoises » I (Shanghai, 1931 ); et Chungkuo suan-hsüeh-shih (« Histoire des mathématiques chinoises ») (Shanghai, 1937; rév. ed., 1955), 16, 19, 21; Li Yen et Tu Shih-jan, Chung-kuo ku-tai shu-hsüeh chien-shih (« Brève Histoire des Mathématiques chinoises anciennes ») I (Pékin, 1963), 45-77; Yoshio Mikami, Le développement des mathématiques en Chine et au Japon (New York, 1913); Joseph Needham, Science et Civilisation en Chine, III (Cambridge, 1959), 24-27; George Sarton, Introduction à l’Histoire des sciences, 3 vols. (Baltimore, 1927-1947), esp. I, 338; Wang Ling, « Le Chiu-Chang Suan-Shu et l’histoire des mathématiques chinoises Pendant la dynastie Han », un doctorat diss. (Université de Cambridge., 1956); Wang Ling et Joseph Needham, « Méthode de Horner en mathématiques chinoises; Ses origines dans la Procédure d’extraction des Racines de la dynastie Han », in T’ ouung Pao, 43 (1955), 345-401; et Alexander Wylie, Recherches chinoises (Shanghai, 1897; repr. Pékin, 1936, et Taipei, 1966), 170-174.
Quelques études spéciales importantes sur le Chiu-chang suan-shu sont E.I.Berezkina, « Drevnekitaysky traktat matematika v devyati knigach » (« L’Ancien Traité Mathématique chinois en Neuf Livres »), dans Istoriko-matematicheskie isslidovaniya, 10 (1957), 423-584, un trans russe. de la Chiu-chang suan-shu; Kurt Vogel, Neun Bücher arithme-tischer Technik (Brunswick, 1968), un trans allemand, et étude de l’œuvre; et A. P. Youschkevitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (Leipzig, 1964), 1-88 (« Die Mathematik en Chine »), traduit du russe.
L’accès aux anciennes notes biographiques et citations bibliographiques concernant les travaux mathématiques est Hu Yü-chin, Ssu-K’U-T’i-Yao Pu-Chêng (« Suppléments à la Ssu-K’U-T’i-yao »), 2 volumes, (Taipei, 1964-1967); et T Fu-pao et Chou Yün-ch’ing, Ssu-Pu-Tsung-Lu Suan-Fa-Pien ( » Bibliographie de Livres mathématiques pour compléter l’encyclopédie Ssu-K’u-Ch’ uan-Shu »; Shanghai, 1956).
Plus d’informations sur le Suan-Ching Shi-Shu peuvent être trouvées dans Needham, Science and Civilisation in China, III, 18; et dans A. Hummel, Eminent Chinese of the Ch’ing Period (Washington, 1943), p. 697.
Les deux volumes existants de l’encyclopédie Yung-Lo Ta-Tien ont été reproduits photographiquement (Pékin, 1960); ils montrent que l’arrangement était conforme à des procédures mathématiques et non par des auteurs.
Empiècement Ho Peng
