(비.세인트.
로빈슨의 수학적 작업은 힘과 매력을 보여줍니다. 그녀는 어려운 문제를 해결하고 우아한 솔루션을 위해 노력했습니다. 그녀의 삶과 일은 남성이 지배하는 분야의 여성으로서 그녀가 개척자라는 것을 지적하지 않고는 제대로 볼 수 없습니다. 그녀는 수학,논리와 숫자의 이론,일반적으로 서로 함께 할 수있는 작은 생각을 두 가지 사이의 인터페이스했다. 그녀는 특히 스물 세 1900 년 수학자 데이비드 힐베르트에 의해 제안의 유명한 목록에서 10 번째 문제의 해결책에 그녀의 공헌에 대한 알려져있다. 그녀는 국립 과학 아카데미와 또한 미국 수학 협회의 대통령으로 선출되었다,두 경우 모두 최초의 여성 수학자 그래서 영광,그리고 맥아더 화목의받는 사람이었다.
초기 생활 태어난 줄리아 보먼,그녀는 초기에 두 가지 재앙을 겪었다. 그녀의 어머니가 죽었을 때 그녀는 단지 두 살이었고,그녀의 아버지는 줄리아와 그녀의 언니 콘스탄스에 대처하도록 남겨 두었습니다. 그의 재혼 후,가족은 서쪽으로 이동,궁극적으로 샌디에고,그녀의 의붓 자매 빌리가 태어난 곳. 줄리아는 아홉 살 때 그녀는 엄청난 질병을 시행:성홍열 류마티스 열 다음에. 그녀는 2 년간의 학교를 놓쳤고 그녀의 심장에 매우 심각한 손상을 입었습니다. 학문적으로 그녀는 탁월했고 곧 그녀의 잃어버린 땅을 만들었습니다. 고등학교에서 그녀는 고급 과학 및 수학 과정을 수강 할 수있는 유일한 여자이고 명예의 번호와 함께 졸업했다. 1936 년 그녀는 샌디에고 주립 대학,수학 전공 입력했습니다. 넓은 풍경을 추구,그녀는 그녀의 학년 버클리 캘리포니아 대학에 전송. 그녀는 그 해했다 5 수학 과정 중 하나는 숫자의 이론에 라파엘 로빈슨에 의해 진행됐다. 그녀의 능력에 감동,그는 대학원생으로 그녀의 연구를 계속 그녀를 설득. 라파엘은 광범위한 관심과 지식과 이상적인 스승의 수학자였다. 그러나 곧 그들의 관계는 더욱 개인적이되었고 1941 년 12 월에 결혼했습니다. 가족을 시작하려는 그들의 희망은 줄리아가 유산을 겪었을 때 파선되었고 의사가 심하게 손상된 심장 때문에 임신이 매우 위험 할 것이라고 경고했습니다. 그의 의견은 그녀가 마흔 살이되기 전에 그녀가 죽을 가능성이 높다는 것이 었습니다. 줄리아 깊은 우울증을 극복할 수 있도록 노력으로는 그녀가 떨어져 있던,라파엘 수학에서 위안을 추구하는 그녀를 격려했다.
수학적 배경 1930 년대는 아리스토텔레스에 의해 시작된 전통적인 분야와 크게 변경된 고대 논리의 주제에 혁명적 인 발전을 보았다. Kurt 괴델명 불완전성 정리했다고 지적하는 고유한 제한의 공식적인 시스템의 논리에 캡슐화하는 수학적습니다. 알론조 교회,앨런 튜링,그리고 에밀 포스트에 의해 작업뿐만 아니라 지 제 2 차 세계 대전 이후 자신의 특정 수학 문제에 대한 알고리즘 솔루션의 존재의 문제는 정확한 공식을 부여 할 수 있음을 보여 주었다. 이것은 특정 경우에 그러한 알고리즘 솔루션이 존재하지 않을 수 있으며 심지어 그러한 경우에도 이것이 입증 될 수있는 가능성을 열었습니다. 알프레드 타르 스키는 진리와 공식 언어의 정의 가능성에 대한 의미 론적 개념을 정의하는 방법을 설명했습니다. 이들은 줄리아 로빈슨의 연구의 컨텍스트를 제공 하는 개발 했다.
수학의 어떤 특정 분야는 그 주제에 근본적인 특정 작업과 관계를 위해 기호를 사용합니다. 이러한 기호 외에도 현대 수학 논리는 익숙한=기호와 함께 특수 기호
를 사용합니다. 하나는 언어를 구성하는 것으로 수학의 특정 지점에 해당하는 기호와 함께 이러한 기호를 말합니다. 줄리아 로빈슨의 작품은 크게 산술의 언어의 맥락에서 두 개의 기호+및 추가 및 곱셈,각각 서뿐만 아니라,0 과 1 에 대한 기호를 사용했다. 알파벳 문자는 변수로 사용되며 산술 언어의 경우 일반적으로 익숙한 자연수 0,1,2……에 따라 달라지는 것으로 이해되므로 예를 들어”문장”
는 두 개의 홀수를 추가하면 짝수가 생성된다는 진정한 제안을 표현합니다. 공식(유)(엑스=유+유+1)>그 자체로 홀수 집합을 정의합니다. 정의 가능성과 알고리즘의 존재에 대한 질문은 로빈슨의 작업에 기초했다.
자연수의 집합 에스 주어진 자연수에 대해 결정할 수있는 알고리즘이 있으면 계산 가능(또는 재귀 적)이라고합니다 엔 엔 에 속하는지 여부 에스.자연수의 집합은 나열 가능(줄리아 로빈슨이 선호하는 용어)또는 체계적으로 멤버 목록을 만드는 알고리즘이 있으면 재귀 적으로 열거 가능 에스.모든 해결 불가능한 결과는 핵심 정리의 결과로 생각할 수 있습니다.계산할 수없는 목록 가능한 집합이 있습니다. 이러한 문제는 로빈슨의 작업에서도 매우 중요했습니다.
줄리아 로빈슨의 논문 20 세기의 위대한 논리 학자 중 한 명인 카리스마 넘치는 알프레드 타르 스키가 이끄는 세미나에서 로빈슨이 그녀를 발견 한 것은 1974 년 11 월 19 일이었다. 타르스키는 1939 년 8 월 독일의 폴란드 침공이 제 2 차 세계대전을 침범하기 직전,미국에서 회의에 참석하기 위한 짧은 여행을 떠났었다. 타르스키는 로빈슨에게 끌려온 산술의 언어로 정의가능성에 대한 수많은 미해결 질문을 제기했다. 1940 년대에는 산술 언어로 주어진 문장이 자연수에 이르는 변수와 함께 사실인지 여부를 결정하는 알고리즘이 없다는 것이 잘 알려져있었습니다. 하나는 말한대로,이 알고리즘 해결할 수없는 문제입니다. 타르스키는 이 같은 언어에서 변수가 자연수 대신 모든 유리수의 범위를 넘도록 허용될 때 같은 것이 사실인지 알고 싶었습니다. (유리수는 분수로 표현할 수 있습니다 미디엄/엔 또는-미디엄/엔 여기서 미디엄 자연수이고 엔 0 이 아닌 자연수입니다.)그러한”결정 문제”를 다른 것으로”감소”하는 기술이 개발되었습니다. 이 경우 하나의 진실을 테스트하기위한 알고리즘이 있다면 변수가 유리수를 통해 변화 제한과 산술의 언어의 문장,이러한 알고리즘이 같은 변수를 할 알고리즘을 제출하는 데 사용할 수 있다는 것을 보여줄 것이다 자연수에 걸쳐 범위. 따라서 후자에 대한 그러한 알고리즘이 없기 때문에 전자에 대한 알고리즘이 없을 수도 있습니다.
로빈슨의 논문의 주요 결과는 산술 언어의 명시적인 공식이었고,유리수에 따라 변화하도록 제한되는 변수들,즉 정수의 집합(즉,자연수의 집합과 그 네거티브)을 정확하게 정의했다. 그런 다음 그 산술 문장의 진실을 결정하는 문제가 해결 못하는 경우에도 변수 범위를 통해 유리수 남아 따랐다. 다른 해결 불가능한 결과도 뒤 따랐다. 로빈슨의 접근 방식은 복잡하고 우아하며 독창적 인 숫자 이론에서 다소 깊은 아이디어를 사용했습니다.
우아한 특성화 로빈슨은 항상 그녀의 수학적 작업에서 우아함과 단순함을 추구했습니다. 그녀의 초기 논문 중 하나는,특히 간단한 방법으로,알고리즘 계산 함수(또한 재귀 함수라고도 함)그 자체로 자연수를 매핑하는 방법을 보여 주었다. 그녀의 아름다운 특성화에는 주어진 함수에서 새로운 기능을 얻기위한 두 가지 초기 기능과 세 가지 작업이 포함됩니다. 초기 함수 중 하나는 후속 함수입니다 에스(엑스)=엑스+1. 다른,어떤 로빈슨 전자를 호출,주어진 숫자와 그것을 초과하지 않는 가장 큰 완벽한 제곱 사이의 차이로 정의됩니다. (따라서 이자형(19)=19-16=3 과 이자형(25)=25-25=0.(1)주어진 함수에서 에프 과 지 함수 얻기 에프(엑스)=에프(지(엑스));(2)주어진 함수에서 에프 과 지 함수 얻기 에프(엑스)=에프(엑스)+지(엑스);그리고(3)주어진 함수에서 에프 그 값이 모든 자연수를 포함하는 함수를 얻습니다.
모든 계산 가능한 함수(자연수에서 자연수까지)는 두 개의 초기 함수로 시작하여 이 세 가지 연산을 반복해서 적용함으로써 얻을 수 있다는 것은 참으로 놀라운 일이다.
훨씬 후에 로빈슨은 계산 가능한 영역에서 멀리 떨어진 영역의 새로운 특성을 찾는 데 동일한 우아함과 열정을 보여주었습니다. 의 존재 목록 가능 세트 케이 계산할 수없는 것은 이미 언급되었습니다. 따라서 멤버십을 결정하는 알고리즘은 없습니다. 이러한 세트에 대한 멤버십 정보에 액세스 할 수있는 알고리즘으로 나열 할 수있는 세트를 고려함으로써(은유 적으로”오라클”을 통해)추가 세트를 폴드로 가져올 수 있으며이 프로세스를 반복 할 수 있습니다. 이 반복이 어떤 유한 횟수든지 생기는 허용해서,얻어진 세트는 정확하게 그 불린 산술,자연수에 배열하는 가수에 산술의 언어에서 정의가능한 세트인 것을 끈다. 그러나 여기서 멈출 필요가 없습니다. 비 산술 세트를 정의 한 다음”오라클”로 사용하여 더 많은 세트를 나열 할 수 있습니다. 이 과정은 끝이 오지 않는 자연적인 장소가있다,그래서 얻은 자연수의 집합은 대수적라고합니다. 그것은 로빈슨이 간단하고 직접적인 특성을 제공하는이 희박한 영역이었다.
실존 적 정의 가능성과 힐베르트의 열 번째 문제 줄리아 로빈슨이 가장 많이 기억되는 작품은 알프레드 타르 스키가 제기 한 단순한 문제에서 유래했다. 타르 스키는 기호 및 제외되는 경우 산술 언어의 공식에 의해 정의 할 수있는 자연수의 집합을 알고 싶었다. 그는 그러한 세트를 실존 적으로 정의 할 수 있다고 불렀고 세트{1,2,4,8,16,….}2 의 제곱은 실존 적으로 정의 할 수 없습니다. 이것이 바로 로빈슨이 좋아했던 문제였다. 실존 적 정의 가능성의 개념은 수 이론가들이 연구하는 종류의 문제,소위 디오판틴 문제와 밀접한 관련이있는 것으로 쉽게 볼 수 있습니다. 이것은 일반적으로 다항식 방정식 피(ㅏ,엑스,와이,지,유,브이,승,…. 이 매개 변수는 다음과 같습니다. 는”미지수.”(그러한 다항식은 단지 5 와 같은 용어의 합이라는 것을 상기하십시오.)이러한 종류의 특정 디오 판틴 방정식의 경우,수 이론가들은 매개 변수의 자연수 값을 결정하려고,방정식은 미지수의 자연수 솔루션을 가지고있다. 이제 간단한 표준 방법에 의해 그것은 쉽게 볼 수 있는 자연 수의 집합 에스 존재적으로 정의 할 수 있는 경우 및 경우에만 이 종류의 다항식 방정식 그런 에스 정확히 값의 집합입니다 매개 변수의 방정식에는 자연수 솔루션. 이러한 이유로,실존 적으로 정의 가능한 세트는 디오판 틴이라고도하며,이것은 후기 문헌에서 채택 된 용어입니다.
2 의 거듭 제곱이 디오판틴이 아니라는 타르스키의 추측을 증명하는데 아무런 성공을 거두지 못한 로빈슨은 타르스키의 추측이 틀렸을 가능성을 고려하기 시작했다. 어떤 진전을 이루기 위해서,그녀는 당시 입증되지 않은 어떤 가설을 가정해야 했습니다. 두 개의 매개 변수가있는 디오 판틴 방정식이 있다고 말합니다 ㅏ,비 그 속성과 쌍(ㅏ,비)방정식이 솔루션을 갖는 것은 비 의 함수로 기하 급수적으로 증가합니다 ㅏ.제이.아르 자형.그리고 복잡하고 독창적 인 분석을 수행함으로써 그녀는 2 의 거듭 제곱이 디오 판틴이라는 것뿐만 아니라 소수의 집합뿐만 아니라 다른 많은 숫자도 있음을 증명했습니다. 모든 디오 판틴 세트가 나열 가능하다는 것을 쉽게 알 수 있지만 이제 그녀는 그 대화가 사실인지,모든 목록 가능한 세트가 디오 판틴 일 수 있는지 궁금해했습니다. 이것은,그녀는 심오한 결과가 있을 것이라는 점을 알고 있었다.
1900 년,새로운 세기를 맞이하기 위해,위대한 수학자 데이비드 힐베르트는 도전으로 서 스물 세 문제의 목록을 제안했다. 그의 목록에있는 10 분의 1 은 주어진 다항식 디오 판틴 방정식이 솔루션을 가지고 있는지 여부를 결정하는 알고리즘을 제공하는 것이 었습니다. 실제로 모든 나열 가능한 세트가 디오 판틴이라면,그녀는 특히 힐베르트가 요구 한 것과 같은 알고리즘이 없을 수 있음을 암시하는 비 계산 가능한 디오 판틴 세트가 있다는 것을 깨달았습니다. 이것은 힐베르트의 10 번째 문제에 대한 부정적인 해결책을 구성 할 것입니다.
1959 년 여름,로빈슨은 마틴 데이비스와 힐러리 퍼트넘의 논문을 우편으로 받았다. 이 논문에는 모든 목록 가능한 세트가 실제로 디오 판틴이라는 증거가 포함되어 있습니다. 그러나 증거에는 중요한 격차가있었습니다. 이 시퀀스의 연속 용어 사이의 차이가 일정하다는 특별한 속성을 가진 소수의 임의로 긴 시퀀스가 있다는 사실을 사용했다. 이것이 사실이지만,1959 년에 그것은 단순한 가설이었다;그것은 단지 2004 년에 증명되었다. 로빈슨은 데이비스와 퍼트 냄의 이전 작품을 아주 잘 알고 있었고 그들의 성취에 놀라움과 즐거움을 표현했습니다. 아주 짧은 순서로,그녀는 소수에 대한 추가 가설없이 수행하는 방법을 보여 주었고 심지어 증거의 짧은 버전을 발견했습니다. 1970 년 1 월,유명한 피보나치 수열 1,1,2,3,5,8,13 을 사용하여 22 세의 유리 마티야세비치에 의해 성취되었다. 그는 두 개의 매개 변수와 디오 판틴 방정식을 발견 에이,비 그는 단지 경우에 솔루션을 입증 할 수 있었다 비는 피보나치 수 2 에이-이 시퀀스에서 번째 자리. 피보나치 숫자가 기하 급수적으로 증가 할 수 있기 때문에,이 제이의 증거를 구성 않았다. 그들의 협력은 결실;함께 그들은 힐베르트의 열 번째 문제도 13 미지수의 방정식에 대한 해결 못하는 것을 보여줄 수 있었다. (나중에 마티야세비치는 숫자를 9 로 줄일 수 있었다.
코다 캘리포니아 대학교에서 시행된”족벌주의”규칙은 그녀의 남편이 교수진에 있는 한 로빈슨에 대한 정규 교직원 임명을 불가능하게 만들었을 것이다. 어쨌든 그녀의 건강 문제가 풀 타임 직책을 배제했을 수도 있습니다. 그녀는 때때로 겸임 과목을 가르쳤으며,두 명의 우수한 박사 과정 학생 인 레너드 애들먼 과 케네스 맨 더스. 로빈슨은 40 세까지 살 수 없다는 의사의 예측에 반항했지만,41 번째 생일에 그녀의 손상된 심장은 그녀를 무효 상태에 가깝게 만들었다. 그녀는 최근에 이용할 수있게되었고 그녀의 상황을 크게 개선하여 25 년 동안 활동적인 삶을 살 수있게 해주는 수술 절차에 의해 구출되었습니다.
그녀의 뛰어난 작품은 1975 년 국립 과학 아카데미,최초의 여성 수학 섹션에 선출 될 그녀의 선거에 의해 인정 받았다. 같은 해 그녀는 마침내 버클리 캘리포니아 대학에서 교수의 약속을 제안했다.
그녀의 요청에 그것은 분기 시간 약속이었다. 맥아더 펠로우쉽은 1983 년에 나왔습니다. 그녀는 1,983 에서 1,984 사이,이 사무실을 개최하는 최초의 여성 미국 수학 협회의 대통령으로 선출되었다. 비극적으로 그녀는 임기를 마칠 수 없었습니다. 그녀는 1984 년 여름 동안 백혈병으로 고통 받고있는 것으로 밝혀졌습니다. 잠시 완화된 후,줄리아 로빈슨은 1985 년 7 월 30 일 이 병으로 사망했다.
참고 문헌
로빈슨의 작품
“산술에서의 정의 가능성과 결정 문제.”기호 논리 저널 14(1949):98-114. 이것은 로빈슨의 논문이었습니다. “일반 재귀 함수.”미국 수학 학회 회보 1(1950):703-718. 위에서 설명한 한 인수의 계산 가능한 함수의 특성 이외에,다른 많은 흥미로운 결과는이 논문에서 설명합니다. “산술에서의 실존 적 정의 가능성.”미국 수학 협회의 거래 72(1952):437-449. 2,소수,그리고 실제로,전체 지수 함수의 제곱의 실존 적 정의를 의미하는 것으로 나타났다.
마틴 데이비스와 힐러리 퍼트 냄과 함께.”지수 디오 판틴 방정식에 대한 결정 문제.”수학 연대기 74(1961):425-436. 그것은이 신문에 그 제이 알 힐버트의 열 번째 문제의 해결 불가능을 의미 입증했다. “초 산적 함수에 대한 소개.”기호 논리 저널 32(1967):325-342. 이것은 로빈슨의 한 번의 여행이었습니다.
유리 마티야세비치와 함께. “임의의 디오 판틴 방정식을 13 개의 미지수 중 하나로 줄입니다.”악타 산 페티 카 27(1975):521-553. 거장 수 이론! 마틴 데이비스와 유리 마티야 세 비치. “힐베르트의 열 번째 문제. 디오 판틴 방정식:부정적인 해결책의 긍정적 측면.”힐버트 문제에서 발생하는 수학적 발전에서,펠릭스 브라우에 의해 편집. 프로비던스,리:미국 수학 협회,1976.
순수 수학 심포지엄 논문집 28(1976):323-378. 힐버트의 열 번째 문제의 해결의 증거뿐만 아니라 수학적 발전의 세 누구의 작품 그 증거를 주도 4 수학자에 의해 형태소 분석 설문 조사.
줄리아 로빈슨의 수집 된 작품. 솔로몬
페퍼 맨에 의해 편집. 프로비던스,리:미국 수학 협회,1996. 로빈슨 출판물의 모든 스물 다섯 전체 여기에 재 인쇄됩니다. 또한,그녀는 국립 과학 아카데미에 대한 페퍼 맨에 의해 작성에 대한 좋은 전기 에세이가있다.
기타 출처
데이비스,마틴. “힐버트의 열 번째 문제는 해결할 수 없습니다.”
미국 수학 월간 80(1973):233-269;마틴 데이비스가 편집 한 계산 가능성과 해결 불가능성에 대한 부록으로 재 인쇄. 뉴욕:도버,1983. 힐베르트의 열 번째 문제의 해결 불가능의 완전한 증거를 제공하는 스틸 수상 경력에 빛나는 에세이. 도버 재판은 계산 이론의 첫 번째 책 길이 치료 중 하나입니다.
—, 그리고 르우벤 허쉬. “힐베르트의 열 번째 문제.”
사이언티컬 아메리칸 229(1973 년 11 월):84-91. 차우 베넷 논문에 재판,권. 2,제이에 의해 편집. 애보트 1978 년 미국 수학 협회. 일반 교육 대중을 대상으로 기사 우승 운전사-수상.
마티야세비치,유리. “줄리아 로빈슨과의 협력.”
수학 정보 제공자 14(1992):38-45. 어떻게 젊은 러시아와 훨씬 더 오래된 미국 여성의 그의 이야기는 우아한 수학을 함께 생산했다.
———. 힐버트의 열 번째 문제. 1993 년 10 월 15 일-1994 년 10 월 15 일. 매우 포괄적 인 참고 문헌과 함께 학부 수학 전공에 적합한 우수한 소개 및 설문 조사.
리드,콘스탄스. 줄리아,수학의 삶. 1974 년 미국 수학 협회,1996. 로빈슨의 여동생으로는 사진,리드의 유용한 전기,”줄리아 로빈슨의 자서전”,마틴 데이비스의 힐러리 퍼트 냄과의 작업에 대한 간략한 메모가 있습니다.
마틴 데이비스
