(fl. 250)
数学.
劉輝の生涯については、三国時代（西暦221年-265年）の終わりに魏の王国で栄えたことを除いては何も知られていない。 その一方で、彼の数学的著作はよく知られており、Chiu-chang suan-shu（”数学の九章”）に関する彼の解説は、1,000年以上にわたって中国の数学に深い影響を与えてきました。 彼はもう一つの重要な、しかしはるかに短い仕事を書いた：Hai-tao suan-ching（”Sea Island Mathematical Manual”）。
一部の学者は、Chiu-chang suan-ching（”九章の数学マニュアル”）とも呼ばれるChiu-chang suan-ching（”九章の数学マニュアル”）は、紀元前三世紀の間にすでに中国に存在していたと信じています。c Ch’en Paotsung、Chung-kuo suan-hsüeh-shih、Chang Yin-lin（Yenching Hsüeh Pao、2、301）は、問題に記載されている特定の役人の称号がCh’in以前のものであることに注意しています（第三および第三章および第三章および第三章）。初期の第二世紀b.c.）。 紀元前203年の課税制度を示す必要があります参照もあります。 劉輝の序文によると、この本は清の始皇帝（紀元前221年-紀元前209年）の時代に焼かれたが、後に残ったものが回収され、整理された。 その後の二世紀には、この本に関する注釈書はチャン-ツアン（fl. 165-142b.c)とKeng Shou-ch’ang(fl. 紀元前75年-紀元前49年）。 Ch’en Pao-tsung(1963)の研究では、内部のテキストの証拠から、Chiu-chang suan-shuは紀元前50年から紀元100年の間に書かれており、Chang Ts’angとKeng Shou-ch’anがこの本と関係があるかどうかは疑わしいと示唆されている。 しかし、同じ年にCh’en Pao-tsungの同僚であるLi YenとTu Shih-janは、同じ年にChiu-chang suan-shuについて書いたときにLiu Huiの序文をまだ信じていました。
七世紀の間にChiu-chang suan-shuとHai-tao suan-ching（a.d.263）の両方がSuan-ching shih-shu（”Ten Mathematical Manuals,”a.d.656）に含まれており、t’angの数学者で天文学者のLi Shun-feng（602-670）が注釈と注釈を追加しました。 これらの作品は、数学の学生のための標準的なテキストになりました; 公式の規則では、劉輝の作品に三年を捧げることが規定されています。 劉輝の作品はまた、これらの数学のマニュアルで日本に彼らの方法を発見しました。 702年に日本に学校が設立され、数学が教えられたとき、Chiu-chang suan-shuとHai-tao suan-chingの両方が規定されたテキストの中にありました。
ch’eng Ta-weiの数学論文”Suan-fa t’ung-tsung”（”Systematic Treatise on Arithmetic”;1592）によると、Chiu-chang suan-shuとHai-tao suan-chingの両方が1084年に正式に印刷されました。 1213年にPao Huan-chihによって別の印刷されたバージョンがありました。 15世紀初頭には、かなり再配置されたが、広大な明の百科事典、Yung-lo ta-tien（1403年-1407年）に含まれていた。 十八世紀の第二部では、陳泰（1724年-1777年）は、Yung-lo to-tilenから断片的にそれらを抽出した後、これら二つのテキストを再構築しました。 彼らはその後、k’un Chi-han（1739-1787）によって彼のWei-po-hesieh ts’un-shu（1773）に含まれていました。 三年後、ch’ü Tseng-faはTai Chenの序文でそれらを別々に印刷しました。
タイ-チェンの魏-po-謝ts’ung-shuの再建に基づく他の複製は、Mei Ch’i-chao（1862年）のSuan-ching shih-shu（”Ten Mathematical Manuals”）とWan-yu-wen-K’u（1929年-1933年）とSsu-pu ts’ung-k’anシリーズ（1920年-1922年、いずれも商業出版社、上海）に見られる。 19世紀の二人の学者、Chung HsiangとLi Huangは、Chiu-chang suan-shuの原文を改善しようとしたTai Chenの試みによって、テキスト内の特定の節が理解できないものになっていたことを発見しました。 十三世紀初頭の版Chiu-chang suan-shuの断片。 わずか5章で構成され、黄Yü-chi（1629年-1691年）のプライベートライブラリで、南京で十七世紀の間に発見されました。 この写本は1678年に有名な清の学者Mei Wen-ting（1633-1721）によって見られ、後にk’un Chi-han（1739-1784）とChang Tun-jen（1754-1834）の所有になり、最終的に上海図書館に買収され、現在保管されています。 1684年、毛沢東（1640年-1710年以降）は、黄禹錫の図書館で見つかった元のテキストの手書きのコピーを作った。 このコピーは、後にCh’en-lung治世（1736年-1795年）の間に皇帝によって取得されました。 1932年には”T’en-lu-lin-lang ts’ung-shu”シリーズで再現された。
1261年にヤン-ホイはチウ-チャン-スアン集の問題を解明するために”九章の数学的規則の詳細な分析”を書いた。 1963年には、陳泰版のチウ-チャン-スアン-シュウのテキスト、T’en-lu-lin-lang ts’ung-shuシリーズで再現された後期宋版の断片、およびヤン-ホイのHsiang-chieh chiu-chang-suan-faを照合した。
ハイ-タオ-スアン-チンについては、タイ-チェンによる再構築版のみが残っている。 それは呉英天宮版（1794年以前）、k’ung Chi-hanのWei-po-hsieh ts’ung-shuの”Ten Mathematical Manuals”、およびChü Tseng-faのChiu-chang suan-shuの付録で再現されました。
Chiu-chang suan-shuは、建築家、技術者、役人、商人のための実用的なハンドブック、一種の補佐官として意図されていました。 これは、運河や堤防、市の壁、課税、物々交換、公共サービスなどを構築する上で非常に多くの問題が存在する理由です。 これは、246の問題の合計で、九章で構成されています。 各章の概要は次のとおりです:
(1) Fang-t’en（”土地測量”）には、三角形、台形、長方形、円、円のセクター、および環状の領域を見つけるためのルールが含まれています。 これは、分数の加算、減算、乗算、除算のルールを与えます。 和音cとサジッタsが知られているaのセグメントの面積については、s(c+s)/2の形で興味深いが不正確な公式がある。 この表現は、後に9世紀にマハーヴァーラのガニタサーラサングラハに現れました。
特に興味深いのは、劉輝が使用した円の円周とその直径の比の値です。 中国で使用されていたπの古代の値は3でしたが、最初の世紀以来、中国の数学者はより正確な値を探していました。 劉新（d.a.d.23）は3.1547を使用し、チャンヘン（78-139）は10ドルと92/29を与えた。 王樊（219年-257年）は142/45を発見し、劉輝は3.14を与えた。 しかし、この関連で最も重要な名前は、劉宋とチー王朝の華麗な数学者、天文学者、エンジニアであるTsu Ch’ung-chih（430-501）とその息子のTsu Cheng-chihの名前です。 Tsu Ch’ung-chihは、最初にアルキメデスによって以前に与えられた22/7に等しい”不正確な”もの（yo lü）と、”より正確な”もの（（mi lu））、355/113（3.1415929）を与えた。 彼はさらに近似を探し、σが3.1415926と3.1415927の間にあることを発見しました。 彼の方法はおそらく彼と彼の息子が書いたChui Shuに記載されていましたが、今は失われています。 355/113のtsu Ch’ung-chihの価値は、Chao Yu-ch’inによって再び取り上げられるまで、中国では何世紀にもわたって消えてしまった（（fl、ca。 1300)). 劉輝は、この多角形を囲む円の直径に対する九十から六辺の正多角形の周囲の比を取ることによって正確な値3.14を得ました。 辺L6の正六角形から始めましょう。 それを囲む円の直径に対する六角形の周囲の比は3である。 図1に示すように、六角形を十二辺の正多角形に変更すると、外接円の半径であるL6=rであることに注意して、十二辺の多角形の辺は
で与えられます。0.261052;l48=0.130806;L96=0.065438。
n=96、r=1の正多角形の周囲は96×0.065438=6.282048です。 したがって、λ=6.282048/2=3.141024、または約3.14。 劉輝はまた、3,072辺の多角形を使用し、彼の最高の値、3.14159を得ました。
(2)スミ(“キビと米”)は、パーセンテージと比率を扱います。 不確定な方程式は、この章の最後の9つの問題では、比率を使用することによって回避されます。
(3)Ts’ui-fen(“進行による分布”)は、特定のレートに応じたパートナー間のプロパティの分布に関するものです。 また、異なる品質の商品の課税の問題や、算術的および幾何学的進行の問題も含まれ、すべてが比率を使用して解決されます。
(4)Shao-kuang(“幅の減少”)は、面積と辺のいずれかが与えられたときに長方形の辺を見つけること、面積がわかっているときに円の円周
、体積が与えられた立方体の辺、 分数における最小公倍数の使用が示されている。 単位分数は、この章の問題11では、例えば、使用されていることは興味深いです。 長方形の形の与えられた幅は次のように表されます
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
この章の問題も平方根と立方根の抽出につながります;問題13は、例えば、25,281の平方根を見つけることを含みます。 Chiu-chang suan-shuで与えられた方法によれば、この数はshih（配当）として知られており、最初にカウントボードの上から二列目に配置されます。 次に、予備chieh-suanと呼ばれる一つのカウントロッドは、最も遠い右側の桁の列にカウントボードの一番下の行に置かれます。 このロッドは、シー行の番号の最も遠い左の桁をオーバーシュートすることなく行くことができるように、一度に二つの場所を左に移動されます。 新しい場所の価値によってこの棒はchieh-sucnと呼ばれる。 それは図2aに示されています。
根の最初の図は100と200の間にあることがわかります。 次に、1がルートの最初の図として取得され、百列の一番上の行に配置されます。 一番上の行は牙と呼ばれています。 Chieh-suanには根の最初の数字が掛けられています。 Faと呼ばれる製品は、3行目に配置されます。 Shih(25,281)からfa(10,000)を差し引いたものは、図2bに示すように、第二の行に書かれた”最初の剰余”(15,281)を残します。 図2cに示すように、これは右に一桁移動され、チエ-スアンは右に二桁移動されます。
試行錯誤によって選択された第二の図は、5と6の間にあることがわか したがって、10の桁は5と見なされ、図2eの一番上の行の適切な位置に配置されます。 Chieh-suan（現在は100）にこの2番目の数字が乗算され、製品がting-faに追加され、2,500になります。 Ting-faに5を掛けたものは、最初の剰余から減算され、残りの剰余が得られます2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), 図2dに示すように、ting-faは次に右に一桁、chieh-suanは二つの場所にシフトします（図2eを参照）。 試行錯誤によって再び選択された第三の図は、9であることが判明した。 この単位桁は、一番上の行の適切な位置に配置されます。 現在の1であるChieh-suanにこの第三の数字が乗算され、製品がting-faに加算され、259になります。 第二の余りは、ゼロの残りの部分を残すティン-faで除算されます(2,781 ÷ 259 = 9 +0). したがって、答えは159です（図2fを参照）。
(5)Shang-kung(“Engineering Works”)は、プリズム、ピラミッド、四面体、くさび、円柱、円錐、円錐錐台などの立体図形の体積を与えます。
(a)正方形プリズムの体積=基準時間の高さの一辺の二乗。
(b)円柱の体積=円の円周の1/12平方倍の高さ（θは約3とする）。
(c)四角錐台の体積=1/3高さに上下の正方形の辺の平方和と上下の正方形の辺の積を掛けたもの。
(d)四角錐の体積=高さの1/3倍の底辺の正方形。
(e)円錐の錐台の体積=1/36高さに上下の円面の円周の二乗の和とこれら二つの円周の積を掛けたもの（θは約3とする）。
(f)円錐の体積=1/36高さ×ベースの円周の二乗（ここでθは約3とする）。
(g)右三角柱の体積=幅、長さ、高さの積の1/2。
(h)角錐の体積=底辺の幅と長さと高さの積の1/3。
(i)互いに垂直な二つの反対側のエッジを持つ四面体の体積=二つの垂直な反対側のエッジとこれら二つのエッジに共通する垂直の積の1/6。
(6)中収（”公平な課税”）は、特に納税者が母国の町から首都に穀物の拠出を得るために必要な時間に関連して、追求とアリゲーションの問題に関係している。 また、人口に応じた税負担の配分に関連する比率の問題も扱っています。 この章の問題12は言う:
良いランナーは100ペースで行くことができ、悪いランナーは60ペースで行くことができます。 悪いランナーは良いランナーが彼を追求し始める前に100ペースの距離を行っています。 どのように多くのペースで良いランナーが追いつくのだろうか？
(7) Ying pu-tsuまたはying-nü（”過剰および欠乏”）。 満月を意味する英、新月を意味するpu-tsuまたはnüは、それぞれ”多すぎる”と”少なすぎる”を意味します。 この節では、主にax+b=0型の問題をかなり回り道的に解決するために使用される中国の代数的発明を扱う。 この方法は、ヨーロッパでは偽の位置のルールとして知られるようになりました。 この方法では、x1とx2の2つの推測が行われ、それぞれ値c1とc2が0より大きいか小さいかのいずれかになります。 これらから、次の式があります。
（1）にx2、（2）にx1を乗算すると、（1）から
が得られます。(2),
したがって、この章の
問題1は言う:
あるものが共同で購入される状況では、一人一人が8を支払う場合、余剰は3であり、一人一人が7を支払う場合、不足は4である。 人の数と持ってきたものの価格を見つけます。
過剰と欠乏の方法によれば、率（つまり、”推測”8と7）は、最初に過剰（3）と欠乏（-4）を下に置いてカウントボードに設定されます。 その後、レートに過剰と不足を掛け合わせ、製品が追加されて配当が形成されます。 その後、過剰と不足は、除数を形成するために一緒に追加されます。 商は、それぞれの人が支払うべき正しい金額を与えます。 人の数を取得するには、過剰と不足を追加し、2つのレートの差で合計を分割します。 つまり、xおよびaは、上記の式（5)および（4)を用いて求められる。
単純な問題が、誤った位置のルールを使用する問題に変換されることがあります。 同じ章の問題18は言う:
金の9個と銀の11個があります。 二つのロットは同じ重さです。 一つは各ロットから取られ、他に置かれます。 主に金を含んでいるロットは13オンスによって主に銀を含んでいるロットよりより少しを重量を量るために今ある。 金と銀の各部分の重量を見つけます。
ここでは金の重さについて二つの推測がなされている。 この方法は、金の各部分が3ポンドの重さであれば、銀の各部分は2 5/11ポンドの重さになり、49/11オンスの不足を与え、金の各部分が2ポンドの重さであれば、銀の各部分は1 7/11ポンドの重さになり、15/11オンスの過剰を与えると述べている。 これに続いて、偽の位置のルールが適用されます。
(8)Fang-ch’eng(“集計による計算”)は、正と負の両方の数を使用して、連立一次方程式に関係しています。 この章の問題18には5つの未知数が含まれていますが、4つの方程式しか与えられていないため、不確定な方程式が示されます。 ここで与えられた連立一次方程式を解くプロセスは、同時システムを解くための現代の手順と同じです
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b2y+c3z=d3,
係数と定数が垂直の列に配置されていることを除いて、
水平方向に書かれています：
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3。
この章では、Liu Huiは正と負の数の代数的加算と減算についても説明します。 （劉輝は正の数と負の数をそれぞれ赤と黒の計算棒で表した。)
(9) Kou-ku（”直角”）は、ピタゴラスの定理の適用を扱う。 その問題のいくつかは次のとおりです:
2フィート、5インチの横断面の直径が付いている円柱木片は厚さ7インチの板の部分に、切られるべきである。 幅は何ですか？ 高さ20フィート、周囲に3フィートの木があります。クリーパーは、木の周りに七回風とちょうどトップに到達します。 つるの長さを見つける,池があります7中心に成長し、水の上に私の足を測定するリードとフィートの正方形. 葦はそれの方に引かれたときちょうど水位で銀行に達する。 水の深さとリードの長さを求めます。
高さ10フィートの竹があります。 曲がったとき、上端は茎から3フィート離れた地面に触れる。 休憩の高さを見つける,
興味深いことに、13に似た問題が7世紀のBrahmaguptaの作品に登場しました。
問題20はさらに大きな関心を呼んでいます:
未知の次元の正方形の町があります。 門はそれぞれの側の中央にあります。 北門の外に二十歩は木です。 南門から14歩歩いて西に曲がり、1,775歩を歩くと、木が見えます。 町の側の長さを見つけます。
この本は、二次方程式の根を発展させることによって答えが得られることを示しています。
x2+(14+20)x=2(1775×20)。
この方程式を解く方法は記載されていません。 三上は、未知の第一次係数の追加項で根抽出が行われた可能性が高く、この追加項がtsungと呼ばれていたことを示唆しているが、根抽出に関するテキストのいくつかの部分の直訳では、連続するステップがHornerの方法のものと密接に対応していることに気付かない。 Ch’yen Pao-tsungとLi Yenは、Chiu-chang suan-shuに記載されている方法とHornerの方法を比較しようとしましたが、テキストのあいまいさは明らかにされていません。 Wang LingとNeedhamは、Chiu-chang suan-shuのテキストに非常に慎重に従っていれば、1819年にHornerによって開発されたものと同様に、第二級以上の数値方程式を解くために中国人が使用した方法の本質が、紀元前7798年に遡る可能性のある作品に存在することを示すことが可能であると述べている。
Hai-tao suan-chingは、もともとCh’ung ch’a（”二重差の方法”）という名前で知られている。その第十章としてChiu-Chang suan-shu。 それは”十数学マニュアル”が選ばれた七世紀の間に本文から分離され、Hai-tao suan-cluigというタイトルが与えられました。 三上によると、ch’ung ch’aという用語は、直角三角形の辺の比率を二重または繰り返し適用することを意味することを意図していました。 ハイ-タオという名前は、おそらく海の島を扱う本の最初の問題から来ました。 この本は九つの問題だけで構成されており、チウ-チャン-スアン-シュウの一章未満に相当します。
劉輝は序文の中で、二重三角測量によって太陽から平らな地球までの距離を決定する古典的な中国の方法を説明しています。 この方法によれば、同じ子午線に沿って同じ高さに二つの垂直の極が建てられ、一つは古代の周の首都であり、もう一つは北に10,000李（1、李=1,800フィート）であった。 夏至の真昼に太陽が投げた影の長さを測定し、これらから太陽の距離を導出することができた。 Liu Huiは、同じ方法をより日常的な例にどのように適用できるかを示しています。 問題1は言う:
遠くから海の島を眺めることができます。 後部の棒が島および他の棒との直線にあるように2本の棒、各々の30フィートの高さは同じレベル1,000puで離れて建てられる。 近くのポールから123puを戻すと、地面から見ると、ポールの端から上が見えます。 彼が他の棒から127puを戻せば、島の上は地面レベルから見れば棒の端を通してちょうど目に見える。 島の標高と極からの距離を見つけます。 極は102li、150pu（300pu=1li）である。]
この問題を解決するためのルールは次のように与えられます:
極の高さに極の間の距離を掛け、島の最高点を表示するために極から戻って歩かなければならない距離の差で製品を分割します。 商に極の高さを加えると、島の標高が得られます。 より近い極から島までの距離を見つけるには、その極から戻ってきた距離に極間の距離を掛けます。 極から歩かなければならない距離の差で積を割ると、その距離が得られます。
問題7は特別な関心事です:
人は底に白い岩の部分を持つ深淵を探しています。 海岸からクロスバーは、通常直立している側に横たわるように回転します。 ベースが3フィートで、ベースの先端から水面を見ると、視線は4フィート、5インチの距離でクロスバーの高さを満たし、岩を見ると、視線は2フィート、4インチの距離でクロスバーの高さを満たす。 同様のクロスバーは、最初の4フィートの上に設定されています。 ベースの先端から見ると、水面までの視線は4フィートの距離でクロスバーの高さに会い、岩を見ると2フィート、2インチになります。 水の深さを見つける。
図3において、Pが白い岩の上の水面、R、BCとFGが二つのクロスバーであれば、BC=FG=3フィート、GC=4フィート、AC=4フィート、5インチ、DC=2フィート、4インチ、EG=4フィート、HG=2フィート、2インチである。 水の深さ、PRは、求められています。 答えを得るために、Liu Huiは次の規則を与えます：
Liu Huiはここで水の屈折率を考慮していません。 与えられたルールは、谷の深さを決定するために同じ方法を使用して、問題4を解決するために使用されるものの拡張です:
人は深い谷を見ている。 谷の端からクロスバーは、通常は直立している側に横たわっているようになっています。 ベース
は6フィートの長さです。 ベースの端から谷の底を見ると、視線は9フィート、1インチの距離で垂直側に会います。 別のクロスバーは、最初の30フィートの真上に設定されています。 谷の底がベースの端から観察された場合、視線は8フィート、5インチの距離で垂直側に会うでしょう。 谷の深さを見つける。
破線を無視して図3を再度参照すると、CB=GF=6feet;CG=30feet;AC=9feet,1inch;EG=8feet,5inch;cqは深さです。 類似の三角形ABCおよびPBQから、
QB·AC=PQ·CB;
および類似の三角形EFGおよびPFQから、
QF·EG=PQ·GF。ＣＢ＝ＧＦであり、ＱＦ＝ＱＢ＝ＢＦであるので、＜７ ７ ９ ８＞＜８ ９ ２ ８＞ＱＢ＊ＡＣ＝（ＱＢ＋ＢＦ）ＥＧ、＜７ ７ ９ ８＞＜８ ９ ２ ８＞ＱＢ（Ａ Ｃ−ＥＧ）＝ＢＦ＊ＥＧ＝ＧＣ＊ＥＧ、すなわち、＜７ ７ ９ ８＞＜８ ９ ２ ８＞（ＣＱ＋ＣＢ）（Ａ Ｃ−ＥＧ）＝ＧＣ＊ＥＧである。
したがって、問題7の
は、
PRという式から、バンクから深淵の底までの距離（図3のCS）を得ることもできますCSとCQの差から導出されます。
その他の問題については、問題2は丘の上の木の高さを見つけること、問題3は遠くの城壁都市の大きさを扱うこと、問題5は丘から見た平野の塔の高さを測定する方法、問題6は陸上で遠くから見た湾の幅を見つける方法を与える。; 問題8は丘から見た川の幅を求める場合であり、問題9は山から見た都市の大きさを求める場合である。
参考文献
現代編。 チウ-チャン-スアン-シュウのvol. 1121年（上海、1936年）、”Ts’un-Shu Chi-Chôngシリーズ”（上海、1936年）に登場する。
劉輝とその著作を扱った作品は、Ch’yen Pao-tsung、Suan-ching shih-shu（”十数マニュアル”）、2巻である。 (Peking,1963),83-272;Chung-kuosuan-hsüeh-shih(“History of Chinese Mathematics”)(Peking1964),61-75;L.van Hée,”Le Hai Tao Suan Ching de Lieou,”In T’ong Pao,20(1921),51-60;Hsü Shunfang,Chung-suan chia te tai-hsüeh yen-chiu(“中国数学による代数の研究”)(北京,1955),1-8;Li Yen,Chung-kno shu-Hsüeh ta-kang(“中国数学の概要”I(上海,1931);Chungkuo suan-Hsüeh-Shih(“History of Chinese Mathematics”)(Shanghai,1937;Rev.Ed., 1955), 16, 19, 21; Li Yen and Tu Shih-jan,Chung-kuo ku-tai shu-hsüeh chien-shih(“古代中国数学の簡単な歴史”)I(Peking,1963),45-77; 三上義雄,中国と日本における数学の発展(ニューヨーク,1913);ジョセフ*ニーダム,中国の科学と文明,III(ケンブリッジ,1959),24-27;ジョージ*サートン,科学の歴史の紹介,3vols. （ボルチモア、1927-1947）、esp。 私、338;王陵、”Chiu-Chang Suan-Shuと漢王朝の間の中国の数学の歴史”、博士課程のdiss。 （ケンブリッジ大学,1956);Wang Ling and Joseph Needham,”Horner’Method in Chinese Mathematics;Its Origins in The Root-Extraction Procedure of The Han Dynasty,”In T’oung Pao,43(1955),345-401; そしてAlexander Wylie,Chinese Researches(Shanghai,1897;repr. 北京、1936年、台北、1966年）、170-174。
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ホー-ペン-ヨーク
