(b.St.Louis,Missouri,1919年12月8日;D.Berkeley,California,1985年7月30日),数学,数学論理,数論,決定問題,定義可能性.
ロビンソンの数学的な作品は、パワーと魅力を展示しています。 彼女は困難な問題に取り組み、優雅な解決のために努力した。 彼女の人生と仕事は、男性が支配する分野の女性として、彼女は先駆者のようなものであったことに注意しなければ、適切に見ることはできません。 彼女のメティエは、数学、論理と数の理論の二つの枝の間のインターフェイスであり、通常はお互いにはほとんど関係がないと考えられていました。 彼女は特に1900年に数学者デイヴィッド・ヒルベルトによって提案された23の有名なリストの10番目の問題の解決への彼女の貢献のために知られています。 彼女は、国立科学アカデミーにもアメリカ数学会の会長に選出された、両方のケースでは、最初の女性の数学者はとても光栄にも、マッカーサーフェローシップの受
初期の人生ジュリア-ボウマン生まれ、彼女は人生の早い段階で二つの災害に苦しんだ。 彼女は母親が死んだときに二人だけだったので、父親はジュリアと姉コンスタンスに対処するために残しました。 彼の再婚の後、家族は西に移動し、最終的には彼女の義理の妹ビリーが生まれたサンディエゴに移動しました。 ジュリアが9歳のとき、彼女は壊滅的な病気を受けました：紅斑熱に続いてリウマチ熱。 彼女は学校の二年間を逃し、彼女の心に非常に深刻な損傷を受けました。 学問的に彼女は優秀で、すぐに彼女の失われた地面を作った。 高校では、彼女は高度な科学と数学のコースを取り、名誉の数で卒業した唯一の女の子でした。 1936年、彼女はサンディエゴ州立大学に入学し、数学を専攻した。 より広い景色を求めて、彼女は彼女のシニア年のためにカリフォルニア大学バークレー校に移しました。 彼女はその年を取った五数学のコースの中でラファエル*ロビンソンによって教えられた数の理論に一つだった。 彼女の能力に感銘を受け、彼は大学院生として彼女の研究を続けるように彼女を説得しました。 ラファエルは幅広い関心と知識の数学者であり、理想的な指導者でした。 しかし、すぐに彼らの関係はより個人的になり、1941年12月に結婚しました。 ジュリアは流産を受け、彼女の深刻な損傷を受けた心臓のために、妊娠は非常に危険であることを医師から警告されたときに家族を始めるために彼らの希望は破線されました。 彼の意見は、彼女が40歳になる前に死ぬ可能性が高いということでした。 ジュリアは彼女が投げつけられたに深いうつ病を克服するための努力では、ラファエロは数学で慰めを求めるために彼女を奨励した。
数学的背景1930年代は、アリストテレスが起源とする伝統的な分野から大幅に変化した、古代の論理の主題に革命的な発展を見ていました。 Kurt Gödelの有名な不完全性定理は、数学的実践をカプセル化する際の形式的な論理システムの固有の限界を指摘していました。 アロンゾ-チャーチ、アラン-チューリング、エミール-ポスト、ゲーデル自身の研究は、特定の数学的問題に対するアルゴリズム的解の存在の問題が正確な定式化を与えることができることを示していた。 これは、特定の場合には、そのようなアルゴリズム的解が存在しない可能性があり、そのような場合でさえ、これが証明される可能性があることを開 Alfred Tarskiは、真理の意味論的概念と形式言語の定義可能性を定義する方法を説明しました。 これらはJulia Robinsonの研究の文脈を提供した開発でした。
数学の任意の特定の枝は、その主題の基本である特定の操作と関係を表すために記号を使用します。 このような記号に加えて、現代の数学的論理では、特殊記号
を使い慣れた=記号とともに使用します。 一つは、言語を構成するように数学の特定の枝に対応するものと一緒にこれらの記号のことを話します。 Julia Robinsonの作品は、主に加算と乗算のための+と×の2つの記号、および0と1の記号を使用する算術言語の文脈にありました。 アルファベットの文字は変数として使用され、算術の言語の場合、通常はおなじみの自然数0,1,2……に対して変化すると理解されているため、例えば”文”
は、二つの奇数を加えると偶数になるという真の命題を表している。 式(u)(x=u+u+1)>は、それ自体が奇数の集合を定義します。xが特定の自然数に置き換えられた場合、結果の文はその数が奇数である場合にのみ真になります。 定義可能性とアルゴリズムの存在の問題は、ロビンソンの仕事の基本的なものでした。
自然数の集合Sは、与えられた自然数nに対してnがSに属するかどうかを決定できるアルゴリズムがある場合、計算可能（または再帰的）と呼ばれます。自然数の集合は、リスト可能（ジュリア-ロビンソンが好む用語）または再帰的に列挙可能（Sのメンバーのリストを体系的に作成するアルゴリズムがある場合）と呼ばれます。すべての解決不可能な結果は、鍵定理の結果と考えることができます。計算可能でないリスト可能な集合が存在します。 これらの問題は、ロビンソンの仕事においても非常に重要でした。
ジュリア-ロビンソンの論文ロビンソンが彼女のメティエを見つけたのは、二十世紀の偉大な論理学者の一人であるカリスマ的なアルフレッド-タルスキが率いるセミナーであった。 タルスキは1939年8月、ドイツのポーランド侵攻が第二次世界大戦を引き起こす直前に、米国での会議に出席するための短い旅行であったことを理由に母国ポーランドを離れていた。 タルスキはロビンソンが魅了された算術の言語で定義可能性についての未解決の質問の数を提起した。 1940年代までには、自然数の範囲の変数を持つ算術言語の与えられた文が真であるかどうかを判断するアルゴリズムがないことがよく知られていた。 一つが言うように、これはアルゴリズム的に解決できない問題です。 Tarskiは、この同じ言語で、変数が自然数だけではなくすべての有理数の範囲に許可されている場合、同じことが当てはまるかどうかを知りたかった。 （有理数は分数m/nまたは-m/nとして表現可能なものであり、mは自然数であり、nはゼロ以外の自然数である。）そのような”決定問題”を別のものに”減らす”ための技術が開発されていました。 この場合、有理数を超えて変化するように制約された変数を持つ算術言語の文を真実をテストするアルゴリズムがある場合、そのようなアルゴリズムを使用して、変数が自然数を超えているときに同じことを行うアルゴリズムを提供することができることが示される。 したがって、後者のためのそのようなアルゴリズムはないので、前者のためのアルゴリズムも存在しないことになるでしょう。
ロビンソンの論文の主な結果は、整数の集合（すなわち、自然数の集合とその負数の集合）を正確に定義する、有理数にわたって変化するように制約された変数を持つ算術言語の明示的な公式であった。 その後、算術の文の真実を決定する問題は、変数が有理数以上の範囲であっても解決できないままであることが続いた。 他の非溶解性の結果も同様に続いた。 ロビンソンのアプローチは、複雑でエレガントで、数論からのいくつかのかなり深いアイデアを使用して独創的でした。
エレガントな特徴ロビンソンは常に彼女の数学的な仕事で優雅さとシンプルさを求めた。 彼女の初期の論文の1つは、自然数をそれ自身に写像するアルゴリズム的に計算可能な関数（再帰関数とも呼ばれる）を、特に簡単な方法で特徴付ける方 彼女の美しい特徴付けは、与えられた関数から新しい関数を得るための二つの初期関数と三つの操作を含む。 初期関数の1つは単に後継関数S(x)=x+1である。 ロビンソンがeと呼ぶもう一方は、与えられた数とそれを超えない最大の完全な正方形との差として定義されます。 （したがって、E（19）=19-16=3およびE（25）=25-25=0。(1)与えられた関数FとGから関数H(x)=F(G(X))を得る;(2)与えられた関数FとGから関数H(x)=F(x)+G(x)を得る;(3)すべての自然数を含む値を持つ与えられた関数Fから関数Hを得るh(x)はf(t)=xの最小数tである。
すべての計算可能な関数（自然数から自然数まで）は、二つの初期関数から始まり、これら三つの演算を何度も何度も適用することによって得ることができることは本当に驚くべきことである。
ずっと後にロビンソンは、計算可能なものから遠く離れた領域の新しい特徴付けを見つけることに同じ優雅さと気迫を示しました。 計算可能でないリスト可能集合Kの存在は既に言及されている。 したがって、kのメンバーシップを決定するためのアルゴリズムはありません。 そのような集合に関するメンバシップ情報にアクセスできるアルゴリズムによってリストできる集合を考慮することによって（比喩的には「オラクル」を介して）追加の集合を折り畳みに持ち込むことができ、このプロセスを反復することができる。 この反復が任意の有限回発生することを可能にすることによって、得られた集合は正確に算術と呼ばれるものであることが判明し、自然数の範囲の変数を持つ算術の言語で定義可能な集合である。 しかし、ここで停止する必要はありません。 非算術セットを定義し、それを「oracle」として使用して、さらに多くのセットをリストできるようにすることができます。 このプロセスが終了する自然な場所があり、そのようにして得られた自然数の集合はhyperarithmeticalと呼ばれます。 ロビンソンが単純で直接的な特徴付けを提供したのは、この希少な領域でした。
実存的定義可能性とヒルベルトの第十問題ジュリア-ロビンソンが最も記憶されている作品は、アルフレッド-タルスキによって提起された明らかに単純な問題に由来する。 Tarskiは、記号と除外されている場合、算術の言語の式によって定義可能な自然数のセットを知りたかったです。 彼はそのような集合を実存的に定義可能と呼び、集合{1,2,4,8,16,….}を証明する問題を提案した。}2のべき乗は存在的に定義可能ではありません。 これはまさにロビンソンが好きだった問題のようなものでした。 実存的定義可能性の概念は、数論者が研究する種類の問題、いわゆるディオファントス問題と密接に関連していることが容易に見ることができる。 これらは通常、多項式p（a、x、y、z、u、v、w、…）と関係しています。 ここで、aはパラメータであり、x、y、z、u、v、w、…。 “未知数です。（このような多項式は、5a3x2v5や-7a4x3z6のような項の合計にすぎないことを思い出してください。）この種の特定のディオファントス方程式については、数論者は、パラメータaのどの自然数値に対して、方程式が未知数で自然数解を持つかを決定しようとする。 単純な標準的な方法では、自然数の集合Sが存在的に定義可能であることと、Sが方程式が自然数解を持つパラメータの値の集合であるようなこの種の多項式方程式が存在することは容易にわかる。 このため、実存的に定義可能な集合はディオファントスとも呼ばれ、これは後の文献で採用された用語である。
2のべき乗の集合がディオファントスではないというタルスキーの予想を証明することに成功しなかったロビンソンは、タルスキーの推測が間違っていた可能性を考え始めた。 進歩を遂げるためには、彼女はJ.R.と呼ばれるようになった、当時証明されていない特定の仮説を仮定しなければならなかった;大まかに言えばJ.R. J.R.を仮定し、複雑で独創的な分析を行うことによって、彼女は2のべき乗がディオファントスであることだけでなく、素数の集合だけでなく、他の多くのものもあることを証明した。 すべてのディオファントスの集合がリスト可能であることは容易に分かるが、今では逆が真であるかどうか、すべてのリスト可能な集合がディオファントスであるかどうか疑問に思った。 これは、彼女は深遠な結果を持っていることを知っていた。
1900年、新しい世紀を迎えるために、偉大な数学者David Hilbertは挑戦として立つために二十から三の問題のリストを提案しました。 彼のリストの10番目は、与えられた多項式ディオファントス方程式が解を持つかどうかを決定するアルゴリズムを提供することでした。 確かにすべてのリスト可能な集合がディオファントスであるならば、彼女は、特に計算不可能なディオファントス集合が存在し、ヒルベルトが求めていたようなアルゴリズムが存在しないことを意味することに気づいた。 これはヒルベルトの10番目の問題の負の解を構成するだろう。
1959年の夏、ロビンソンはMartin DavisとHilary Putnamによる論文のプレプリントを郵便で受け取った。 この論文には、J.R.を仮定すると、すべてのリスト可能な集合が実際にディオファントスであるという証明が含まれていた。 しかし、証明には重要なギャップがありました。 これは、シーケンスの連続した項の差が一定であるという特別な性質を持つ素数の任意の長いシーケンスがあるという事実を使用しました。 これは事実であるが、1959年には単なる仮説であり、2004年にのみ証明された。 ロビンソンはデイビスとパットナムの前の作品を非常によく知っていて、彼らの達成に驚きと喜びを表現しました。 非常に短い順序で、彼女は素数についての余分な仮説なしで行う方法を示し、証明の短いバージョンを見つけました。 したがって、ヒルベルトの第十問題の予想される負の解を得るためには、J.R.
これは1970年に有名なフィボナッチ数列1,1,2,3,5,8,13,…を使用して二十二歳のユーリ-マティヤセビッチによって達成されたことを証明するだけであった。 彼は、2つのパラメータa、bを持つディオファントス方程式を見つけ、bがこのシーケンスの2a番目の場所にあるフィボナッチ数である場合に備えて解を持っていることを証明することができました。 フィボナッチ数は指数関数的に成長するので、これはJ.R.RobinsonがMatiyasevichの独創的な証明に喜んでいて、家族が会ったレニングラードに旅した証拠を構成しました。 一緒に彼らはヒルベルトの第十の問題は、13の未知数の方程式でも解決できないことを示すことができました。 （後にMatiyasevichはその数を9に減らすことができました。)
コーダカリフォルニア大学で施行されている”縁故主義”ルールは、夫が教員にいた限り、ロビンソンの定期的な教員の任命を不可能にしていたであろう。 いずれにしても、彼女の健康上の問題はフルタイムの地位を排除していたかもしれません。 彼女は時折非常勤としてコースを教え、彼女は2人の優秀な博士課程の学生、Leonard AdlemanとKenneth Mandersの事実上の顧問を務めました。 ロビンソンは、彼女が40歳になるまでは生きられないという医者の予測に反したが、彼女の41歳の誕生日までに、彼女の傷ついた心臓は彼女を無効な地位に近づけた。 彼女は最近利用可能になった外科的処置によって救助され、彼女の状況を大幅に改善し、さらに二十から五年間活発な生活を送ることができました。
彼女の優れた作品は、1975年に数学部門に選出された最初の女性である国立科学アカデミーに選出されたことによって認識されました。 同年、カリフォルニア大学バークレー校の教授に就任した。
彼女の要請により、それは四半期の予定だった。 1983年にマッカーサー-フェローシップが設立された。 彼女は1983年から1984年、このオフィスを保持する最初の女性のためのアメリカ数学会の会長に選出された。 悲劇的に、彼女は彼女の任期を完了することができませんでした。 彼女は1984年の夏に白血病に苦しんでいることが判明しました。 短期間の寛解の後、ジュリア・ロビンソンは1985年7月30日にこの病気で死去した。
参考文献
ロビンソンの作品
“算術における定義可能性と決定問題。^”Journal of Symbolic Logic”14(1949):98-114. これはロビンソンの論文だった。 “一般的な再帰関数。”アメリカ数学会1（1950）の議事録：703-718。 上述した一つの引数の計算可能関数の特徴付けに加えて，他の多くの興味深い結果を論じた。 “算術における実存的定義可能性。”アメリカ数学会のトランザクション72(1952):437-449。 J.R.と呼ばれるようになった基本的な論文は、2のべき乗、素数、そして実際には完全な指数関数の実存的定義可能性を暗示することが示された。
マーティン-デイヴィスとヒラリー-パットナムと。”指数関数的ディオファントス方程式の決定問題。”数学の年代記74(1961):425-436. この論文では、J.R.がヒルベルトの第十問題の解かないことを意味することが証明された。 “超算術関数の紹介。^”Journal of Symbolic Logic32(1967):325-342. これは、ロビンソンの非常にuncomputableへの一つの遠足でした。
ユーリ-マティヤセヴィッチと共演。 “任意のディオファントス方程式を13個の未知数の一つに還元する。”Acta Arithmetica27(1975):521-553. 名手数論！ マーティン-デイヴィスとユーリ-マティヤセビッチと “ヒルベルトの第十の問題。 ディオファントス方程式：負の解の肯定的な側面。”ヒルベルト問題から生じる数学的発展では、フェリックス*ブラウダーによって編集されました。 プロビデンス、RI：アメリカ数学会、1976。
純粋数学におけるシンポジウムの議事28(1976):323-378. ヒルベルトの第十の問題の解かないだけでなく、数学的発展の証明の調査は、その作業は、その証明につながった四数学者の三によってそれに起因
ジュリア-ロビンソンの作品を収集しました。 Solomon
Fefermanによって編集されました。 プロビデンス、RI：アメリカ数学会、1996。 ロビンソンの出版物のすべての二十から五は、完全にここに転載されています。 さらに、FefermanがNational Academy of Sciencesのために書いた彼女についての素晴らしい伝記エッセイがあります。
その他の情報源
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—, ルーベン-ハーシュも “ヒルベルトの第十の問題。”
サイエンティフィック-アメリカン229(November1973):84-91. “Chauvenet Papers,Vol. 2、J.C.編集 アボット ワシントンDC:アメリカの数学協会、1978年。 Chauvenet-一般教育を受けた公衆のために意図されている賞獲得の記事。
マティヤセビッチ、ユーリ。 “ジュリア-ロビンソンとのコラボレーション。”
The Mathematical Intelligencer14(1992):38-45. 若いロシア人とはるかに古いアメリカの女性が一緒にエレガントな数学を生成するようになった方法の彼の話。
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1993。 非常に包括的な参考文献と学部数学専攻に適した優れた紹介と調査、。
リード、コンスタンス。 ジュリア、数学の人生。 ワシントンD.C.:
アメリカ数学協会、1996年。 ロビンソンの妹によって、それは写真、”ジュリア*ロビンソンの自伝”と題されたリードの有用な伝記、およびヒラリー*パットナムとの彼の仕事についてのマーティ
マーティン-デイヴィス
