(fl. Cina, ca, a. d.250)
matematica.
Non si sa nulla della vita di Liu Hui, tranne che fiorì nel regno di Wei verso la fine del periodo dei Tre Regni (d.c. 221-265). I suoi scritti matematici, d’altra parte, sono ben noti; il suo commento sul Chiu-chang suan-shu (“Nove capitoli sull’arte matematica”) ha esercitato una profonda influenza sulla matematica cinese per oltre 1.000 anni. Ha scritto un altro importante, ma molto più breve, lavoro: il Hai-tao suan-ching (“Sea Island Mathematical Manual”).
Alcuni studiosi ritengono che la Chiu chang suan-shu, chiamato anche Chiu chang suan-ching(“Manuale di Matematica in Nove Capitoli”), era già in esistenza in Cina durante il terzo secolo a.c Ch ien Paotsung, nel suo Chung-kuo suan-hsüeh-shih, e Chang Yin-lin (Yenching Hsüeh Pao, 2 , 301) hanno notato che i titoli di alcuni funzionari di cui ai problemi data da ch’in e precedenti (terzo e l’inizio del secondo secolo b.c.). Ci sono anche riferimenti che devono indicare un sistema di tassazione del 203 a. C. Secondo la prefazione di Liu Hui, il libro fu bruciato durante il tempo dell’imperatore Ch’in Shih-huang (221-209 a.C.); ma i resti di esso furono successivamente recuperati e messi in ordine. Nei due secoli successivi, commenti su questo libro sono stati scritti da Chang Ts’ang (fl. 165-142 a. C.) e Keng Shou-ch’ang (fl. 75-49 a.C.). In uno studio di Ch’ien Pao-tsung (1963) si suggerisce, da prove testuali interne, che il Chiu-chang suan-shu sia stato scritto tra il 50 a.C. e il 100 d.C. e che è dubbio che Chang Ts’ang e Keng Shou-ch’ang abbiano qualcosa a che fare con il libro. Eppure Li Yen e Tu Shih-jan, entrambi colleghi di Ch’ien Pao-tsung, credevano ancora nella prefazione di Liu Hui quando scrissero del Chiu-chang suan-shu nello stesso anno.
Durante il settimo secolo sia il Chiu-chang suan-shu che il Hai-tao suan-ching (263 d.c.) furono inclusi nel Suan-ching shih-shu (“Dieci manuali matematici”, 656 d.c.), a cui il matematico e astronomo T’ang Li Shun-feng (602-670) aggiunse le sue annotazioni e commenti. Questi lavori divennero poi testi standard per gli studenti di matematica; i regolamenti ufficiali prescrivevano che tre anni fossero dedicati alle opere di Liu Hui. Opere di Liu Hui anche trovato la loro strada in Giappone con questi manuali matematici. Quando le scuole sono state stabilite in Giappone nel 702 e la matematica è stata insegnata, sia il Chiu-chang suan-shu e la Hai-tao suan-ching sono stati tra i testi prescritti.
Secondo il trattato matematico di Ch’eng Ta-wei, il Suan-fa t’ung-tsung (“Trattato sistematico di aritmetica”; 1592), sia il Chiu-chang suan-shu che il Hai-tao suan-ching furono stampati ufficialmente nel 1084. C’era un’altra versione stampata di loro da Pao Huan-chih nel 1213. All’inizio del XV secolo furono inclusi, anche se notevolmente riorganizzati, nella vasta enciclopedia Ming, lo Yung-lo ta-tien (1403-1407). Nella seconda parte del XVIII secolo Tai Chen (1724-1777) ricostruì questi due testi dopo averli estratti a pezzi dallo Yung-lo to-tilen. Furono successivamente inclusi da K’ung Chi-han (1739-1787) nel suo Wei-po-hesieh ts’ung-shu (1773). Tre anni dopo ch’u Tseng-fa li stampò separatamente con prefazione di Tai Chen.
Altre riproduzioni basate sulla ricostruzione di Tai Chen nel Wei-po-hsieh ts’ung-shu si trovano nel Suan-ching shih-shu (“Dieci manuali matematici”) di Mei Ch’i-chao (1862 e nella serie Wan-yu-wen-K’u (1929-1933) e Ssu-pu ts’ung-k’an (1920-1922; entrambi della Commercial Press, Shanghai). Due studiosi del diciannovesimo secolo, Chung Hsiang e Li Huang, scoprirono che alcuni passaggi del testo erano stati resi incomprensibili dal tentativo di Tai Chen di migliorare il testo originale del Chiu-chang suan-shu. Un frammento della prima edizione del XIII secolo del Chiu-chang suan-shu. composto da soli cinque capitoli, è stato trovato durante il XVII secolo a Nanchino, nella biblioteca privata di Huang Yü-chi (1629-1691). Questa copia fu vista dal famoso studioso Ch’ing Mei Wen-ting (1633-1721) nel 1678, e in seguito entrò in possesso di K’ung Chi-han (1739-1784) e poi di Chang Tun-jen (1754-1834); infine fu acquistata dalla Biblioteca di Shanghai, dove ora è conservata. Nel 1684, Mao I (1640-dopo il 1710) fece una copia manoscritta del testo originale trovato nella biblioteca di Huang Yü-chi. Questa copia fu in seguito acquistata dall’imperatore durante il regno di Ch’ien-lung (1736-1795). Nel 1932 fu riprodotto nella serie T’ien-lu-lin-lang ts’ung-shu.
Nel 1261 Yang Hui scrisse l’Hsiang-csieh chiu-chang suan-fa (“Analisi dettagliata delle regole matematiche nei Nove capitoli”) per chiarire i problemi nel Chiu-chang suan-shu. Nel 1963, Ch’ien Pao-tsung raccolse il testo del Chiu-chang suan-shu dalla versione di Tai Chen, i frammenti della tarda edizione Sung riprodotti nella serie T’ien-lu-lin-lang ts’ung-shu e l’Hsiang-chieh chiu-chang suan-fa di Yang Hui.
Per quanto riguarda l’Hai-tao suan-ching, rimane solo la versione ricostruita da Tai Chen. Fu riprodotto nell’edizione del palazzo di Wu-ying-tien (prima del 1794), nei “Dieci manuali matematici” del Wei-po-hsieh ts’ung-shu di K’ung Chi-han e nell’appendice del Chiu-chang suan-shu di Chü Tseng-fa.
Il Chiu-chang suan-shu era inteso come un manuale pratico, una sorta di aiutante-mémoire per architetti, ingegneri, funzionari e commercianti. Questa è la ragione per la presenza di tanti problemi sulla costruzione di canali e dighe, mura della città, tassazione, baratto, servizi pubblici, ecc. Si compone di nove capitoli, con un totale di 246 problemi. I capitoli possono essere descritti come segue:
(1) Fang-t’ien (“Rilevamento del terreno”) contiene le regole per trovare le aree di triangoli, trapezi, rettangoli, cerchi, settori di cerchi e annuli. Fornisce regole per addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione delle frazioni. Esiste una formula interessante ma Imprecisa per l’area del segmento di a in cui sono noti l’accordo c e la sagitta s, nella forma s(c + s)/2. Questa espressione apparve più tardi nel IX secolo nel Ganitasārasangraha di Mahāvīra.
Di particolare interesse è il valore del rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro utilizzato da Liu Hui. Il valore antico di π usato in Cina era 3, ma dal primo secolo i matematici cinesi erano alla ricerca di un valore più accurato. Liu Hsin (d. a.d. 23) usato 3.1547, mentre Chang Hen (78-139) ha dato √10 e 92/29. Wang Fan (219-257) trovato 142/45, e poi Liu Hui ha dato 3.14. I nomi più importanti in questo contesto sono, tuttavia, quelli di Tsu Ch’ung-chih (430-501), un brillante matematico, astronomo e ingegnere delle dinastie Liu Sung e Ch’i, e suo figlio, Tsu Cheng-chih. Tsu Ch’ung-chih ha dato due valori per π prima uno “impreciso” (yo lü), uguale a 22/7, dato in precedenza da Archimede, e poi uno “più accurato” ((mi lu)), 355/113 (3.1415929). Ha anche cercato ulteriori approssimazioni e ha scoperto che π si trova tra 3.1415926 e 3.1415927. Il suo metodo è stato probabilmente descritto nel Chui Shu, che lui e suo figlio ha scritto, ma è ora perduto. Il valore di Tsu Ch’ung-chih di 355/113 per π è scomparso per molti secoli in Cina fino a quando non è stato nuovamente ripreso da Chao Yu-ch’in ((fl, ca. 1300)). Liu Hui ha ottenuto il valore preciso 3.14 prendendo il rapporto tra il perimetro di un poligono regolare di novantasei lati e il diametro di un cerchio che racchiude questo poligono. Iniziamo con un esagono regolare del lato L6. Il rapporto tra il perimetro dell’esagono e il diametro del cerchio che lo racchiude è 3. Se vogliamo cambiare l’esagono di un poligono regolare di dodici lati, come mostrato in Figura 1—considerato che la L6 = r, il raggio del cerchio circoscritto—poi il lato di dodici lati del poligono è dato da
Quindi, se Lnis noto, quindi L2n può essere trovato dall’espressione
Assumendo r = 1, i seguenti valori possono essere trovati: L6 = 1; L12 = 0.517638; L24 = 0.261052; L48 = 0.130806; L96 = 0.065438.
Il perimetro di un poligono regolare di n = 96 e r = 1 è 96 × 0,065438 = 6,282048. Quindi π = 6.282048/2 = 3.141024, o circa 3.14. Liu Hui ha anche usato un poligono di 3.072 lati e ha ottenuto il suo valore migliore, 3.14159.
(2)Su-mi (“Miglio e riso”) si occupa di percentuali e proporzioni. Equazioni indeterminate sono evitati negli ultimi nove problemi in questo capitolo con l’uso di proporzioni.
(3)Ts’ui-fen(“Distribuzione per progressione”) riguarda la distribuzione delle proprietà tra i partner in base a determinate tariffe. Include anche problemi nella tassazione di beni di diverse qualità, e altri in progressioni aritmetiche e geometriche, tutti risolti con l’uso delle proporzioni.
(4)Shao-kuang (“Ampiezza decrescente”) consiste nel trovare i lati di un rettangolo quando l’area e uno dei lati sono dati, la circonferenza di un cerchio
quando la sua area è nota, il lato di un cubo dato il suo volume e il diametro di una sfera di volume noto. Viene mostrato l’uso del multiplo meno comune nelle frazioni. È interessante notare che le frazioni unitarie sono utilizzate, ad esempio, nel problema 11 in questo capitolo. La larghezza data di una forma rettangolare è espressa come
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
I problemi in questo capitoloporta anche all’estrazione di radici quadrate e radici cubiche; il problema 13, ad esempio, comporta la ricerca della radice quadrata di 25.281. Secondo il metodo indicato nel Chiu-chang suan-shu, questo numero, noto come shih (dividendo), viene posizionato per la prima volta nella seconda fila dalla parte superiore del tabellone di conteggio. Successivamente, un’asta di conteggio, chiamata preliminare chieh-suan, viene posta sulla riga inferiore della scheda di conteggio nella colonna della cifra più lontana a destra. Questa asta viene spostata a sinistra, due posti alla volta, per quanto possa andare senza superare la cifra più lontana a sinistra del numero nella riga shih. Con il suo nuovo valore di posto questa canna è chiamata chieh-sucn. È mostrato nella Figura 2a.
La prima figura della radice si trova tra 100 e 200. Quindi 1 viene preso come prima figura della radice e viene posizionato nella riga superiore nella colonna centinaia. La riga superiore è chiamata fang. Il chieh-suan viene moltiplicato per la prima figura della radice. Il prodotto, chiamato fa, è posto nella terza fila. Lo shih (25.281) meno il fa (10.000) lascia il “primo resto” (15.281), che è scritto sulla seconda riga, come mostrato in Figura 2b. Dopo la divisione è stata fatta, il fa è raddoppiato per formare il ting-fa. Questo viene spostato di una cifra a destra, mentre il chieh-suan viene spostato di due cifre a destra, come mostrato nella Figura 2c.
La seconda figura, selezionata per tentativi ed errori, si trova tra 5 e 6. La cifra delle decine è quindi presa come 5 e sarà posizionata nella sua posizione appropriata sulla riga superiore della figura 2e. Il chieh-suan (che ora è 100) viene moltiplicato per questa seconda cifra e il prodotto viene aggiunto al ting-fa, che diventa 2.500. Il ting-fa moltiplicato per 5 viene sottratto dal primo resto, che dà un resto di 2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), come mostrato in Figura 2d. Il ting-fa è poi spostato di una cifra a destra e il chieh-suan due posti (vedi Figura 2e). La terza cifra, sempre selezionata per tentativi ed errori, risulta essere 9. Questa cifra unitaria è posizionata nella posizione appropriata sulla riga superiore. Il Chieh-suan, che ora è 1, viene moltiplicato per questa terza cifra e il prodotto viene aggiunto al ting-fa, che diventa 259. Il secondo resto è diviso per il ting-fa, che lascia un resto di zero (2,781 ÷ 259 = 9 +0). Quindi la risposta è 159 (vedi Figura 2f).
(5) Shang-kung (“Consultazioni sui lavori di ingegneria”) fornisce i volumi di tali figure solide come il prisma, la piramide, il tetraedro, il cuneo, il cilindro, il cono e il tronco di un cono:
(a) Volume del prisma quadrato = quadrato del lato della base volte altezza.
(b) Volume del cilindro =1/12 quadrato di circonferenza del cerchio volte altezza (dove π è preso per essere circa 3).
(c) Volume della piramide quadrata troncata = 1/3 l’altezza per la somma dei quadrati dei lati dei quadrati superiori e inferiori e del prodotto dei lati dei quadrati superiori e inferiori.
(d) Volume della piramide quadrata = 1/3 l’altezza per il quadrato del lato della base.
(e) Volume del tronco di un cono circolare = 1/36 l’altezza per la somma dei quadrati delle circonferenze delle facce circolari superiore e inferiore e del prodotto di queste due circonferenze (dove π è considerato approssimativamente 3).
(f) Volume del cono circolare = 1/36 l’altezza per il quadrato della circonferenza della base (dove π è preso per essere circa 3).
(g) Volume di un prisma triangolare destro = 1/2 il prodotto della larghezza, della lunghezza e dell’altezza.
(h) Volume di una piramide rettangolare = 1/3 il prodotto della larghezza e della lunghezza della base e dell’altezza.
i) Volume di tetraedro con due bordi opposti perpendicolari tra loro = 1/6 il prodotto dei due bordi opposti perpendicolari e della perpendicolare comune a questi due bordi.
(6) Chün-shu(“Tassazione imparziale”) riguarda problemi di ricerca e alligazione, specialmente in relazione al tempo necessario ai contribuenti per ottenere i loro contributi di grano dalle loro città native alla capitale. Si occupa anche di problemi di rapporti in relazione alla ripartizione degli oneri fiscali in base alla popolazione. Il problema 12 in questo capitolo dice:
Un buon corridore può andare 100 passi mentre un cattivo corridore va 60 passi. Il cattivo corridore ha percorso una distanza di 100 passi prima che il buon corridore inizi a inseguirlo. In quanti passi il buon corridore raggiungerà?
(7) Ying pu-tsu o ying-nü (“Eccesso e carenza”). Ying, riferendosi alla luna piena, e pu-tsu o nü alla luna nuova, significano rispettivamente” troppo “e” troppo poco”. Questa sezione tratta di un’invenzione algebrica cinese utilizzata principalmente per risolvere problemi del tipo ax + b = 0 in modo piuttosto indiretto. Il metodo è venuto per essere conosciuto in Europa come la regola della falsa posizione. In questo metodo vengono fatte due ipotesi, x1 e x2, dando origine ai valori c1 e c2, rispettivamente, maggiori o minori di 0. Da questi abbiamo le seguenti equazioni:
Moltiplicando (1) per x2 e (2) per x1, abbiamo
Da (1) e (2),
Quindi
Il problema 1 in questo capitolo dice:
In una situazione in cui determinate cose vengono acquistate congiuntamente, se ogni persona paga 8 , l’eccedenza è 3 , e se ogni persona paga 7, la carenza è 4. Trova il numero di persone e il prezzo delle cose portate.
Secondo il metodo di eccesso e carenza, i tassi (cioè le “ipotesi” 8 e 7) vengono prima impostati sulla scheda di conteggio con l’eccesso (3) e la carenza (-4) posti sotto di essi. I tassi vengono poi incrociati moltiplicati per l’eccesso e la carenza e i prodotti vengono aggiunti per formare il dividendo. Quindi l’eccesso e la carenza vengono aggiunti insieme per formare il divisore. Il quoziente dà la giusta quantità di denaro pagabile da ogni persona. Per ottenere il numero di persone, aggiungere l’eccesso e la carenza e dividere la somma per la differenza tra le due tariffe. In altre parole, x e a sono ottenuti usando le equazioni (5) e (4) sopra.
A volte un problema semplice può essere trasformato in uno che coinvolge l’uso della regola della falsa posizione. Il problema 18 nello stesso capitolo dice:
Ci sono 9 pezzi d’oro e 11 pezzi d’argento. I due lotti pesano lo stesso. Un pezzo è preso da ogni lotto e messo nell’altro. Il lotto contenente principalmente oro è ora trovato a pesare meno del lotto contenente principalmente argento da 13 once. Trova il peso di ogni pezzo di oro e argento.
Qui vengono fatte due ipotesi per il peso dell’oro. Il metodo dice che se ogni pezzo d’oro pesa 3 libbre, allora ogni pezzo d’argento peserebbe 2 5/11 libbre, dando una carenza di 49/11 once; e se ogni pezzo d’oro pesa 2 libbre, allora ogni pezzo d’argento peserebbe 1 7/11 libbre, dando un eccesso di 15/11 once. A seguito di ciò, viene applicata la regola della falsa posizione.
(8) Fang-ch’eng (“Calcolo per tabulazione”) si occupa di equazioni lineari simultanee, usando sia numeri positivi che negativi. Problema 18 in questo capitolo coinvolge cinque incognite, ma dà solo quattro equazioni, preannunciando così l’equazione indeterminata. Il processo di risoluzione di equazioni lineari simultanee qui è lo stesso come il più moderno procedura per la risoluzione di un sistema simultanea
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b2y + c3z = d3,
a meno che i coefficienti e costanti sono disposti in colonne verticali invece di essere scritte in orizzontale:
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3.
In questo capitolo Liu Hui spiega anche l’addizione algebrica e la sottrazione di numeri positivi e negativi. (Liu Hui indicava numeri positivi e numeri negativi rispettivamente con barre di calcolo rosse e nere.)
(9) Kou-ku (“Angoli retti”) si occupa dell’applicazione del teorema di Pitagora. Alcuni dei suoi problemi sono i seguenti:
Un pezzo cilindrico di legno con un diametro di sezione trasversale di 2 piedi, 5 pollici, deve essere tagliato in un pezzo di tavola 7 pollici di spessore. Qual è la larghezza? C’è un albero alto 20 piedi e 3 piedi di circonferenza.Un rampicante si snoda intorno all’albero sette volte e raggiunge solo la cima. Trova la lunghezza della vite, C’è uno stagno 7 piedi quadrati con una canna che cresce al centro e misura I piedi sopra l’acqua. La canna appena raggiunge la banca al livello dell’acqua quando disegnato verso di essa. Trova la profondità dell’acqua e la lunghezza della canna.
C’è un bambù alto 10 piedi. Quando piegato, l’estremità superiore tocca il terreno 3 piedi di distanza dal gambo. Trova l’altezza della pausa,
È interessante notare che un problema simile a 13 è apparso nell’opera di Brahmagupta nel settimo secolo.
Il problema 20 ha suscitato un interesse ancora maggiore:
C’è una città quadrata di dimensione sconosciuta. Un cancello è al centro di ogni lato. A venti passi dalla porta nord c’è un albero. Se si cammina a 14 passi dalla porta sud, si gira a ovest e si prende 1.775 passi, l’albero entrerà in vista. Trova la lunghezza del lato della città.
Il libro indica che la risposta può essere ottenuta evolvendo la radice dell’equazione quadratica.
x2 + (14 + 20)x = 2 (1775 × 20).
Il metodo per risolvere questa equazione non è descritto. Mikami suggerisce che è altamente probabile che l’estrazione della radice sia stata effettuata con un termine aggiuntivo nel coefficiente di primo grado nell’ignoto e che questo termine aggiuntivo sia stato chiamato tsung, ma nella sua traduzione letterale di alcune parti del testo riguardanti le estrazioni di radici non si accorge che i passaggi successivi corrispondono strettamente a quelli del metodo di Horner. Ch’ien Pao-tsung e Li Yen hanno entrambi cercato di confrontare il metodo descritto nel Chiu-chang suan-shu con quello di Horner, ma non hanno chiarito le oscurità testuali. Wang Ling e Needham dire che è possibile mostrare che, se il testo del Chiu chang suan-shu è seguito molto attentamente, gli elementi essenziali dei metodi utilizzati dai Cinesi per la soluzione numerica di equazioni di secondo e gradi superiori, simile a quello sviluppato da Horner nel 1819, sono presenti in un lavoro che può essere datata al i secolo a.b.c.
L’Hai-tao suan-ching, originariamente conosciuta con il nome di Ch ung ch’a (“Metodo della Doppia Differenze”), è stato aggiunto alla Chiu chang suan-shu come il suo decimo capitolo. E ‘ stato separato dal testo principale durante il settimo secolo, quando i “Dieci Manuali matematici” sono stati scelti, ed è stato dato il titolo Hai-tao suan-cluig. Secondo Mikami, il termine ch’ung ch’a significava doppia, o ripetuta, applicazione delle proporzioni dei lati dei triangoli rettangoli. Il nome Hai-tao probabilmente deriva dal primo problema del libro, che tratta di un’isola nel mare. Composto da soli nove problemi, il libro equivale a meno di un capitolo del Chiu-chang suan-shu.
Nella sua prefazione Liu Hui descrive il metodo classico cinese di determinare la distanza dal sole alla terra piatta mediante la doppia triangolazione. Secondo questo metodo, due pali verticali alti otto piedi furono eretti allo stesso livello lungo lo stesso meridiano, uno nell’antica capitale Chou di Yan-ch’eng e l’altro 10.000 li (1 ,li = 1.800 piedi) a nord. Sono state misurate le lunghezze delle ombre proiettate dal sole a mezzogiorno del solstizio d’estate, e da queste si poteva ricavare la distanza del sole. Liu Hui mostra quindi come lo stesso metodo possa essere applicato a più esempi quotidiani. Il problema 1 dice:
Un’isola marina è vista da lontano. Due poli, ogni 30 piedi di altezza, sono eretti sullo stesso livello 1.000 pu a parte in modo che il polo nella parte posteriore è in linea retta con l’isola e l’altro polo. Se si sposta 123 pu indietro dal polo più vicino, la parte superiore del è solo visibile attraverso la fine del polo se lo vede dal livello del suolo. Se dovesse tornare indietro di 127 pu dall’altro polo, la parte superiore dell’isola è visibile solo attraverso l’estremità del polo se vista dal livello del suolo. Trova l’elevazione dell’isola e la sua distanza dal polo. palo è 102 li, 150 unità di elaborazione (300 unità di elaborazione = 1 li).]
La regola per risolvere questo problema è data come segue:
Moltiplicare l’altezza del polo per la distanza tra i poli e dividere il prodotto per la differenza tra le distanze che si deve tornare indietro dai poli per visualizzare il punto più alto dell’isola. Aggiungendo l’altezza del polo al quoziente si ottiene l’elevazione dell’isola. Per trovare la distanza dal polo più vicino all’isola, moltiplica la distanza percorsa da quel polo per la distanza tra i poli. Dividendo il prodotto per la differenza tra le distanze che si deve camminare indietro dai poli dà quella distanza.
Il problema 7 è di particolare interesse:
Una persona sta guardando in un abisso con un pezzo di roccia bianca in fondo. Dalla riva una traversa è girata per giacere sul lato che è normalmente in posizione verticale . Se la base è 3 piedi e si guarda alla superficie dell’acqua, dalla punta alla base, la linea di vista incontra l’altezza della traversa, a distanza di 4 piedi, 5 pollici; e quando uno guarda il rock, la linea di vista incontra l’altezza della traversa a distanza di 2 piedi, 4 pollici. Una traversa simile è impostata 4 piedi sopra il primo. Se si guarda dalla punta della base, la linea di vista alla superficie dell’acqua incontrerebbe l’altezza della traversa ad una distanza di 4 piedi; e se si guarda la roccia, sarà 2 piedi, 2 pollici. Trova la profondità dell’acqua.
In Figura 3, se P è la superficie dell’acqua sopra la roccia bianca, R, e BC e FG sono le due barre, quindi BC = FG = 3 piedi; GC = 4 piedi; AC = 4 piedi, 5 pollici; DC = 2 piedi, 4 pollici; EG = 4 piedi; e HG = 2 piedi, 2 pollici. La profondità dell’acqua, PR, è ricercata. Per ottenere la risposta, Liu Hui fornisce la seguente regola:
Liu Hui non ha preso in considerazione qui l’indice di rifrazione dell’acqua. La regola data è un’estensione di quella utilizzata per risolvere il problema 4, che utilizza lo stesso metodo per determinare la profondità di una valle:
Una persona sta guardando una valle profonda. Dal bordo della valle una traversa è girata per trovarsi sul lato che è normalmente in posizione verticale . La base
è lunga 6 piedi. Se si guarda il fondo della valle dal bordo della base, la linea di vista incontra il lato verticale ad una distanza di 9 piedi, 1 pollice. Un’altra traversa è impostata 30 piedi direttamente sopra il primo. Se il fondo della valle viene osservato dal bordo della base, la linea di vista incontrerà il lato verticale ad una distanza di 8 piedi, 5 pollici. Trova la profondità della valle.
Se ci riferiamo di nuovo alla Figura 3, ignorando le linee spezzate, abbiamo CB = GF = 6 piedi; CG = 30 piedi; AC = 9 piedi, 1 pollice; AD ESEMPIO = 8 piedi, 5 pollici; e CQ è la profondità. Da triangoli simili ABC e PBQ,
QB * AC · PQ * CB;
e da triangoli simili EFG e PFQ,
QF · EG = PQ · GF.
Dal CB = GF, e QF = QB = BF,
QB · AC = (QB + BF)AD ESEMPIO,
QB(AC – EG) = BF * AD ESEMPIO,
cioè,
(CQ + CB)(AC – EG) = GC · AD ESEMPIO.
Quindi,
Nel problema 7 si ottiene anche la distanza dalla banca al fondo dell’abisso (CS in Figura 3) dall’espressione
PR deriva dalla differenza tra CS e CQ.
Per quanto riguarda gli altri problemi, il problema 2 riguarda il trovare l’altezza di un albero su una collina; il problema 3 riguarda le dimensioni di una città murata lontana; il problema 5 mostra come misurare l’altezza di una torre su una pianura vista da una collina; il problema 6 fornisce un metodo per trovare la larghezza di un golfo visto da; il problema 8 è un caso di trovare la larghezza di un fiume visto da una collina; e il problema 9 cerca le dimensioni di una città vista la montagna.
BIBLIOGRAFIA
A modern ed. il suo nome deriva da quello di Chiu-chang suan-shu. 1121 nella serie Ts’ung-Shu Chi-Chêng (Shanghai, 1936).
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Alcuni importanti studi speciali sul Chiu-chang suan-shu sono E. I. Berezkina, “Drevnekitaysky traktat matematika v devyati knigach” (“L’antico trattato matematico cinese in nove libri”), in Istoriko-matematicheskie isslidovaniya,10 (1957), 423-584, un trans russo. nel 1968, Kurt Vogel, Neun Bücher arithme-tischer Technik (Brunswick, 1968), un trans tedesco, e lo studio del lavoro; e A. P. Youschkevitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (Lipsia, 1964), 1-88 (“Die Mathematik in China”), tradotto dal russo.
Accesso al vecchio note biografiche e bibliografiche le citazioni relative opere matematiche sono Hu Yu-mento, Ssu-K u-T i-Yao Pu-Chêng (“Supplementi di Ssu-K u-T i-yao”), 2 voll., (Taipei, 1964-1967); e Ting Fu-pao e Chou Yün-ch’ing, Ssu-Pu-Tsung-Lu Suan-Fa-Pien (“Bibliografia di Matematica Libri di Integrare la Ssu-K u,-Ch’ uan-Shu Enciclopedia”; Shanghai, 1956).
Maggiori informazioni sul Suan-Ching Shi-Shu si possono trovare in Needham, Scienza e civiltà in Cina, III, 18; e in A. Hummel, Eminente cinese del periodo Ch’ing (Washington, 1943), p. 697.
I due volumi esistenti dell’enciclopedia Yung-Lo Ta-Tien sono stati riprodotti fotograficamente (Pechino, 1960); mostrano che la disposizione era secondo procedure matematiche e non da autori.
Ho Peng-Giogo
