Kurtenbach a joué dans la Ligue de hockey junior de la Saskatchewan (SJHL) avec les Mintos de Prince Albert pendant deux saisons, faisant également de brèves apparitions avec les Quakers de Saskatoon de la Ligue professionnelle mineure de hockey de l’Ouest (WHL) pendant cette période. En 1957, après que Prince Albert a été éliminé des séries éliminatoires de la SJHL, Kurtenbach a terminé la saison avec les Bombers de Flin Flon, où il a aidé l’équipe à remporter la Coupe Memorial.
Kurtenbach devient professionnel en 1957-1958, signant un contrat avec les Canucks de Vancouver de la WHL. Il a marqué 54 points en 52 matchs en route vers le titre de recrue de l’année. En séries éliminatoires, il a aidé les Canucks à remporter le championnat de la Coupe du Président.
La majorité de la carrière professionnelle de Kurtenbach se passe dans les mineures, partageant le temps entre la LAH avec les Bisons de Buffalo, les Indians de Springfield et les Reds de Providence, et la WHL avec les Seals de San Francisco et les Canucks. Sa meilleure saison dans cette série est 1962-1963, quand il inscrit 87 points pour les Seals en 70 matchs et mène l’équipe en marquant dans les séries éliminatoires en route vers la conquête du championnat de la ligue.
Pendant son séjour dans les mineures, Kurtenbach fait deux brèves apparitions dans la Ligue nationale de hockey avec les Rangers de New York et les Bruins de Boston, totalisant dix-huit matchs, mais ne jouera sa première saison complète dans la LNH qu’en 1963-64 avec les Bruins. En 1965-1966, il devient membre des Maple Leafs de Toronto, où il joue un rôle principalement défensif. L’entraîneur de Toronto Punch Imlach a désigné Kurtenbach aux deux dernières lignes offensives, tout en gagnant principalement du temps de jeu sur penalty. La saison suivante, il rejoint les Rangers de New York, où il passe quatre saisons. Au cours de la saison morte de 1970, la direction des Rangers lui a dit qu’il ne serait pas protégé pour le prochain repêchage d’expansion de la LNH, soit par les Sabres de Buffalo, soit par les Canucks de Vancouver (la franchise a quitté la WHL pour rejoindre la LNH).
Kurtenbach a été obtenu par les Canucks et a été nommé le premier capitaine de la franchise dans la LNH. Le 12 décembre 1970, il enregistre le premier tour du chapeau de l’histoire des Canucks dans une victoire de 5-2 sur les Golden Seals de Californie, c’est également le seul tour du chapeau qu’il enregistrera dans sa carrière. Il a enregistré un record de points par match en carrière dans la LNH avec 53 points en 52 matchs, malgré une grave blessure le 23 décembre qui l’a mis à l’écart jusqu’au 3 mars. La saison suivante, il inscrit un sommet en carrière de 61 points en 78 matchs. De nombreux joueurs de Vancouver quittent le club cette saison-là, faisant défection pour l’Association mondiale de hockey (AMH) naissante pour des salaires plus élevés. Kurtenbach lui-même s’est vu offrir un contrat de 150 000 $ avec les Sharks de Los Angeles, mais il a refusé. Il a souvent joué sur une ligne avec Wayne Maki et Murray Hall. Kurtenbach a pris sa retraite de la LNH après sa quatrième saison avec Vancouver.
Kurtenbach a terminé sa carrière dans la LNH avec 119 buts et 213 aides pour 332 points en 639 matchs, ajoutant 628 minutes de pénalité. Le 26 octobre 2010, Kurtenbach est le premier joueur des Canucks intronisé à la Bague d’honneur de l’équipe. Une cérémonie a eu lieu avant un match des Canucks contre l’Avalanche du Colorado.
