1949 년 헤르만 바일의 초청으로 뉴저지 프린스턴에 있는 고급 연구소를 방문했다. 그는 이후 또한 1952 년 프린스턴 대학에서 부교수로 임명되었고,1955 년 교수로 승진했다. 이 때 호지 이론의 기초는 운영자 이론에 현대적인 기술과 일치하게되고 있었다. 코다이라 신속하게이 대수 기하학에서 열어 도구를 악용에 참여했다,그것은 사용할 수있게되었다 뭉치 이론을 추가. 이 작품은 예를 들어 프리드리히 히 르제 브루흐에 특히 영향력이있었습니다.
두 번째 연구 단계에서,코다이라는 도널드 스펜서와 협력하여 매니 폴드에 대한 복잡한 구조의 변형 이론을 창안 한 긴 일련의 논문을 썼다. 이것은 일반적으로 이러한 구조가 매개 변수에 지속적으로 의존하기 때문에 모듈리 공간의 구성 가능성을 제공했습니다. 그것은 또한 뭉치 동족체 그룹을 식별,홀로 모픽 접선 번들과 관련된 뭉치에 대한,그 모듈리 공간의 차원에 대한 기본 데이터를 수행,및 변형에 장애물. 이 이론은 여전히 기초이며,또한 그로텐딕의(기술적으로 매우 다른)계획 이론에 영향을 미쳤다. 스펜서는이 작업을 계속하면서 다음과 같은 복잡한 구조 이외의 구조에 기술을 적용했습니다.
그의 작품의 세 번째 주요 부분에서,코다이라 다시 1960 년 경부터 대수 표면의 분류를 통해 복잡한 매니폴드의 복리 기하학의 관점에서 일했다. 이 2 차원 컴팩트 복잡한 매니폴드 7 종류의 유형학,고전적으로 알려진 5 대수 유형을 복구 결과;다른 두 비-대수적되고. 그는 곡선을 통해 표면의 타원 섬유화,또는 대수 함수 필드를 통해 다른 언어 타원 곡선,누구의 산술 아날로그 곧 나중에 중요한 입증 이론에 대한 자세한 연구를 제공했다. 이 작품은 또한 특성을 포함 케이 3 표면의 변형으로 사분면 에 피 4,그리고 정리 그들은 단일 이형 클래스를 형성합니다. 다시 말하지만,이 작업은 기초가 입증되었습니다. (케이 3 표면 이름을 따서 명명되었습니다 에른스트 쿠머,에리히 케이 케이 헬러,및 코다이라).
