- Obiettivi di Apprendimento
- Energia Cinetica
- Esempio
- Energia cinetica di un oggetto
- Strategia
- Soluzione
- Significato
- Controlla la tua comprensione
- Esempio
- Energia cinetica relativa a diversi telai
- Strategia
- Soluzione
- Significato
- Controlla la tua comprensione
- Esempio
- Nomi speciali per l’energia cinetica
- Strategia
- Soluzione
- Significato
- Sommario
- Domande concettuali
- Problemi
- Glossario
Obiettivi di Apprendimento
alla fine di questa sezione, si sarà in grado di:
- Calcolare l’energia cinetica di una particella, data la sua massa e la sua velocità o slancio
- Valutare l’energia cinetica di un corpo, relativi alle diverse strutture di riferimento
È plausibile supporre che maggiore è la velocità di un corpo, maggiore è l’effetto che potrebbe avere su altri corpi. Questo non dipende dalla direzione della velocità, solo dalla sua grandezza. Alla fine del XVII secolo, una quantità è stata introdotta nella meccanica per spiegare le collisioni tra due corpi perfettamente elastici, in cui un corpo fa una collisione frontale con un corpo identico a riposo. Il primo corpo si ferma e il secondo corpo si sposta con la velocità iniziale del primo corpo. (Se avete mai giocato a biliardo o croquet, o visto un modello della culla di Newton, avete osservato questo tipo di collisione.) L’idea alla base di questa quantità era legata alle forze che agiscono su un corpo e veniva chiamata ” l’energia del movimento.”Più tardi, durante il XVIII secolo, il nome di energia cinetica fu dato all’energia del movimento.
Con questa storia in mente, possiamo ora affermare la definizione classica di energia cinetica. Si noti che quando diciamo “classico”, intendiamo non relativistico, cioè a velocità molto inferiori alla velocità della luce. A velocità paragonabili alla velocità della luce, la teoria speciale della relatività richiede un’espressione diversa per l’energia cinetica di una particella, come discusso in Relatività nel terzo volume di questo testo.
Dato che gli oggetti (o sistemi) di interesse variano in complessità, dobbiamo prima definire l’energia cinetica di una particella di massa m.
Energia Cinetica
L’energia cinetica di una particella è la metà del prodotto della particella di massa m e il quadrato della sua velocità v:
Estendiamo quindi questa definizione a qualsiasi sistema di particelle sommando le energie cinetiche di tutte le particelle costituenti:
Nota che, come possiamo esprimere la seconda legge di Newton in termini di tasso di variazione della quantità di moto o di massa volte il tasso di variazione della velocità, quindi l’energia cinetica di una particella può essere espressa in termini di massa e quantità di moto (\overset{\a }{p}=m\overset{\a }{v}), invece che la sua massa e della velocità. Poiché v = p \ text { / } m, vediamo che
esprime anche l’energia cinetica di una singola particella. A volte, questa espressione è più comoda da usare rispetto a (Figura).
Le unità di energia cinetica sono massa per il quadrato della velocità, o \text{kg}·{\text{m}}^{2}{\text{/s}}^{2} . Ma le unità di forza sono massa per accelerazione, \ text {kg· * {\text {m / s}}^{2}, quindi le unità di energia cinetica sono anche le unità di forza per distanza, che sono le unità di lavoro, o joule. Vedrai nella prossima sezione che il lavoro e l’energia cinetica hanno le stesse unità, perché sono forme diverse della stessa proprietà fisica, più generale.
Esempio
Energia cinetica di un oggetto
(a) Qual è l’energia cinetica di un atleta di 80 kg, che corre a 10 m/s? (b) Il cratere Chicxulub nello Yucatan, uno dei più grandi crateri da impatto esistenti sulla Terra, si pensa sia stato creato da un asteroide, viaggiando a
22 km/s e rilasciando 4.2\,×\,{10}^{23}\,\testo {J} di energia cinetica al momento dell’impatto. Qual era la sua massa? (c) Nei reattori nucleari, i neutroni termici, che viaggiano a circa 2,2 km/s, svolgono un ruolo importante. Qual è l’energia cinetica di una tale particella?
Strategia
Per rispondere a queste domande, è possibile utilizzare la definizione di energia cinetica in (Figura). Devi anche cercare la massa di un neutrone.
Soluzione
Non dimenticare di convertire km in m per fare questi calcoli, anche se, per risparmiare spazio, abbiamo omesso di mostrare queste conversioni.
- K= \ frac{1}{2}(80\,\testo{kg}) (10\, {\testo {m / s})}^{2}=4.0\,\testo{kJ} \ testo{.}
- m=2K\text{/}{v}^{2}=2(4.2\,×\,{10}^{23}\text{J})\text{/}{(22\,\text{km/s})}^{2}=1.7\,×\,{10}^{15}\,\text{kg}\text{.}
- K = \ frac{1}{2} (1.68\,×\,{10}^{-27}\,\testo {kg}) {(2.2\, \ testo{km / s})}^{2}=4.1\,×\,{10}^{-21}\,\testo{J}\testo{.}
Significato
In questo esempio, abbiamo usato il modo in cui massa e velocità sono correlate all’energia cinetica, e abbiamo incontrato una gamma molto ampia di valori per le energie cinetiche. Le unità differenti sono comunemente usate per tali valori molto grandi e molto piccoli. L’energia del dispositivo di simulazione nella parte (b) può essere paragonata alla resa esplosiva di TNT e esplosioni nucleari, 1\, \ text {megaton}=4.18\,×\,{10}^{15}\,\testo{J}\testo{. L’energia cinetica dell’asteroide Chicxulub era di circa cento milioni di megatoni . All’altro estremo, l’energia della particella subatomica è espressa in elettron-volt, 1\, \ text {eV}=1.6\,×\,{10}^{-19}\,\testo{J}\testo{.} Il neutrone termico nella parte (c) ha un’energia cinetica di circa un quarantesimo di elettron-volt.
Controlla la tua comprensione
(a) Un’auto e un camion si muovono ciascuno con la stessa energia cinetica. Supponiamo che il camion abbia più massa della macchina. Quale ha la maggiore velocità? (b) Un’auto e un camion si muovono ciascuno con la stessa velocità. Quale ha la maggiore energia cinetica?
Poiché la velocità è una quantità relativa, puoi vedere che il valore dell’energia cinetica deve dipendere dal tuo quadro di riferimento. In genere è possibile scegliere un quadro di riferimento adatto allo scopo dell’analisi e che semplifica i calcoli. Uno di questi frame di riferimento è quello in cui vengono effettuate le osservazioni del sistema (probabilmente un frame esterno). Un’altra scelta è un frame che è collegato o si muove con il sistema (probabilmente un frame interno). Le equazioni per il moto relativo, discusse in Moto in due e tre Dimensioni, forniscono un collegamento al calcolo dell’energia cinetica di un oggetto rispetto a diversi quadri di riferimento.
Esempio
Energia cinetica relativa a diversi telai
Una persona di 75,0 kg cammina lungo la navata centrale di un vagone della metropolitana ad una velocità di 1,50 m/s rispetto all’auto, mentre il treno si muove a 15,0 m/s rispetto ai binari. (a) Qual è l’energia cinetica della persona rispetto all’automobile? (b) Qual è l’energia cinetica della persona rispetto ai binari? (c) Qual è l’energia cinetica della persona rispetto a un telaio che si muove con la persona?
Strategia
Poiché le velocità sono date, possiamo usare \frac{1}{2}m{v}^{2} per calcolare l’energia cinetica della persona. Tuttavia, in parte (a), la velocità della persona è relativa al vagone della metropolitana (come dato); in parte (b), è relativa ai binari; e in parte (c), è zero. Se indichiamo il telaio dell’auto per C, il telaio della traccia per T e la persona per P, le velocità relative nella parte (b) sono correlate da {\overset{\to }{v}}_{\text{PT}}={\overset{\to }{v}}_{\text{PC}}+{\overset{\to }{v}}_{\text{CT}}. Possiamo supporre che il corridoio centrale e le tracce si trovino lungo la stessa linea, ma la direzione in cui la persona sta camminando rispetto all’auto non è specificata, quindi daremo una risposta per ogni possibilità, {v}_{\text{PT}}={v}_{\text{CT}}±{v}_{\text{PC}} , come mostrato in (Figura).
Figura 7.10 I possibili movimenti di una persona che cammina in un treno (a) verso la parte anteriore della vettura e (b) verso la parte posteriore della vettura.
Soluzione
- K= \ frac{1}{2}(75.0\,\testo{kg}) (1.50\, {\testo {m / s})}^{2}=84.4\,\testo{J}\testo{.}
- {v}_{\text {PT}}=(15.0±1.50)\,\testo{m / s} \ testo{.} Quindi, i due possibili valori di energia cinetica relativa all’automobile sono
K=\frac{1}{2}(75.0\,\text{kg})(13.5\,{\text{m/s})}^{2}=6.83\,\text{kJ}
e
K=\frac{1}{2}(75.0\,\text{kg})(16.5\,{\text{m/s})}^{2}=10.2\,\text{kJ}\text{.} - In una cornice dove {v}_{\text {P}}=0, K = 0 pure.
Significato
Si può vedere che l’energia cinetica di un oggetto può avere valori molto diversi, a seconda del quadro di riferimento. Tuttavia, l’energia cinetica di un oggetto non può mai essere negativa, poiché è il prodotto della massa e del quadrato della velocità, entrambi i quali sono sempre positivi o zero.
Controlla la tua comprensione
Stai remando una barca parallela alle rive di un fiume. La tua energia cinetica rispetto alle banche è inferiore alla tua energia cinetica rispetto all’acqua. Stai remando con o contro corrente?
L’energia cinetica di una particella è una singola quantità, ma l’energia cinetica di un sistema di particelle può talvolta essere divisa in vari tipi, a seconda del sistema e del suo movimento. Ad esempio, se tutte le particelle in un sistema hanno la stessa velocità, il sistema sta subendo un movimento traslazionale e ha energia cinetica traslazionale. Se un oggetto ruota, potrebbe avere energia cinetica rotazionale, o se vibra, potrebbe avere energia cinetica vibrazionale. L’energia cinetica di un sistema, relativa a un quadro di riferimento interno, può essere chiamata energia cinetica interna. L’energia cinetica associata al movimento molecolare casuale può essere chiamata energia termica. Questi nomi saranno utilizzati nei capitoli successivi del libro, quando appropriato. Indipendentemente dal nome, ogni tipo di energia cinetica è la stessa quantità fisica, che rappresenta l’energia associata al movimento.
Esempio
Nomi speciali per l’energia cinetica
(a) Un giocatore lancia un passaggio a metà campo con una pallacanestro da 624 g, che copre 15 m in 2 s. Qual è l’energia cinetica traslazionale orizzontale del basket mentre è in volo? (b) Una molecola media di aria, nella pallacanestro in parte (a), ha una massa di 29 u e una velocità media di 500 m/s, rispetto alla pallacanestro. Ci sono circa 3\,×\,{10}^{23} molecole al suo interno, muovendosi in direzioni casuali, quando la palla è gonfiata correttamente. Qual è l’energia cinetica traslazionale media del movimento casuale di tutte le molecole all’interno, rispetto al basket? (c) Quanto velocemente dovrebbe viaggiare il basket rispetto al campo, come nella parte (a), in modo da avere un’energia cinetica pari alla quantità nella parte (b)?
Strategia
Nella parte (a), prima trova la velocità orizzontale del basket e quindi usa la definizione di energia cinetica in termini di massa e velocità, K=\frac{1}{2}m{v}^{2} . Quindi, nella parte (b), convertire le unità unificate in chilogrammi e quindi utilizzare K=\frac{1}{2}m{v}^{2} per ottenere l’energia cinetica traslazionale media di una molecola, relativa al basket. Quindi moltiplicare per il numero di molecole per ottenere il risultato totale. Infine, nella parte (c), siamo in grado di sostituire la quantità di energia cinetica in parte (b), e la massa di basket in (a), nella definizione K=\frac{1}{2}m{v}^{2} , e risolvere per v.
Soluzione
- La velocità orizzontale (15 m)/(2 s), in modo orizzontale energia cinetica del basket è
\frac{1}{2}(0.624\,\text{kg}){(7.5\,\text{m/s})}^{2}=17.6\,\text{J}\text{.}
- L’energia cinetica traslazionale media di una molecola è
\frac{1}{2}(29\,\testo{u})(1.66\,×\,{10}^{-27}\,\testo{kg / u}) {(500\, \ testo{m / s})}^{2}=6.02\,×\,{10}^{-21}\,\testo{J,}
e l’energia cinetica totale di tutte le molecole è
(3\,×\,{10}^{23})(6.02\,×\,{10}^{-21}\,\testo{J})=1.80\, \ testo{kJ} \ testo{.} - v = \ sqrt{2 (1.8\,\text{kJ})\text{/}(0.624\, \ text{kg})} = 76.0\, \ text{m/s} \ text{.}
Significato
Nella parte (a), questo tipo di energia cinetica può essere chiamato l’energia cinetica orizzontale di un oggetto (il basket), rispetto ai suoi dintorni (il campo). Se il basket girasse, tutte le parti di esso non avrebbero solo la velocità media, ma avrebbero anche energia cinetica rotazionale. La parte (b) ci ricorda che questo tipo di energia cinetica può essere chiamata energia cinetica interna o termica. Si noti che questa energia è circa cento volte l’energia nella parte (a). Come utilizzare l’energia termica sarà oggetto dei capitoli sulla termodinamica. Nella parte (c), poiché l’energia nella parte (b) è circa 100 volte quella nella parte (a), la velocità dovrebbe essere circa 10 volte più grande, che è (76 rispetto a 7,5 m/s).
Sommario
- L’energia cinetica di una particella è il prodotto di metà della sua massa e del quadrato della sua velocità, per velocità non relativistiche.
- L’energia cinetica di un sistema è la somma delle energie cinetiche di tutte le particelle nel sistema.
- L’energia cinetica è relativa a un quadro di riferimento, è sempre positiva e talvolta viene data nomi speciali per diversi tipi di movimento.
Domande concettuali
Una particella di m ha una velocità di {v}_{x} \ hat {i}+{v} _ {y} \ hat {j} + {v}_{z}\hat{k}. La sua energia cinetica è data da m ({v}_{x} {}^{2}\hat {i}+{v}_{y} {}^{2}\hat{j}+{v}_{z} {}^{2}\hat{k} \ text{)/2?} In caso contrario, qual è l’espressione corretta?
Una particella ha massa m e una seconda particella ha massa 2m. La seconda particella si muove con velocità v e la prima con velocità 2v. Come si confrontano le loro energie cinetiche?
Una persona scende un sasso di massa {m}_{1} a partire da un’altezza h, e colpisce il pavimento con energia cinetica K. La persona di gocce di un altro ciottolo di massa {m}_{2} da un’altezza di 2h, e colpisce il pavimento con la stessa energia cinetica K. Come le masse dei ciottoli confrontare?
Problemi
Confrontare l’energia cinetica di un’area di 20.000 kg camion in movimento a 110 km/h con un 80.0 kg astronauta in orbita in movimento al di 27.500 km/h.
(a) Quanto deve 3000 kg elefante spostare per avere la stessa energia cinetica di un 65.0-kg sprinter in esecuzione a 10.0 m/s? (b) Discutere in che modo le energie più grandi necessarie per il movimento di animali più grandi sarebbero correlate ai tassi metabolici.
Stimare l’energia cinetica di una portaerei da 90.000 tonnellate che si muove ad una velocità di 30 nodi. Dovrai cercare la definizione di un miglio nautico da utilizzare per convertire l’unità per la velocità, dove 1 nodo equivale a 1 miglio nautico all’ora.
Calcola le energie cinetiche di (a) un’automobile da 2000,0 kg che si muove a 100,0 km/h; (b) un 80.- corridore kg sprint a 10. m/ s; e c) a 9.1\,×\,{10}^{-31}\,\testo {- kg} elettrone in movimento a 2.0\,×\,{10}^{7}\,\testo{m / s} \ testo{.}
Un corpo di 5,0 kg ha tre volte l’energia cinetica di un corpo di 8,0 kg. Calcola il rapporto tra le velocità di questi corpi.
Un proiettile da 8,0 g ha una velocità di 800 m / s. (a) Qual è la sua energia cinetica? (b) Qual è la sua energia cinetica se la velocità è dimezzata?
Glossario
energia cinetica energia del moto, metà della massa di un oggetto per il quadrato della sua velocità
