Trójkąt Yang Hui jest specjalnym trójkątnym układem liczb stosowanym w wielu dziedzinach matematyki. W Azji jest nazwany na cześć słynnego chińskiego matematyka Yang Hui z XIII wieku, jednego z pierwszych, którzy opisali jego właściwości; w Europie jest często nazwany na cześć XVII-wiecznego francuskiego matematyka Blaise ’ a Pascala. Jeszcze przed Yang Hui ten trójkątny układ liczb został opisany przez arabskiego poetę i matematyka Omara Khayyama (ok.1044-1123) i indyjskiego matematyka Halayudha w 975 roku.
na górze trójkąta jest 1, co tworzy 0. 1strow (1,1) zawiera dwie 1s każda utworzona przez dodanie dwóch liczb nad nimi, jedna po lewej i jedna po prawej, w tym przypadku 0 i 1. (Wszystkie liczby poza trójkątem to 0s.) zrób to samo, aby utworzyć 2ndrow; 0+1=1, 1+1=2, 1+0=1 i wszystkie kolejne rzędy.
liczbę w trójkącie można znaleźć za pomocą Cnr(nchoose r), gdzie n jest liczbą wiersza, A r jest liczbą elementu w tym wierszu. (Cnr=n!r!(n-r)!) Jest to szczególnie pomocne w znalezieniu konkretnego terminu w ekspansji dwumianu w postaci (x + y)n.
przykład:
Znajdź 4thterm w 6throw trójkąta.
C54 = 6!4!(6−4)!=6!4!2!= 15
(pamiętaj: pierwsza 1W każdym wierszu jest elementem 0, więc jest to poprawne.)
suma wierszy: suma liczb w dowolnym wierszu jest równa 2n, gdy nis numer wiersza.
20=1=121=2=1+122=4=1+2+123=8=1+3+3+124=16=1+4+6+4+1 i tak dalej.
liczby pierwsze: Jeśli pierwszy element w wierszu jest liczbą pierwszą (pamiętaj, że pierwsza 1 w dowolnym wierszu jest elementem 0.) wszystkie liczby w tym wierszu (z wyjątkiem 1s) są przez niego podzielne.
np. w 7(1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1) 7, 21, 35 są podzielne przez 7.
w algebrze każdy rząd w trójkącie Yang Hui zawiera współczynniki dwumianu (x+y) podniesione do potęgi tego rzędu.
(x+y)0=1(x+y)1=1x+1y(x+y)2=1×2+2xy+1Y2(x+y)3=1×3+3x2y+3xy2+1Y3(x+y)4=1×4+4x3y+6x2y2+4xy3+1Y4 i tak dalej.
innym ważnym obszarem, w którym Trójkąt Yang Hui pojawia się i jest bardzo przydatny, jest prawdopodobieństwo, gdzie można go użyć do znalezienia kombinacji.
ciekawe wzory liczb:
wiele ciekawych wzorów liczb można znaleźć w trójkącie. Obejmuje ciąg Fibonacciego, liczby trójkątne i kwadratowe (występujące na przekątnych zaczynających się od rzędu 3) oraz liczby wielokątne.
kolejnym ciekawym połączeniem jest trójkąt Sierpińskiego. Gdy wszystkie liczby nieparzyste w trójkącie Yang Hui są wypełnione, a parzyste pozostają puste, ujawnia się rekurencyjny fraktal trójkąta Sierpińskiego.
każdy z nich to fascynujące tematy, które wymagają dalszych badań z twojej strony.
