(fl. China, ca, A. D. 250)
wiskunde.Er is niets bekend over het leven van Liu Hui, behalve dat hij floreerde in het Koninkrijk Wei tegen het einde van de periode van de Drie Koninkrijken (a.d. 221-265). Zijn wiskundige geschriften, aan de andere kant, zijn bekend; zijn commentaar op de Chiu-chang suan-shu (“negen hoofdstukken over de wiskundige kunst”) heeft een diepgaande invloed uitgeoefend op de Chinese wiskunde voor meer dan 1000 jaar. Hij schreef een ander belangrijk, maar veel korter werk: de Hai-tao suan-ching (“Sea Island Mathematical Manual”).Sommige geleerden geloven dat de Chiu-chang suan-shu, ook wel de Chiu-chang suan-ching(“wiskundig handboek in negen hoofdstukken”) genoemd, al bestond in China tijdens de derde eeuw voor Christus Ch ‘ien Paotsung, in zijn Chung-kuo suan-hsüeh-shih, en Chang Yin-lin (Yenching Hsüeh Pao, 2 , 301) hebben opgemerkt dat de titels van bepaalde ambtenaren vermeld in de problemen dateren uit Ch’ in en eerder (derde en begin tweede eeuw v.Chr.). Er zijn ook verwijzingen die moeten wijzen op een belastingstelsel van 203 BC. Volgens Liu Hui ’s voorwoord werd het boek verbrand in de tijd van keizer Ch’ in Shih-huang (221-209 v.Chr.); maar de restanten ervan werden later teruggevonden en in orde gebracht. In de volgende twee eeuwen werden Commentaren op dit boek geschreven door Chang Ts ‘ ang (fl. 165-142 b.c) en Keng Shou-ch ‘ ang (fl. 75-49 b.c.). In een studie van Ch ‘ien Pao-tsung (1963) wordt uit intern tekstueel bewijs gesuggereerd dat de Chiu-chang suan-shu tussen 50 v.Chr. en a.d. 100 is geschreven en dat het twijfelachtig is of Chang Ts’ ang en Keng Shou-ch ‘ ang iets met het boek te maken hadden. Toch geloofden Li Yen en tu Shih-jan, beide collega ’s van Ch’ ien Pao-tsung, nog steeds Liu Hui ‘ s Voorwoord toen ze in hetzelfde jaar over de Chiu-chang suan-shu schreven.In de zevende eeuw werden zowel de Chiu-chang suan-shu als de Hai-tao suan-ching (a.d. 263) opgenomen in Suan-ching shih-shu (“Ten Mathematical Manuals,” a.d. 656), waaraan de T ‘ ang wiskundige en astronoom Li Shun-feng (602-670) zijn annotaties en commentaren toevoegde. Deze werken werden dan standaardteksten voor studenten wiskunde; officiële voorschriften voorgeschreven dat drie jaar worden gewijd aan de werken van Liu Hui. Liu Hui ‘ s werken vonden ook hun weg naar Japan met deze wiskundige handleidingen. Toen in 702 scholen in Japan werden opgericht en wiskunde werd onderwezen, behoorden zowel de Chiu-chang suan-shu als de Hai-tao suan-ching tot de voorgeschreven teksten.Volgens Ch ‘eng Ta-wei’ s wiskundige verhandeling, De Suan-fa t ‘ ung-tsung (“systematische verhandeling over rekenkunde”; 1592), werden zowel de Chiu-chang suan-shu als de Hai-tao suan-ching voor het eerst officieel gedrukt in 1084. Er was een andere gedrukte versie van hen door Pao Huan-chih in 1213. In het begin van de vijftiende eeuw werden ze, hoewel aanzienlijk herschikt, opgenomen in de enorme Ming-encyclopedie, De Yung-lo ta-tien (1403-1407). In het tweede deel van de achttiende eeuw reconstrueerde Tai Chen (1724-1777) deze twee teksten na ze stukje bij beetje uit de Yung-lo naar-tillen te hebben gehaald. Ze werden vervolgens door K ‘ung Chi-han (1739-1787) opgenomen in zijn Wei-po-hesieh ts’ ung-shu (1773). Drie jaar later drukte ch ‘ u Tseng-fa ze apart met voorwoord van Tai Chen.Andere reproducties gebaseerd op Tai Chen ’s reconstructie in de Wei-po-hsieh ts’ ung-shu zijn te vinden in de Suan-ching shih-shu (“Ten Mathematical Manuals”) van Mei Ch ‘i-chao (1862 en in de Wan-yu-wen-K’ u (1929-1933) en Ssu-pu TS ‘ung-k’ an serie (1920-1922). Twee negentiende-eeuwse geleerden, Chung Hsiang en Li Huang, ontdekten dat bepaalde passages in de tekst onbegrijpelijk waren geworden door Tai Chen ‘ s poging om de oorspronkelijke tekst van de Chiu-chang suan-shu te verbeteren. Een fragment uit de vroege dertiende-eeuwse editie van de Chiu-chang suan-shu. bestaande uit slechts vijf hoofdstukken, werd gevonden tijdens de zeventiende eeuw in Nanking, in de particuliere bibliotheek van Huang Yü-chi (1629-1691). Dit exemplaar werd gezien door de beroemde Ch ‘ing-geleerde Mei Wen-ting (1633-1721) in 1678, en kwam later in het bezit van K’ ung Chi-han (1739-1784) en vervolgens Chang Tun-jen (1754-1834); uiteindelijk werd het verworven door de Shanghai Library, waar het nu wordt bewaard. In 1684 maakte Mao I (1640-na 1710) een handgeschreven kopie van de originele tekst uit de bibliotheek van Huang Yü-chi. Dit exemplaar werd later verworven door de keizer tijdens de ch ‘ ien-lung regeerperiode (1736-1795). In 1932 werd het gereproduceerd in de T ‘ien-lu-lin-lang TS’ ung-shu serie.In 1261 schreef Yang Hui de Hsiang-csieh chiu-chang suan-fa (“Detailed Analysis of the Mathematical Rules in the Nine Chapters”) om de problemen in de Chiu-chang suan-shu op te helderen. Ch ‘ien Pao-tsung verzamelde in 1963 de tekst van de Chiu-chang suan-shu uit Tai Chen’ s versie, de fragmenten van de laat gezongen editie zoals gereproduceerd in de T ‘ien-lu-lin-lang TS’ ung-shu serie, en Yang Hui ‘ s Hsiang-chieh chiu-chang suan-fa.
wat de Hai-tao suan-ching betreft, blijft alleen de gereconstrueerde versie van Tai Chen over. Het werd gereproduceerd in de Wu-ying-tien palace edition (voor 1794), de “tien wiskundige handleidingen” in K ‘ung Chi-han’ s Wei-po-hsieh ts ‘ung-shu, en de bijlage bij Chü Tseng-fa’ s Chiu-chang suan-shu.Het Chiu-chang suan-shu was bedoeld als een praktisch handboek, een soort hulpmiddel voor architecten, ingenieurs, ambtenaren en handelaars. Dit is de reden voor de aanwezigheid van zoveel problemen op het bouwen van kanalen en dijken, stadsmuren, belastingen, ruilhandel, openbare diensten, enz. Het bestaat uit negen hoofdstukken, met in totaal 246 problemen. De hoofdstukken kunnen als volgt worden samengevat::
(1) Fang-t ‘ ien (“landmeetkunde”) bevat de regels voor het vinden van de gebieden van driehoeken, trapezoã den, rechthoeken, cirkels, sectoren van cirkels, en annuli. Het geeft regels voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van breuken. Er is een interessante maar onnauwkeurige formule voor het gebied van het segment van a waar het akkoord c en de sagitta s bekend zijn, in de vorm s (c + s) / 2. Deze uitdrukking verscheen later in de negende eeuw in Mahāvīra ‘ s Ganitasārasangraha.
van bijzonder belang is de waarde van de verhouding tussen de omtrek van een cirkel en de diameter die Liu Hui heeft gebruikt. De Oude waarde van π die in China werd gebruikt was 3, maar sinds de eerste eeuw waren Chinese wiskundigen op zoek naar een meer nauwkeurige waarde. Liu Hsin (d.a. d.23) gebruikte 3.1547, terwijl Chang Hen (78-139) √10 en 92/29 gaf. Wang Fan (219-257) vond 142/45, en toen gaf Liu Hui 3,14. De belangrijkste namen in dit verband zijn echter die van Tsu Ch ‘ung-chih (430-501), een briljante wiskundige, astronoom en ingenieur van de Liu Sung en Ch’ i dynastieën, en zijn zoon, Tsu Cheng-chih. Tsu Ch ‘ung-chih gaf twee waarden voor π eerst een “onnauwkeurige” (yo lü), gelijk aan 22/7, eerder gegeven door Archimedes, en vervolgens een “nauwkeuriger” ((mi lu)), 355/113 (3.1415929). Hij zocht zelfs naar verdere benaderingen en vond dat π ligt tussen 3.1415926 en 3.1415927. Zijn methode werd waarschijnlijk beschreven in de Chui Shu, die hij en zijn zoon schreven, maar is nu verloren. Tsu Ch ‘ung-chih’ s waarde van 355/113 Voor π verdween voor vele eeuwen in China totdat het opnieuw werd opgenomen door Chao Yu-Ch ‘ In (fl, ca. 1300)). Liu Hui heeft de accurate waarde 3.14 verkregen door de verhouding van de omtrek van een regelmatige veelhoek van zesennegentig zijden te nemen tot de diameter van een cirkel die deze veelhoek omsluit. Laten we beginnen met een gewone zeshoek van zijde L6. De verhouding van de omtrek van de zeshoek tot de diameter van de cirkel die deze omsluit is 3. Als we de zeshoek veranderen in een regelmatige veelhoek van twaalf zijden, zoals weergegeven in Figuur 1—opmerkend dat L6 = r, de straal van de omschreven cirkel—dan wordt de zijde van de twaalfzijdige veelhoek gegeven door
dus, als Lnis bekend is, dan kan L2n worden gevonden uit de uitdrukking
waarbij r = 1, de volgende waarden worden gevonden: L6 = 1; L12 = 0,517638; L24 = 0,261052; L48 = 0,130806; L96 = 0,065438.
de omtrek van een regelmatige veelhoek van n = 96 en r = 1 is 96 × 0,065438 = 6,82048. Vandaar π = 6.282048 / 2 = 3.141024, of ongeveer 3.14. Liu Hui gebruikte ook een veelhoek van 3.072 zijden en behaalde zijn beste waarde, 3.14159.
(2) Su-mi (“gierst en rijst”) behandelt percentages en verhoudingen. Onbepaalde vergelijkingen worden vermeden in de laatste negen problemen in dit hoofdstuk door het gebruik van verhoudingen.
(3) Ts ‘ UI-fen(“distributie door progressie”) betreft de verdeling van eigenschappen tussen partners volgens bepaalde percentages. Het omvat ook problemen in de belasting van goederen van verschillende kwaliteiten, en andere in rekenkundige en geometrische progressies, allemaal opgelost door het gebruik van verhoudingen.
(4)Shao-kuang (“afnemende breedte”) omvat het vinden van de zijden van een rechthoek wanneer het gebied en een van de zijden worden gegeven, de omtrek van een cirkel
wanneer het gebied bekend is, de zijde van een kubus gegeven het volume, en de diameter van een bol met bekend volume. Het gebruik van de kleinste gemene veelvoud in fracties wordt weergegeven. Het is interessant dat eenheidsfracties bijvoorbeeld worden gebruikt in opgave 11 in dit hoofdstuk. De gegeven breedte van een rechthoekige vorm wordt uitgedrukt als
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
de problemen in dit hoofdstuk leiden ook tot de extractie van vierkantswortels en kubuswortels; probleem 13, bijvoorbeeld, houdt in het vinden van de vierkantswortel van 25.281. Volgens de methode die in de Chiu-chang suan-shu wordt gegeven, wordt dit getal, bekend als de Shih (dividend), eerst geplaatst in de tweede rij vanaf de bovenkant van het telbord. Vervolgens wordt een telstaaf, de voorlopige chieh-suan genoemd, op de onderste rij van het telbord geplaatst in de verste rechter cijferkolom. Deze staaf wordt naar links verplaatst, twee plaatsen tegelijk, als voor als het kan gaan zonder overschrijding van het verste linker cijfer van het nummer in de Shih rij. Met zijn nieuwe plaatswaarde wordt deze hengel de chieh-sucn genoemd. Het is weergegeven in Figuur 2a.
het eerste cijfer van de wortel ligt tussen 100 en 200. Dan 1 wordt genomen als de eerste figuur van de wortel en wordt geplaatst op de bovenste rij in de kolom honderden. De bovenste rij heet fang. De chieh-suan wordt vermenigvuldigd met het eerste cijfer van de wortel. Het product, genaamd fa, wordt in de derde rij geplaatst. De shih (25,281) minus de fa (10.000) laat de “eerste rest” (15,281) achter, die op de tweede rij staat geschreven, zoals in Figuur 2b. nadat de verdeling is gemaakt, wordt de fa verdubbeld om de ting-fa te vormen. Dit wordt één cijfer naar rechts verplaatst, terwijl de chieh-suan twee cijfers naar rechts wordt verschoven, zoals getoond in Figuur 2c.
het tweede cijfer, geselecteerd door vallen en opstaan, ligt tussen 5 en 6. Het cijfer van de TEN’ s wordt daarom op 5 gesteld en zal op de bovenste rij van figuur 2e in de juiste positie worden geplaatst. De chieh-suan (die nu 100 is) wordt vermenigvuldigd met dit tweede cijfer en het product wordt toegevoegd aan de ting-fa, die 2.500 wordt. De ting-fa vermenigvuldigd met 5 wordt afgetrokken van de eerste rest, die een rest van 2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), zoals in Figuur 2d. de ting-fa wordt vervolgens een cijfer naar rechts verschoven en de chieh-suan twee plaatsen (zie figuur 2e). Het derde cijfer, opnieuw geselecteerd door vallen en opstaan, blijkt 9 te zijn. Deze eenheid cijfer wordt geplaatst in de juiste positie op de bovenste rij. De Chieh-suan, die nu 1 is, wordt vermenigvuldigd met dit derde cijfer en het product wordt toegevoegd aan de ting-fa, die 259 wordt. De tweede rest wordt gedeeld door de ting-fa, die een rest van nul laat(2,781 ÷ 259 = 9 +0). Het antwoord is dus 159 (zie figuur 2f).
(5) Shang-kung (“Consultations on Engineering Works”) geeft de volumes van vaste figuren als het Prisma, De Piramide, de tetraëder, de wig, de cilinder, de kegel en het frustum van een kegel:
(a) Volume van het vierkante prisma = vierkant van de zijde van de basis maal de hoogte.
(b) volume van de cilinder =1/12 vierkant van omtrek van de cirkel keer hoogte (waarbij π wordt genomen om ongeveer 3).
(c) Volume van de afgeknotte vierkante piramide = 1/3 de hoogte maal de som van de vierkantjes van de zijkanten van de bovenste en onderste vierkantjes en het product van de zijkanten van de bovenste en onderste vierkantjes.
(d) Volume van de vierkante piramide = 1/3 van de hoogte maal het vierkant van de zijkant van de basis.
(e) volume van de frustum van een cirkelvormige kegel = 1/36 de hoogte maal de som van de kwadraten van de omtrekken van de boven-en onderzijde van de cirkelvlakken en het product van deze twee omtrekken (waarbij π wordt genomen op ongeveer 3).
(F) Volume van de ronde kegel = 1/36 de hoogte maal het kwadraat van de omtrek van de basis (waarbij π ongeveer 3 wordt genomen).
(g) volume van een rechthoekig prisma = 1/2 het product van de breedte, de lengte en de hoogte.
(h) Volume van een rechthoekige piramide = 1/3 het product van de breedte en lengte van de basis en de hoogte.
(I) volume tetraëder met twee tegenover elkaar staande randen = 1/6 het product van de twee loodrechte tegenover elkaar staande randen en de loodrecht op deze twee randen.(6) Chün-shu (“onpartijdige belasting”) betreft problemen in verband met achtervolging en alligatie, met name in verband met de tijd die de belastingbetalers nodig hebben om hun graanbijdragen van hun geboortestad in de hoofdstad te krijgen. Het behandelt ook de ratio ‘ s in verband met de verdeling van de belastingdruk over de bevolking. Probleem 12 in dit hoofdstuk zegt:
een goede loper kan 100 passen lopen terwijl een slechte loper 60 passen gaat. De slechte loper heeft een afstand van 100 stappen afgelegd voordat de goede loper hem achtervolgt. In hoeveel stappen zal de goede loper inhalen?
(7) Ying pu-tsu of ying-nü (“overmaat en tekort”). Ying, verwijzend naar de volle maan, en pu-tsu of nü naar de nieuwe maan, betekenen respectievelijk “te veel” en “te weinig”. Deze sectie behandelt een Chinese algebraïsche uitvinding die voornamelijk wordt gebruikt voor het oplossen van problemen van het type ax + b = 0 op een nogal omdraaiende manier. De methode werd in Europa bekend als de regel van valse posities. In deze methode worden twee gissingen gemaakt, x1 en x2, die leiden tot waarden c1 en c2, respectievelijk groter of kleiner dan 0. Uit deze hebben we de volgende vergelijkingen:
vermenigvuldigen (1) met x2 en (2) met x1, we hebben
uit (1) en (2),
vandaar
Probleem 1 in dit hoofdstuk zegt:
In een situatie waarin bepaalde zaken gezamenlijk worden gekocht , is het overschot 3 als elke persoon 8 betaalt en is het tekort 4 als elke persoon 7 betaalt. Zoek het aantal personen en de prijs van de dingen gebracht.
volgens de methode van overmaat en deficiëntie worden de percentages (dat wil zeggen de “gissingen” 8 en 7) eerst op het telbord vastgesteld, waarbij de overmaat (3) en deficiëntie (-4) daaronder worden geplaatst. De tarieven worden vervolgens gekruist vermenigvuldigd met de overmaat en tekort, en de producten worden toegevoegd om het dividend te vormen. Vervolgens worden de overmaat en deficiëntie bij elkaar opgeteld om de deler te vormen. Het quotiënt geeft de juiste hoeveelheid geld te betalen door elke persoon. Om het aantal personen te krijgen, voeg de overmaat en tekort en deel de som door het verschil tussen de twee tarieven. Met andere woorden, x en a worden verkregen met behulp van de vergelijkingen (5) en (4) hierboven.
soms kan een eenvoudig probleem worden omgezet in een probleem waarbij gebruik wordt gemaakt van de regel van onjuiste positie. Opgave 18 in hetzelfde hoofdstuk zegt:
er zijn 9 goudstukken en 11 zilverstukken. De twee partijen wegen hetzelfde. Een stuk wordt genomen van elke partij en zet in de andere. De partij die voornamelijk goud bevat, weegt nu minder dan de partij die voornamelijk zilver bevat met 13 ounces. Zoek het gewicht van elk stuk goud en zilver.
hier worden twee schattingen gemaakt voor het gewicht van goud. De methode zegt dat als elk stuk goud 3 pond weegt, dan zou elk stuk zilver 2 5/11 pond wegen, wat een tekort van 49/11 ounces geeft; en als elk stuk goud 2 pond weegt, dan zou elk stuk zilver 1 7/11 pond wegen, wat een overmaat van 15/11 ounces geeft. Hierna wordt de regel van valse positie toegepast.
(8) Fang-ch ‘ eng (“Calculation by Tabulation”) houdt zich bezig met simultane lineaire vergelijkingen, waarbij zowel positieve als negatieve getallen worden gebruikt. Opgave 18 in dit hoofdstuk betreft vijf onbekenden, maar geeft slechts vier vergelijkingen, waarmee de onbepaalde vergelijking wordt aangekondigd. Het proces van het oplossen van simultane vergelijkingen die hier gegeven wordt, is dezelfde als de moderne procedure voor het oplossen van de gelijktijdige systeem
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b2y + c3z = d3,
behalve dat de coëfficiënten en constanten zijn ingedeeld in verticale kolommen in plaats van geschreven horizontaal:
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3.
in dit hoofdstuk verklaart Liu Hui ook de algebraïsche optelling en aftrekking van positieve en negatieve getallen. (Liu Hui gaf positieve en negatieve getallen aan door respectievelijk rode en zwarte rekenstaven.)
(9) Kou-ku (“rechte hoeken”) behandelt de toepassing van de stelling van Pythagoras. Enkele van de problemen zijn als volgt:
een cilindrisch stuk hout met een doorsnede van 2 voet, 5 inch, moet worden gesneden in een stuk plank 7 inch dik. Wat is de breedte? Er is een boom 6 meter hoog en 3 meter in omtrek.Een klimplant kronkelt zeven keer rond de boom en bereikt net de top. Vind de lengte van de wijnstok, er is een vijver 7 voet vierkant met een riet groeit in het Midden en het meten van Ik voet boven het water. Het riet bereikt net de oever bij het waterpeil als het er naar toe getrokken wordt. Zoek de diepte van het water en de lengte van het riet.
er is een bamboe 3 meter hoog. Wanneer gebogen, het bovenste uiteinde raakt de grond 3 meter afstand van de steel. Zoek de hoogte van de pauze,
het is interessant dat een probleem vergelijkbaar met 13 verscheen in Brahmagupta ‘ s werk in de zevende eeuw.
probleem 20 heeft nog meer belangstelling gewekt:
er is een vierkante stad met een onbekende dimensie. Een poort is aan het midden van elke kant. Twintig stappen buiten de noordelijke poort is een boom. Als men 14 stappen loopt vanaf de zuidelijke poort, naar het westen draait, en 1.775 stappen neemt, zal de boom gewoon in zicht komen. Zoek de lengte van de zijkant van de stad.
het boek geeft aan dat het antwoord kan worden verkregen door de wortel van de kwadratische vergelijking te veranderen.
x2 + (14 + 20) x = 2(1775 × 20).
de methode voor het oplossen van deze vergelijking wordt niet beschreven. Mikami suggereert dat het zeer waarschijnlijk is dat de wortelextractie werd uitgevoerd met een extra term in de eerste graad coëfficiënt in het onbekende en dat deze extra term tsung werd genoemd, maar in zijn letterlijke vertaling van sommige delen van de tekst betreffende wortelextracties merkt hij niet dat de opeenvolgende stappen nauw overeenkomen met die in Horners methode. Ch ‘ ien Pao-tsung en Li Yen hebben beide geprobeerd de in de Chiu-chang suan-shu beschreven methode te vergelijken met die van Horner, maar ze hebben de tekstuele onduidelijkheden niet verduidelijkt. Wang Ling en Needham zeggen dat het mogelijk is te laten zien dat als de tekst van de Chiu-chang suan-shu is zeer zorgvuldig gevolgd, de essentie van de methoden die worden gebruikt door de Chinezen voor het oplossen van numerieke vergelijkingen van de tweede en hogere graden, vergelijkbaar met die ontwikkeld is door Horner in 1819, aanwezig zijn in een werk dat kan worden gedateerd in de eerste eeuw-b.c.
De Hai-tao suan-ching, oorspronkelijk bekend onder de naam Ch ‘ ung ‘ ch ‘a (de”Methode van de Dubbele Verschillen”), werd toegevoegd aan de Chiu-chang suan-shu als haar tiende hoofdstuk. Het werd gescheiden van de hoofdtekst in de zevende eeuw, toen de “tien wiskundige handleidingen” werden gekozen, en kreeg de titel Hai-tao suan-cluig. Volgens Mikami was de term ch ‘ung ch’ a bedoeld om dubbele of herhaalde toepassing van verhoudingen van de zijden van rechthoekige driehoeken te betekenen. De naam Hai-tao kwam waarschijnlijk uit het eerste probleem van het boek, dat gaat over een eiland in de zee. Het boek bestaat uit slechts negen problemen en staat gelijk aan minder dan één hoofdstuk van de Chiu-chang suan-shu.
in zijn voorwoord beschrijft Liu Hui de klassieke Chinese methode om de afstand van de zon tot de platte aarde te bepalen door middel van dubbele triangulatie. Volgens deze methode werden twee verticale polen van acht voet hoog geplaatst op hetzelfde niveau langs dezelfde meridiaan, één in de oude Chou-hoofdstad Yan-ch ‘ eng en de andere 10.000 li (1, li = 1800 voet) naar het noorden. De lengte van de schaduwen die door de zon op de middag van de zomerzonnewende werden geworpen, werd gemeten, en daaruit kon de afstand van de zon worden afgeleid. Liu Hui laat vervolgens zien hoe dezelfde methode kan worden toegepast op meer alledaagse voorbeelden. Probleem 1 zegt:
een zee-eiland wordt van een afstand bekeken. Twee palen, elk 10 meter hoog, zijn op hetzelfde niveau 1000 pu uit elkaar geplaatst, zodat de paal aan de achterkant in een rechte lijn staat met het eiland en de andere paal. Als men 123 pu van de dichtstbijzijnde paal terug beweegt, is de top van de net zichtbaar door het einde van de paal als hij het vanaf de grond bekijkt. Als hij 127 pu van de andere paal terug beweegt, is de top van het eiland net zichtbaar door het einde van de paal als hij vanaf de grond gezien wordt. Vind de hoogte van het eiland en de afstand tot de pool. de pool is 102 li, 150 pu (300 pu = 1 li).]
de regel voor het oplossen van dit probleem wordt als volgt gegeven:
vermenigvuldig de hoogte van de paal met de afstand tussen de polen en deel het product door het verschil tussen de afstanden die men vanaf de Polen terug moet lopen om het hoogste punt van het eiland te bekijken. Het toevoegen van de hoogte van de pool aan het quotiënt geeft de hoogte van het eiland. Om de afstand van de dichtstbijzijnde pool naar het eiland te vinden, vermenigvuldig je de afstand die terug gelopen is van die pool met de afstand tussen de Polen. Het product delen door het verschil tussen de afstanden die men vanaf de Polen terug moet lopen geeft die afstand.
Probleem 7 is van bijzonder belang:
een persoon kijkt in een afgrond met een stuk witte rots op de bodem. Vanaf de kust is een dwarsbalk gedraaid om te liggen aan de kant die normaal rechtop staat . Als de basis is 3 voet en men kijkt naar het oppervlak van het water van de top van de basis, de lijn van het zicht voldoet aan de hoogte van de dwarsbalk op een afstand van 4 voet, 5 inches; en wanneer men kijkt naar de rots, de lijn van het zicht voldoet aan de hoogte van de dwarsbalk op een afstand van 2 voet, 4 inches. Een soortgelijke dwarsbalk is opgesteld 4 voet boven de eerste. Als men kijkt vanaf het uiteinde van de basis, de lijn van het zicht op het wateroppervlak zou voldoen aan de hoogte van de dwarsbalk op een afstand van 4 voet; en als men kijkt naar de rots, zal het 2 voet, 2 inch. Zoek de diepte van het water.
in Figuur 3, als P het wateroppervlak boven de witte rots is, zijn R, en BC en FG de twee dwarsbalken, dan BC = FG = 3 voet; GC = 4 voet; AC = 4 voet, 5 inches; DC = 2 voet, 4 inches; BV = 4 voet; en HG = 2 voet, 2 inches. De diepte van het water, PR, wordt gezocht. Voor het antwoord geeft Liu Hui de volgende regel:
Liu Hui heeft hier geen rekening gehouden met de brekingsindex van water. De gegeven regel is een uitbreiding van die welke wordt gebruikt bij het oplossen van probleem 4, dat dezelfde methode gebruikt voor het bepalen van de diepte van een dal:
een persoon kijkt naar een diepe vallei. Vanaf de rand van de vallei is een dwarsbalk gedraaid om te liggen aan de kant die normaal rechtop is . De basis
is 6 voet lang. Als men kijkt naar de bodem van de vallei vanaf de rand van de basis, de lijn van het zicht ontmoet de verticale kant op een afstand van 9 voet, 1 inch. Een andere dwarsbalk staat 9 meter boven de eerste. Als de bodem van de vallei wordt waargenomen vanaf de rand van de basis, de lijn van het zicht zal voldoen aan de verticale kant op een afstand van 8 voet, 5 inches. Zoek de diepte van de vallei.
als we opnieuw verwijzen naar figuur 3, de gebroken lijnen negeren, hebben we CB = GF = 6 voet; CG = 30 voet; AC = 9 voet, 1 inch; EG = 8 voet, 5 inch; en CQ is de diepte. Uit soortgelijke driehoeken ABC en PBQ,
QB * AC = PQ * CB;
en uit soortgelijke driehoeken EFG en PFQ,
QF * EG = PQ * GF.
sinds CB = GF, en QF = QB = BF,
QB * AC = (QB + BF)EG,
QB (AC-EG) = BF · EG = GC · EG,
dat wil zeggen,
(CQ + CB) (AC – EG) = GC · EG.
vandaar dat
in Probleem 7 wordt ook de afstand van de bank tot de bodem van de afgrond (CS in Figuur 3) verkregen uit de uitdrukking
PR wordt afgeleid uit het verschil tussen CS en CQ.Wat de andere problemen betreft, probleem 2 betreft het vinden van de hoogte van een boom op een heuvel; probleem 3 heeft betrekking op de grootte van een verafgelegen ommuurde stad; probleem 5 toont hoe de hoogte van een toren op een vlakte gemeten kan worden vanaf een heuvel; probleem 6 geeft een methode om de breedte van een golf te vinden vanaf een afstand op het land; opgave 8 is een geval van het vinden van de breedte van een rivier gezien vanaf een heuvel; en opgave 9 zoekt de grootte van een stad gezien de A Berg.
bibliografie
a modern ed. van de Chiu-chang suan-shu is vol. 1121 in de TS ‘ ung-Shu Chi-Chêng serie (Shanghai, 1936).
werken over Liu Hui en zijn geschriften zijn Ch ‘ ien Pao-tsung, Suan-ching shih-shu (“Ten Mathematical Manuals”), 2 vols. (Peking, 1963), 83-272; en Chung-kuosuan-hsüeh-shih(“geschiedenis van de Chinese wiskunde”) (Peking 1964), 61-75; L.van Hée, “Le Hai Tao Suan Ching de Lieou,” in t ‘ oung Pao, 20 (1921), 51-60; Hsü Shunfang, Chung-suan chia Te tai-hsüeh yen-chiu (“A Study of Algebra by Chinese Mathematicals”) (Peking, 1955), 1-8; Li Yen, Chung-kno shu-Hsüeh ta-kang (“Outline of Chinese Mathematics” I (Shanghai, 1931); en Chungkuo suan-Hsüeh-Shih(“geschiedenis van de Chinese wiskunde”) (Shanghai, 1937;rev.ed., 1955), 16, 19, 21; Li Yen en Tu Shih-jan, Chung-kuo ku-tai shu-hsüeh chien-shih (“korte geschiedenis van de oude Chinese Wiskunde”) I (Peking, 1963), 45-77; Yoshio Mikami, the Development of Mathematics in China and Japan (New York, 1913); Joseph Needham, Science and Civilisation in China,III (Cambridge, 1959), 24-27; George Sarton, Introduction to the History of Science, 3 vols. (Baltimore, 1927-1947), esp. I, 338; Wang Ling, “The Chiu-Chang Suan-Shu and the History of Chinese Mathematics During the Han Dynasty,” a doctoral diss. (Cambridge Univ., 1956); Wang Ling and Joseph Needham, “Horner’ Method in Chinese Mathematics; Its Origins in the Root-Extraction Procedure of the Han Dynasty, “in T’ oung Pao, 43 (1955), 345-401; and Alexander Wylie, Chinese Researches (Shanghai, 1897; repr. Peking, 1936, en Taipei, 1966), 170-174.Enkele belangrijke speciale studies over de Chiu-chang suan-sju zijn E. I. Berezkina, “Drevnekitaysky traktat matematika v devyati knigach” (“the Ancient Chinese Mathematical Treatise in Nine Books”), in Istoriko-matematicheskie isslidovaniya,10 (1957), 423-584, a Russian trans. van de Chiu-chang suan-shu; Kurt Vogel, Neun Bücher arithme-Tischer Technik (Brunswick, 1968), een Duitse trans, en studie van het werk; en A. P. Youschkevitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (Leipzig, 1964), 1-88 (“die Mathematik in China”), vertaald uit het Russisch.
Toegang tot de oude biografische notities en bibliografische citaties over wiskundige werken Hu Yu-chin, Ssu-K ‘ u ‘-T ‘ i-Yao Pu-Chêng (“Aanvullingen op de Ssu-K’ u ‘-T ‘i-yao”), 2 vols, (Taipei, 1964-1967); Ting en Fu-pao en Chou Yün-ch ‘ ing, Ssu-Pu-Tsung-Lu Suan-Fa-Pien (“Bibliografie van Wiskundige Boeken als Aanvulling op de Ssu-K’ u ‘-Ch’ uan-Shu Encyclopedie”; Shanghai, 1956).Meer informatie over de Suan-Ching Shi-Shu is te vinden in Needham, Science and Civilisation in China, III, 18; en in A. Hummel, Eminent Chinese of the Ch ‘ ing Period (Washington, 1943), p. 697.De twee bestaande delen van de Yung-Lo Ta-Tien encyclopedie zijn fotografisch gereproduceerd( Peking, 1960); zij tonen aan dat de opstelling volgens wiskundige procedures en niet volgens auteurs was.
Ho Peng-Juk
