(b. St. Louis, Missouri, 8 December 1919; D. Berkeley, Kalifornia, 30 július 1985), matematika, matematikai logika, Számelmélet, döntési problémák, meghatározhatóság.
Robinson matematikai munkája mutat erejét és báját. Megoldotta a nehéz problémákat, és elegáns megoldásokra törekedett. Életét és munkáját nem lehet megfelelően szemlélni anélkül, hogy ne vennénk észre, hogy nőként a férfiak által uralt területen úttörő volt. A szakmám volt a felület két ág között a matematika, a logika, mind az elmélet a számok, általában úgy gondolják, hogy kevés köze van egymáshoz. Különösen ismert a tizedik probléma megoldásához való hozzájárulásáról David Hilbert matematikus által 1900-ban javasolt huszonhárom híres listában. Megválasztották a National Academy of Sciences, valamint az elnökség az American Mathematical Society, mindkét esetben az első női matematikus, hogy annyira megtiszteltetés, és egyben a címzett egy MacArthur ösztöndíj.
Korai élet Julia Bowman született, élete elején két csapást szenvedett. Még csak kétéves volt, amikor az anyja meghalt, így az apja Julia-val és a nővérével, Constance-szal maradt. Újraházasodása után, a család nyugatra költözött, végül San Diegóba, ahol mostohatestvére, Billie született. Amikor Julia kilenc éves volt, pusztító betegségen ment keresztül:skarlát, majd reumás láz. Két évet kihagyott az iskolából, és súlyos szívkárosodást szenvedett. Tudományos szempontból kitűnt, és hamarosan pótolta az elveszett talajt. A középiskolában ő volt az egyetlen lány, hogy a fejlett Természettudományi és matematikai kurzusok és diplomázott számos kitüntetéssel. 1936-ban belépett San Diego Állami Főiskola, matematika szakon. Szélesebb távlatokat keresve, idősebb évére a Berkeley-i Kaliforniai Egyetemre került. Az öt matematika tanfolyamok vett abban az évben volt az egyik a számelmélet által tanított Raphael Robinson. Lenyűgözte a képessége, meggyőzte, hogy folytassa tanulmányait végzős hallgatóként. Raphael volt matematikus széles érdekek és a tudás és az ideális mentor. Kapcsolatuk azonban hamarosan személyesebbé vált, és 1941 decemberében összeházasodtak. A családalapítással kapcsolatos reményeik szertefoszlottak, amikor Julia elvetélt, és egy orvos figyelmeztette, hogy súlyosan sérült szíve miatt a terhesség rendkívül veszélyes lehet. Véleménye szerint valószínűleg negyven éves kora előtt meghal. Annak érdekében, hogy segítsen Juliának legyőzni a mély depressziót, amelybe vetették, Raphael arra ösztönözte, hogy keressen vigaszt a matematikában.
matematikai háttér az 1930-as évek forradalmi fejleményeket tapasztaltak a logika ősi témájában, drasztikusan megváltoztatva az Arisztotelész által létrehozott hagyományos mezőt. Kurt Gödel híres hiányossága tétel volt, rámutatott, hogy az eredendő korlátai a formális rendszerek logika a külvilágtól matematikai gyakorlat. Alonzo Church, Alan Turing és Emil Post, valamint maga G. D. D. D. munkája megmutatta, hogy a konkrét matematikai problémák algoritmikus megoldásainak létezésének kérdése pontos megfogalmazást adhat. Ez megnyitotta annak lehetőségét, hogy bizonyos esetekben ilyen algoritmikus megoldások esetleg nem léteznek, sőt, ilyen esetekben ez bizonyítható. Alfred Tarski elmagyarázta, hogyan kell meghatározni az igazság szemantikai fogalmait és a formális nyelvek meghatározhatóságát. Ezek voltak azok a fejlemények, amelyek Julia Robinson kutatásának összefüggéseit szolgáltatták.
a matematika bármely ága szimbólumokat fog használni az adott tárgyhoz alapvető műveletek és kapcsolatok jelölésére. Az ilyen szimbólumok mellett a modern matematikai logika a
speciális szimbólumokat használja az ismerős = jel mellett. Ezekről a szimbólumokról, valamint a matematika egy adott ágának megfelelő szimbólumokról beszélünk, mint nyelvről. Julia Robinson munkája nagyrészt az aritmetika nyelvének összefüggésében volt, amely a két szimbólumot használja + és az összeadás, illetve a szorzás, valamint a 0 és az 1 szimbólumai. Az ábécé betűit változóként használják, és az aritmetika nyelvének esetében általában úgy értik, hogy az ismerős természetes számok felett változnak 0,1,2 …… így például a “mondat”
kifejezi azt az igaz állítást, hogy két páratlan szám hozzáadása páros számot eredményez. Az (u)(x = u+u+1)> képlet önmagában határozza meg a páratlan számok halmazát, azaz ha x-et egy adott természetes számmal helyettesítjük, akkor a kapott mondat csak akkor lesz igaz, ha ez a szám páratlan. A meghatározhatóság és az algoritmusok létezése alapvető fontosságú volt Robinson munkájában.
egy sor természetes számok S nevezzük kiszámítható (vagy rekurzív), ha van egy algoritmus, amely meg tudja határozni egy adott természetes szám n-e vagy sem n tartozik S. egy sor természetes számok nevezzük listable (a kifejezés által preferált Julia Robinson) vagy rekurzívan felsorolható, ha van egy algoritmus szisztematikusan, hogy egy listát a tagjai S. Minden megoldhatatlansági eredményeket lehet tekinteni, mint következményei a legfontosabb tétel: létezik egy listázható halmaz, amely nem számítható. Ezek a kérdések nagyon fontosak voltak Robinson munkájában is.
Julia Robinson disszertációja a karizmatikus Alfred Tarski, a huszadik század egyik nagy logikusa által vezetett szemináriumon találta meg Robinson M-et. Tarski 1939 augusztusában hagyta el szülőföldjét, Lengyelországot egy rövid utazáson, hogy részt vegyen egy konferencián az Egyesült Államokban, közvetlenül a német invázió Lengyelországba kiváltotta a második világháború. Tarski számos megoldatlan kérdést tett fel a meghatározhatóságról az aritmetika nyelvén, amelyhez Robinson vonzódott. Az 1940-es évekre köztudott volt, hogy nincs algoritmus annak meghatározására, hogy egy adott mondat az aritmetika nyelvén, a természetes számok közötti változókkal igaz-e. Mint mondják, ez algoritmikusan megoldhatatlan probléma. Tarski tudni akarta, hogy ugyanez igaz-e, ha ugyanazon a nyelven a változók megengedettek az összes racionális számra, nem csak a természetes számokra. (A racionális számok azok, amelyek törtekként kifejezhetők m / n vagy-m/n ahol m természetes szám, n pedig nem nulla természetes szám.) Kifejlesztettek olyan technikákat, amelyek “csökkentik” az egyik ilyen “döntési problémát” a másikra. Ebben az esetben megmutatnánk, hogy ha létezne egy algoritmus az igazság tesztelésére az aritmetika nyelvének mondata a változókkal, amelyek a racionális számok között változhatnak, akkor egy ilyen algoritmus felhasználható arra, hogy algoritmust szolgáltasson, hogy ugyanezt tegye, amikor a változók a természetes számok felett mozognak. Tehát, mivel az utóbbira nincs ilyen algoritmus, ebből következik, hogy az előbbire sem lehet ilyen.
Robinson disszertációjának fő eredménye az aritmetika nyelvén kifejezett képlet volt, a változók a racionális számok között változhatnak, amely pontosan meghatározza az egész számok halmazát (vagyis a természetes számok halmazát és negatívjaikat). Ezután következett, hogy a számtani mondat igazságának meghatározásának problémája megoldhatatlan marad, még akkor is, ha a változók a racionális számok felett mozognak. Más megoldhatatlansági eredmények is következtek. Robinson megközelítése bonyolult, elegáns és ötletes volt, néhány meglehetősen mély ötletet használva a számelméletből.
Elegant Characterizations Robinson mindig az eleganciára és az egyszerűségre törekedett matematikai munkájában. Egyik korai tanulmánya megmutatta, hogyan lehet jellemezni, különösen egyszerű módon, az algoritmikusan kiszámítható funkciókat (más néven rekurzív függvények), amelyek magukba térképezik a természetes számokat. Gyönyörű jellemzése két kezdeti funkciót és három műveletet foglal magában az adott funkciók új funkcióinak megszerzéséhez. Az egyik kezdeti függvény csak az S(x)= x+1 utódfüggvény. A másik, amelyet Robinson E-nek hív, egy adott szám és a legnagyobb tökéletes négyzet közötti különbség, amely nem haladja meg azt. (Így E (19) = 19 – 16 = 3 és E(25) = 25 -25 = 0.) A három művelet a következő: (1) Adott F és G függvényből megkapjuk a H(x)=F(G(x)) függvényt; (2) Adott F és G függvényből megkapjuk a H(x)=F(x) + G(x) függvényt; és (3) egy adott F függvényből, amelynek értékei tartalmazzák az összes természetes számot, megkapjuk a H függvényt, ahol H(x) a legkisebb t szám, amelyre F(t)=x.
valóban figyelemre méltó, hogy minden kiszámítható függvény (a természetes számoktól a természetes számokig) a két kezdeti függvénnyel kezdve és e három művelet újra és újra történő alkalmazásával nyerhető.
sokkal később Robinson megmutatta ugyanazt az eleganciát és lelkesedést, amikor új jellemzéseket talált egy olyan tartományra, amely távol áll a kiszámíthatótól. A listázható k halmaz létezését, amely nem kiszámítható, már említettük. Tehát nincs algoritmus a K tagság meghatározására. Figyelembe véve azokat a halmazokat, amelyek algoritmusok által felsorolhatók, amelyek hozzáférnek az ilyen halmazokról szóló tagsági információkhoz (metaforikusan egy “oracle” – en keresztül), további halmazok hozhatók be a hajtásba, és ez a folyamat iterálható. Azáltal, hogy lehetővé teszi, hogy ez az iteráció véges számú alkalommal bekövetkezzen, a kapott halmazok pontosan azok, amelyeket aritmetikusnak hívnak, a halmazok az aritmetika nyelvén meghatározhatók, a természetes számok közötti változókkal. De itt nem kell megállni. Definiálhatunk egy nem aritmetikai halmazt, majd ezt “orákulumként” használhatjuk, hogy még több halmazt felsorolhassunk. Van egy természetes hely, ahol ez a folyamat véget ér, és az így kapott természetes számok halmazát hiperaritmikusnak nevezzük. Ez volt az a ritka Birodalom, amelyre Robinson egyszerű és közvetlen jellemzést adott.
egzisztenciális Meghatározhatóság és Hilbert tizedik problémája a munka, amelyre Julia Robinson leginkább emlékezett, Alfred Tarski látszólag egyszerű problémájából származik. Tarski tudni akarta, hogy a természetes számok mely halmazai határozhatók meg az aritmetika nyelvének képleteivel, ha a szimbólumokat kizárják. Az ilyen halmazokat egzisztenciálisan meghatározhatónak nevezte, és javasolta annak bizonyítását, hogy a halmaz {1,2,4,8,16,….} a 2-es hatalmak egzisztenciálisan nem definiálhatók. Ez pontosan az a fajta probléma, amely Robinsonnak tetszett. Az egzisztenciális meghatározhatóság fogalma könnyen úgy tekinthető, hogy szorosan kapcsolódik olyan problémákhoz, amelyeket a Számelméleti szakemberek tanulmányoznak, ún Diophantine problémák. Ezek általában egy polinom egyenlethez kapcsolódnak p(a,x,y, z, u, v, w,….) = 0 egész együtthatókkal, ahol a egy paraméter,x,y,z,u,v, w,…. “ismeretlenek.”(Emlékezzünk arra, hogy egy ilyen polinom csak az 5a3x2v5 és-7a4x3z6 kifejezések összege.) Az ilyen típusú Diofantikus egyenletek esetében a Számelméleti szakemberek megpróbálják meghatározni, hogy az a paraméter mely természetes számértékei vannak, az egyenletnek természetes számmegoldásai vannak az ismeretlenekben. Most egyszerű standard módszerekkel könnyen belátható, hogy a természetes számok halmaza s egzisztenciálisan meghatározható, ha és csak akkor van ilyen polinom egyenlet, hogy S pontosan annak a paraméternek az értékkészlete, amelyre az egyenletnek természetes számmegoldásai vannak. Ezért az egzisztenciálisan meghatározható halmazokat Diofantinnak is nevezik, és ez a kifejezés a későbbi irodalomban elfogadott.
mivel nem sikerült bizonyítani Tarski sejtését, miszerint a 2-es hatványkészlet nem Diophantine, Robinson elkezdte mérlegelni annak lehetőségét, hogy Tarski tippje téves lehetett. Annak érdekében, hogy bármilyen előrelépést tegyen, fel kellett vállalnia egy bizonyos hipotézist, amely akkor még nem volt bizonyítva, amelyet J. R.-nek hívtak; durván szólva J. R. azt állítja,hogy van egy Diophantine egyenlet két paraméterrel a,b azzal a tulajdonsággal, hogy az (a, b) Párok, amelyekre az egyenletnek megoldásai vannak, olyanok, hogy b exponenciálisan növekszik az a függvényében. Könnyen látható, hogy az összes Diophantine-halmaz felsorolható, de most azon tűnődött, vajon az ellenkezője igaz-e, vajon az összes listázható halmaz Diophantine-e. Tudta, hogy ennek súlyos következményei lesznek.
1900-ban, hogy üdvözölje az új évszázad, a nagy matematikus David Hilbert javasolt egy listát huszonhárom problémák állni, mint egy kihívás. Listájának tizedik része egy algoritmus megadása volt annak meghatározására, hogy egy adott polinom Diophantine egyenletnek vannak-e megoldásai. Ha valóban az összes felsorolható halmaz Diophantine lenne, rájött, akkor különösen nem lenne kiszámítható Diophantine halmaz, ami azt jelenti, hogy nem lehet olyan algoritmus, mint amilyet Hilbert kért. Ez negatív megoldást jelentene Hilbert tizedik problémájára.
1959 nyarán Robinson postán kapott egy Martin Davis és Hilary Putnam által készített papírt. A cikk bizonyítékot tartalmazott arra, hogy J. R. feltételezve, hogy minden felsorolható halmaz valóban Diophantine. A bizonyítéknak azonban fontos hiányossága volt. Azt a tényt használta, hogy önkényesen hosszú prímszámok vannak, azzal a különleges tulajdonsággal, hogy a szekvencia egymást követő tagjai közötti különbség állandó. Bár ez igaz, 1959-ben puszta hipotézis volt, csak 2004-ben bizonyították. Robinson nagyon jól ismerte Davis és Putnam korábbi munkáját, és meglepetését és örömét fejezte ki a teljesítményük miatt. Nagyon rövid sorrendben megmutatta, hogyan kell csinálni a prímszámokkal kapcsolatos extra hipotézis nélkül, sőt a bizonyíték rövid változatát is megtalálta. Tehát Hilbert tizedik problémájának várható negatív megoldásának megszerzéséhez csak J. R.
ezt 1970 januárjában a huszonkét éves Jurij Matijasevics valósította meg a híres Fibonacci-sorozat felhasználásával 1,1,2,3,5,8,13,…. Talált egy Diophantine egyenletet két paraméterrel a, b hogy bizonyítani tudta, hogy van megoldása abban az esetben, ha b a Fibonacci-szám a 2A-ik helyen ebben a sorrendben. Mivel a Fibonacci-számok exponenciálisan nőnek, ez bizonyítja, hogy J. R. Robinson örült Matiyasevich zseniális bizonyítékának, és Leningrádba utazott, ahol családjaik találkoztak. Együttműködésük gyümölcsöző volt; együtt meg tudták mutatni, hogy Hilbert tizedik problémája 13 ismeretlen egyenlete esetén is megoldhatatlan. (Később Matiyasevich 9-re tudta csökkenteni a számot.)
Coda a Kaliforniai Egyetemen hatályos” nepotizmus ” szabályok lehetetlenné tették volna Robinson rendszeres Kari kinevezését, amíg férje a karon volt. Mindenesetre lehet, hogy az egészségügyi problémái kizárták volna a teljes munkaidős állást. Időnként adjunktusként tanított egy kurzust, és de facto tanácsadója volt két kiváló doktorandusznak, Leonard Adlemannek és Kenneth Mandersnek. Robinson dacolt az orvos jóslatával, miszerint nem él negyvenet, de negyvenegyedik születésnapjára sérült szíve közel hozta Az érvénytelen állapothoz. Megmentették egy olyan műtéti eljárással, amely csak a közelmúltban vált elérhetővé, és amely jelentősen javította helyzetét, lehetővé téve számára, hogy további huszonöt évig aktív életet éljen.
kiemelkedő munkáját elismerte, hogy 1975-ben megválasztották a Nemzeti Tudományos Akadémiára, az első nő, akit megválasztottak a matematika szekcióba. Ugyanebben az évben végül professzori kinevezést ajánlottak fel neki a Berkeley-i Kaliforniai Egyetemen.
kérésére negyedidős kinevezés volt. A MacArthur ösztöndíj 1983-ban jött létre. Ő volt elnökévé választották az American Mathematical Society 1983-1984, az első nő, hogy tartsa ezt a hivatalt. Tragikus módon nem tudta befejezni a megbízatását. 1984 nyarán kiderült, hogy leukémiában szenved. Rövid remisszió után Julia Robinson 30 július 1985-én halt meg a betegségben.
bibliográfia
Robinson művei
“Meghatározhatóság és döntési problémák az aritmetikában.”Szimbolikus logika lapja 14 (1949): 98-114. Ez volt Robinson disszertációja. “Általános Rekurzív Függvények.”Proceedings of the American Mathematical Society 1 (1950): 703-718. A fent leírt egyik argumentum kiszámítható funkcióinak jellemzése mellett sok más érdekes eredményt is tárgyalunk ebben a cikkben. “Egzisztenciális Meghatározhatóság az aritmetikában.”Tranzakciók az American Mathematical Society 72 (1952): 437-449. Egy alapvető papír, amelyben mi jött, hogy az úgynevezett J. R. kimutatták, hogy magában foglalja az egzisztenciális meghatározhatóságát hatáskörök 2, a prímek, és valójában, a teljes exponenciális függvény.
Martin Davisszel és Hilary Putnammal.”Az exponenciális Diophantine egyenletek döntési problémája.”A matematika évkönyvei 74 (1961): 425-436. Ebben a tanulmányban bebizonyosodott, hogy J. R. magában foglalja Hilbert tizedik problémájának megoldhatatlanságát. “Bevezetés a Hiperaritmetikai funkciókba.”A szimbolikus logika folyóirata 32 (1967): 325-342. Ez volt Robinson egyetlen kirándulása a nagyon kiszámíthatatlanhoz.
Jurij Matijasevicskel. “Egy tetszőleges Diophantine egyenlet redukciója 13 ismeretlenre.”Acta Arithmetica 27 (1975): 521-553. Virtuóz Számelmélet! Martin Davisszel és Jurij Matijaszevicsszel. “Hilbert tizedik problémája. Diophantine egyenletek: a negatív megoldás pozitív aspektusai.”A Hilbert-problémákból eredő matematikai fejleményekben, szerkesztette Felix Browder. Providence, RI: Amerikai Matematikai Társaság, 1976.
a tiszta matematika Szimpóziumainak folyóirata 28 (1976): 323-378. A felmérés a bizonyíték a megoldhatatlanság Hilbert tizedik probléma, valamint a matematikai fejlemények eredő belőle három a négy matematikusok, akiknek a munkája vezetett, hogy a bizonyíték.
Julia Robinson Összegyűjtött művei. Szerkesztette: Solomon
Feferman. Providence, RI: Amerikai Matematikai Társaság, 1996. Robinson mind a huszonöt kiadványát itt teljes egészében újranyomtatják. Ezen kívül van egy finom életrajzi esszé róla, amelyet Feferman írt a Nemzeti Tudományos Akadémia számára.
egyéb források
Davis, Martin. “Hilbert tizedik problémája megoldhatatlan.”
American Mathematical Monthly 80 (1973): 233-269; újranyomtatva függelékként a kiszámíthatóság és Megoldhatatlanság, szerkesztette Martin Davis. New York: Dover, 1983. Steele-díjas esszé, amely teljes bizonyítékot nyújt Hilbert tizedik problémájának megoldhatatlanságára. A doveri újranyomás az egyik első könyvhosszúságú kezelés számítási elmélet.
—, és Reuben Hersh. “Hilbert tizedik problémája.”
Scientific American 229 (1973.November): 84-91. Újra nyomtatva a Chauvenet Papers, Vol. 2, szerkesztette J. C. Abbott. Washington, DC: Amerikai Matematikai Egyesület, 1978. A Chauvenet-díjas cikket szánt általános művelt közönség.
Matijaszevics, Jurij. “Az együttműködésem Julia Robinsonnal.”
A Matematikai Intelligencia 14 (1992): 38-45. Az ő története, hogy egy fiatal orosz és egy sokkal idősebb amerikai nő jött, hogy készítsen elegáns matematika együtt.
———. Hilbert tizedik problémája. Cambridge, MA: MIT Press,
1993. Kiváló bevezetés és felmérés alkalmas egyetemi matematika szakon, egy nagyon befogadó bibliográfia.
Reid, Constance. Julia, egy élet a matematikában. Washington, DC:
Amerikai Matematikai Egyesület, 1996. Robinson nővére által készített fényképek, Reid hasznos életrajza, “Julia Robinson önéletrajza” címmel, valamint Martin Davis rövid megjegyzése Hilary Putnammal végzett munkájáról.
Martin Davis
