- leerdoelen
- kinetische energie
- voorbeeld
- kinetische energie van een Object
- strategie
- oplossing
- Betekenis
- Controleer uw begrip
- voorbeeld
- kinetische energie ten opzichte van verschillende Frames
- strategie
- oplossing
- significantie
- Controleer uw begrip
- voorbeeld
- speciale namen voor kinetische energie
- strategie
- oplossing
- Betekenis
- samenvatting
- conceptuele vragen
- Problemen
- verklarende woordenlijst
leerdoelen
Door het einde van dit hoofdstuk, zult u in staat zijn om:
- Bereken de kinetische energie van een deeltje gezien de massa en de snelheid of momentum
- het Evalueren van de kinetische energie van een lichaam, in vergelijking met verschillende referentiekaders
Het is aannemelijk om te veronderstellen dat hoe groter de snelheid van een lichaam, het groter effect kan hebben op andere organen. Dit is niet afhankelijk van de richting van de snelheid, alleen de grootte. Aan het einde van de zeventiende eeuw werd in de mechanica een hoeveelheid geïntroduceerd om botsingen tussen twee perfect elastische lichamen te verklaren, waarbij één lichaam een frontale botsing maakt met een identiek lichaam in rust. Het eerste lichaam stopt, en het tweede lichaam beweegt weg met de beginsnelheid van het eerste lichaam. (Als je ooit biljart of croquet hebt gespeeld, of een model van Newton ‘ s Cradle hebt gezien, heb je dit soort botsingen waargenomen.) Het idee achter deze kwantiteit was gerelateerd aan de krachten die op een lichaam inwerken en werd aangeduid als “de energie van beweging.”Later, tijdens de achttiende eeuw, werd de naam kinetische energie gegeven aan energie van beweging.
met deze geschiedenis in gedachten, kunnen we nu de klassieke definitie van kinetische energie noemen. Merk op dat wanneer we “klassiek” zeggen, we niet-relativistisch bedoelen, dat wil zeggen, met snelheden veel minder dan de snelheid van het licht. Bij snelheden die vergelijkbaar zijn met de lichtsnelheid, vereist de speciale relativiteitstheorie een andere expressie voor de kinetische energie van een deeltje, zoals besproken in relativiteitstheorie in het derde deel van deze tekst.
aangezien objecten (of systemen) van belang variëren in complexiteit, definiëren we eerst de kinetische energie van een deeltje met massa m.
kinetische energie
de kinetische energie van een deeltje is de helft van het product van de massa m van het deeltje en het kwadraat van de snelheid v:
we breiden deze definitie uit tot elk systeem van deeltjes door de kinetische energieën van alle samenstellende deeltjes op te tellen:
merk op dat net zoals we Newtons tweede wet kunnen uitdrukken in termen van ofwel de snelheid van verandering van momentum of de massa maal de snelheid van verandering van snelheid, Zo kan de kinetische energie van een deeltje worden uitgedrukt in termen van zijn massa en momentum (\overset{\to }{p}=m\overset{\to }{v}), in plaats van zijn massa en snelheid. Aangezien v = p \ text { / } m, zien we dat
ook de kinetische energie van een enkel deeltje uitdrukt. Soms is deze uitdrukking handiger te gebruiken dan (Figuur).
de eenheden van kinetische energie zijn massa maal het kwadraat van snelheid, of \text{kg}·{\text{m}}^{2} {\text{/s}}^{2} . Maar de eenheden van kracht zijn massa maal versnelling, \text{kg}·{\text{m/s}}^{2}, dus de eenheden van kinetische energie zijn ook de eenheden van kracht maal afstand, die de eenheden van arbeid zijn, of joules. Je zult in het volgende gedeelte zien dat werk en kinetische energie dezelfde eenheden hebben, omdat ze verschillende vormen zijn van dezelfde, meer algemene, fysieke eigenschap.
voorbeeld
kinetische energie van een Object
(a) Wat is de kinetische energie van een atleet van 80 kg met een snelheid van 10 m/s? (b) de Chicxulub Krater in Yucatan, een van de grootste bestaande inslagkraters op aarde, wordt verondersteld te zijn gemaakt door een asteroïde, reizen met
22 km/s en het loslaten van 4.2\,×\,{10}^{23}\,\tekst{J} van kinetische energie bij inslag. Wat was zijn massa? c) in kernreactoren spelen thermische neutronen met een snelheid van ongeveer 2,2 km/s een belangrijke rol. Wat is de kinetische energie van zo ‘ n deeltje?
strategie
om deze vragen te beantwoorden, kunt u de definitie van kinetische energie gebruiken in (Figuur). Je moet ook de massa van een neutron opzoeken.
oplossing
vergeet niet om km om te zetten in m om deze berekeningen uit te voeren, hoewel we, om ruimte te besparen, deze conversies hebben weggelaten.
- K = \frac{1}{2}(80\,\tekst{kg}) (10\, {\text{m / s})}^{2}=4.0\,\text{kJ} \ text{.}
- m=2K\text{/}{v}^{2}=2(4.2\,×\,{10}^{23}\text{J})\text{/}{(22\,\text{km/s})}^{2}=1.7\,×\,{10}^{15}\,\text{kg}\text{.}
- K=\frac{1}{2}(1.68\,×\,{10}^{-27}\,\tekst{kg}) {(2.2\, \ text{km / s})}^{2}=4.1\,×\,{10}^{-21}\,\text{J} \ text{.}
Betekenis
in dit voorbeeld hebben we de manier gebruikt waarop massa en snelheid gerelateerd zijn aan kinetische energie, en we vonden een zeer breed scala van waarden voor de kinetische energie. Verschillende eenheden worden vaak gebruikt voor dergelijke zeer grote en zeer kleine waarden. De energie van het botslichaam in Deel (b) kan worden vergeleken met de explosieve opbrengst van TNT en kernexplosies, 1\, \ text{megaton}=4.18\,×\,{10}^{15}\,\text{J} \ text{. De kinetische energie van de Chicxulub asteroïde was ongeveer honderd miljoen Megaton. Aan het andere uiterste wordt de energie van subatomair deeltje uitgedrukt in elektron-volt, 1\, \ text{eV}=1.6\,×\,{10}^{-19}\,\text{J} \ text{. Het thermische neutron in deel c heeft een kinetische energie van ongeveer een veertigste van een elektron-volt.
Controleer uw begrip
(a) een auto en een vrachtwagen bewegen elk met dezelfde kinetische energie. Stel dat de truck meer massa heeft dan de auto. Welke heeft de grootste snelheid? (b) een auto en een vrachtwagen bewegen elk met dezelfde snelheid. Welke heeft de grotere kinetische energie?
omdat snelheid een relatieve hoeveelheid is, kun je zien dat de waarde van kinetische energie afhankelijk moet zijn van je referentiekader. U kunt over het algemeen een referentiekader kiezen dat geschikt is voor het doel van uw analyse en dat uw berekeningen vereenvoudigt. Een dergelijk referentiekader is dat waarin de waarnemingen van het systeem worden gedaan (waarschijnlijk een extern kader). Een andere keuze is een frame dat aan het systeem is bevestigd of mee beweegt (waarschijnlijk een intern frame). De vergelijkingen voor relatieve beweging, besproken in beweging in twee en drie dimensies, bieden een link naar het berekenen van de kinetische energie van een object met betrekking tot verschillende frames van referentie.
voorbeeld
kinetische energie ten opzichte van verschillende Frames
een persoon van 75,0 kg loopt met een snelheid van 1,50 m/s door het middenpad van een metrowagon, terwijl de trein met een snelheid van 15,0 m/s ten opzichte van de sporen rijdt. (A) Wat is de kinetische energie van de persoon ten opzichte van de auto? (B) Wat is de kinetische energie van de persoon ten opzichte van de sporen? (C) Wat is de kinetische energie van de persoon ten opzichte van een frame dat met de persoon mee beweegt?
strategie
omdat snelheden worden gegeven, kunnen we \frac{1}{2}m{v}^{2} gebruiken om de kinetische energie van de persoon te berekenen. Echter, in deel (a), De snelheid van de persoon is ten opzichte van de metro auto (zoals gegeven); in Deel (b), is het ten opzichte van de sporen; en in deel (c), is het nul. Als we het autoframe aanduiden met C, het trackframe met T en de persoon met P, zijn de relatieve snelheden in Deel (b) gerelateerd aan {\overset{\to }{v}}_{\text{PT}}={\overset{\to }{v}}_{\text{PC}}+{\overset{\to }{v}}_{\text{CT}}. We kunnen aannemen dat het middenpad en de sporen op dezelfde lijn liggen, maar de richting waarin de persoon loopt ten opzichte van de auto is niet gespecificeerd, dus geven we voor elke mogelijkheid een antwoord, {v}_{\text{PT}}={v}_{\text{CT}}±{v}_{\text{PC}} , zoals weergegeven in (Figuur).
figuur 7.10 de mogelijke bewegingen van een persoon die in een trein loopt zijn (A) naar de voorkant van de auto en (b) naar de achterkant van de auto.
oplossing
- K= \ frac{1}{2}(75.0\,\tekst{kg}) (1,50\, {\text{m / s})}^{2}=84.4\,\text{J} \ text{.}
- {v}_{\text{PT}}=(15.0±1.50)\,\text{m / s} \ text{.} Daarom zijn de twee mogelijke waarden voor kinetische energie ten opzichte van de auto
K= \ frac{1}{2}(75.0\,\tekst{kg}) (13,5\, {\text{m / s})}^{2}=6.83\,\tekst{kJ}
en
K = \frac{1}{2}(75.0\,\tekst{kg}) (16,5\, {\text{m / s})}^{2}=10.2\,\text{kJ} \ text{.} - In een frame waarin {v}_{\text{P}} = 0, K=0 ook.
significantie
u kunt zien dat de kinetische energie van een object zeer verschillende waarden kan hebben, afhankelijk van het referentiekader. De kinetische energie van een object kan echter nooit negatief zijn, omdat het het product is van de massa en het kwadraat van de snelheid, die beide altijd positief of nul zijn.
Controleer uw begrip
je roeit met een boot parallel aan de oevers van een rivier. Je kinetische energie ten opzichte van de oevers is minder dan je kinetische energie ten opzichte van het water. Roei je met of tegen de stroming?
de kinetische energie van een deeltje is een enkele hoeveelheid, maar de kinetische energie van een systeem van deeltjes kan soms worden onderverdeeld in verschillende types, afhankelijk van het systeem en zijn beweging. Als alle deeltjes in een systeem bijvoorbeeld dezelfde snelheid hebben, ondergaat het systeem translationele beweging en heeft het translationele kinetische energie. Als een object roteert, kan het draaiende kinetische energie hebben, of als het trilt, kan het vibrationele kinetische energie hebben. De kinetische energie van een systeem, ten opzichte van een intern referentiekader, kan interne kinetische energie worden genoemd. De kinetische energie geassocieerd met willekeurige moleculaire beweging kan thermische energie worden genoemd. Deze namen zullen worden gebruikt in latere hoofdstukken van het boek, indien van toepassing. Ongeacht de naam, elke vorm van kinetische energie is dezelfde fysieke hoeveelheid, die energie geassocieerd met beweging.
voorbeeld
speciale namen voor kinetische energie
(a) een speler lobt een mid-court pass met een 624-g basketbal, die 15 m in 2 s beslaat. Wat is de horizontale translationele kinetische energie van de basketbal tijdens de vlucht? (b) een gemiddelde molecuul lucht, in het basketbal in deel (a), heeft een massa van 29 u, en een gemiddelde snelheid van 500 m/s, ten opzichte van het basketbal. Er zijn ongeveer 3\,×\,{10}^{23} moleculen erin, bewegen in willekeurige richtingen, wanneer de bal goed is opgeblazen. Wat is de gemiddelde translationele kinetische energie van de willekeurige beweging van alle moleculen binnenin, ten opzichte van het basketbal? (C) hoe snel zou de basketbal moeten reizen ten opzichte van het hof, zoals in deel (a), om een kinetische energie gelijk aan de hoeveelheid in Deel (b)?
strategie
in deel A), zoek eerst de horizontale snelheid van de basketbal en gebruik dan de definitie van kinetische energie in termen van Massa en snelheid, K=\frac{1}{2}m{v}^{2} . Zet dan in Deel (b) Verenigde eenheden om in kilogram en gebruik dan K=\frac{1}{2}m{v}^{2} om de gemiddelde translationele kinetische energie van één molecuul te krijgen, ten opzichte van de basketbal. Vermenigvuldig dan met het aantal moleculen om het totale resultaat te krijgen. Ten slotte kunnen we in deel (c) de hoeveelheid kinetische energie in Deel (b) en de massa van de basketbal in deel (a) vervangen in de definitie K=\frac{1}{2}m{v}^{2}, en oplossen voor v.
oplossing
- de horizontale snelheid is (15 m)/(2 s), dus de horizontale kinetische energie van de basketbal is
\ frac{1}{2}(0.624\,\tekst{kg}) {(7,5\, \ text{m / s})}^{2}=17.6\,\text{J} \ text{.}
- De gemiddelde translationele kinetische energie van een molecuul is
\ frac{1}{2}(29\,\tekst{u})(1.66\,×\,{10}^{-27}\,\tekst{kg / u}) {(500\, \ text{m / s})}^{2}=6.02\,×\,{10}^{-21}\,\tekst{J,}
en de totale kinetische energie van alle moleculen is
(3\,×\,{10}^{23})(6.02\,×\,{10}^{-21}\,\text{J}) = 1,80\, \ text{kJ} \ text{.} - v=\sqrt{2(1.8\, \ text{kJ})\text{/}(0.624\,\text{kg})}=76.0\,\text{m/s} \ text{.}
Betekenis
in deel a) kan dit soort kinetische energie de horizontale kinetische energie van een object (het basketbal) worden genoemd, ten opzichte van zijn omgeving (het Hof). Als de basketbal zou draaien, zouden alle delen ervan niet alleen de gemiddelde snelheid hebben, maar het zou ook rotatie kinetische energie hebben. Deel (b) herinnert ons eraan dat dit soort kinetische energie interne of thermische kinetische energie kan worden genoemd. Merk op dat deze energie ongeveer honderd keer de energie in deel (a) is. Hoe gebruik te maken van thermische energie zal het onderwerp zijn van de hoofdstukken over thermodynamica. In deel (c), aangezien de energie in Deel (b) ongeveer 100 keer zo groot is als in deel (a), moet de snelheid ongeveer 10 keer zo groot zijn, wat het is (76 tegenover 7,5 m/s).
samenvatting
- de kinetische energie van een deeltje is het product van de helft van zijn massa en het kwadraat van zijn snelheid, bij niet-relativistische snelheden.
- de kinetische energie van een systeem is de som van de kinetische energieën van alle deeltjes in het systeem.
- kinetische energie is relatief aan een referentiekader, is altijd positief en krijgt soms speciale namen voor verschillende soorten beweging.
conceptuele vragen
een deeltje van m heeft een snelheid van {v}_{x}\hat{i}+{v}_{y}\hat{j}+{v}_{z}\hat{k}. Wordt de kinetische energie gegeven door m ({v}_{x} {}^{2}\hat{i}+{v}_{y} {}^{2}\hat{j}+{v}_{z} {}^{2}\hat{k} \ text {) / 2?} Zo niet, wat is dan de juiste uitdrukking?
een deeltje heeft massa m en een tweede deeltje heeft massa 2m. het tweede deeltje beweegt met snelheid v en het eerste met snelheid 2v. hoe verhouden hun kinetische energieën zich?
een persoon laat een steentje van massa {m}_{1} vallen vanaf een hoogte h, en het raakt de vloer met kinetische energie K. De persoon laat nog een steentje van massa {m}_{2} vallen vanaf een hoogte van 2h, en het raakt de vloer met dezelfde kinetische energie K. Hoe vergelijken de massa ‘ s van de steentjes?
Problemen
Vergelijk de kinetische energie van een 20.000 kg truck bewegen op 110 km/h met dat van een 80.0-kg astronaut in een baan beweegt 27,500 km/h.
(a) Hoe snel moet een 3000 kg olifant verplaatsen naar dezelfde kinetische energie als een 65.0-kg sprinter draait op 10,0 m/s? (B) bespreken hoe de grotere energieën die nodig zijn voor de beweging van grotere dieren zou betrekking hebben op metabolische tarieven.
schat de kinetische energie van een vliegdekschip van 90.000 ton met een snelheid van 30 knopen. U zult de definitie van een zeemijl moeten opzoeken om de eenheid voor snelheid om te zetten, waarbij 1 knoop gelijk is aan 1 zeemijl per uur.
Bereken de kinetische energieën van (A) een auto van 2000,0 kg die zich beweegt bij 100,0 km/h; (b) een 80.- kg loper sprint op 10. m / s; en c) a 9.1\,×\,{10}^{-31}\,\tekst {- kg} elektron beweegt op 2.0\,×\,{10}^{7}\,\text{m / s} \ text{.}
een lichaam van 5,0 kg heeft drie keer de kinetische energie van een lichaam van 8,0 kg. Bereken de verhouding van de snelheden van deze lichamen.
een 8.0-g kogel heeft een snelheid van 800 m / s. (a) Wat is zijn kinetische energie? (B) Wat is de kinetische energie als de snelheid wordt gehalveerd?
verklarende woordenlijst
kinetische energie bewegingsenergie, de halve massa van een voorwerp maal het kwadraat van zijn snelheid
