(fl. China, ca, A. D. 250)
matemática.Nada se sabe sobre a vida de Liu Hui, exceto que ele floresceu no reino de Wei no final do período dos Três Reinos (221-265 D. C.). Seus escritos matemáticos, por outro lado, são bem conhecidos; seu comentário sobre o Chiu-chang suan-shu (“nove capítulos sobre a arte matemática”) exerceu uma profunda influência sobre a matemática chinesa por mais de 1.000 anos. Ele escreveu outro trabalho importante, mas muito mais curto: O Hai-tao suan-ching (“manual matemático da Ilha do mar”).
Alguns estudiosos acreditam que a Chiu-chang suan-shu, também chamado de Chiu-chang suan-ching(“Matemáticos Manual em Nove Capítulos”), já existia na China durante o terceiro século, b.c Ch’ien Paotsung, em sua Chung-kuo suan-hsüeh-shih, e Yin Chang-lin (Yenching Hsüeh Pao, 2 , 301) observaram que os títulos de alguns funcionários mencionados nos problemas com a data de Ch’in e anteriores (terceiro e início do segundo séculos b.c.). Há também referências que devem indicar um sistema tributário de 203 B. C. De acordo com o prefácio de Liu Hui, o livro foi queimado durante o tempo do Imperador Ch’in Shih-huang (221-209 AC); mas os restos dele foram posteriormente recuperados e colocados em ordem. Nos dois séculos seguintes, comentários sobre este livro foram escritos por Chang Ts’ang (fl. 165-142 a. C.) e Keng Shou-ch’ang (fl. 75-49 a. C.). Em um estudo de Ch’ien Pao-tsung (1963), sugere-se, a partir de evidências textuais internas, que o Chiu-chang suan-shu foi escrito entre 50 AC e 100 dC e que é duvidoso se Chang Ts’ANG e Keng Shou-ch’ang tinham algo a ver com o livro. No entanto, Li Yen e Tu Shih-jan, ambos colegas de Ch’ien Pao-tsung, ainda acreditavam no prefácio de Liu Hui quando escreveram sobre o Chiu-chang suan-shu no mesmo ano.
Durante o sétimo século, tanto a Chiu-chang suan-shu e o Hai-tao suan-ching (uma.d. 263) foram incluídos no Suan-ching shih-shu (“Dez Manuais de Matemática,” a”.d. 656), para que o tang, matemático e astrônomo Li Shun-feng (602-670) acrescentou notas e comentários. Esses trabalhos se tornaram textos padrão para estudantes de matemática; os regulamentos oficiais prescreveram que três anos fossem dedicados às obras de Liu Hui. As obras de Liu Hui também encontraram seu caminho para o Japão com esses manuais matemáticos. Quando as escolas foram estabelecidas no Japão em 702 e a matemática foi ensinada, tanto o Chiu-chang suan-shu quanto o Hai-tao suan-ching estavam entre os textos prescritos.
de acordo com o Tratado matemático de Ch’Eng Ta-wei, o Suan-fa t’ung-tsung (“tratado sistemático sobre aritmética”; 1592), tanto o Chiu-chang suan-shu quanto o Hai-tao suan-ching foram impressos oficialmente pela primeira vez em 1084. Havia outra versão impressa deles por Pao Huan-chih em 1213. No início do século XV, eles foram incluídos, embora consideravelmente reorganizados, na vasta enciclopédia Ming, o Yung-lo ta-tien (1403-1407). Na segunda parte do século XVIII, Tai Chen (1724-1777) reconstruiu esses dois textos depois de extraí-los aos poucos do Yung-lo para-tilen. Eles foram posteriormente incluídos por k’ung Chi-han (1739-1787) em seu Wei-po-hesieh ts’ung-shu (1773). Três anos depois, ch’u Tseng-fa os imprimiu separadamente com prefácio de Tai Chen.
Outras reproduções com base em Chen de Tai reconstrução do Wei-po-hsieh ts ung-shu são encontradas no Suan-ching shih-shu (“Dez Matemática Manuais”) do Mei Ch’i-chao (1862 e em Wan yu wen-K u (1929-1933) e Ssu-pu ts ung-k an série (1920-1922; tanto da Imprensa Comercial, Xangai). Dois estudiosos do século XIX, Chung Hsiang e Li Huang, descobriram que certas passagens do texto haviam se tornado incompreensíveis pela tentativa de Tai Chen de melhorar o texto original do Chiu-chang suan-shu. Um fragmento da edição do início do século XIII do Chiu-chang suan-shu. composto por apenas cinco capítulos, foi encontrado durante o século XVII em Nanquim, na biblioteca privada de Huang Yü-chi (1629-1691). Este exemplar foi visto pelo famoso Ch’ing estudioso Mei Wen-ting (1633-1721), em 1678, e mais tarde passou para a posse de K’ung Chi-han (1739-1784) e, em seguida, Chang Tun-jen (1754-1834); finalmente, foi adquirido pela Biblioteca de Xangai, onde ele agora é mantido. Em 1684, Mao I (1640-depois de 1710) fez uma cópia manuscrita do texto original encontrado na biblioteca de Huang Yü-chi. Esta cópia foi posteriormente adquirida pelo imperador durante o reinado de ch’ien-lung (1736-1795). Em 1932 foi reproduzido na série t’ien-lu-lin-lang ts’ung-shu.Em 1261 Yang Hui escreveu o Hsiang-csieh chiu-chang suan-fa (“análise detalhada das regras matemáticas nos nove capítulos”) para elucidar os problemas no Chiu-chang suan-shu. Ch’ien Pao-tsung em 1963 coletou o texto do Chiu-chang suan-shu da versão de Tai Chen, os fragmentos da edição cantada tardia reproduzidos na série t’ien-lu-lin-Lang ts’ung-shu e Hsiang-chieh chiu-chang suan-fa de Yang Hui.
quanto ao Hai-tao suan-ching, apenas a versão reconstruída por Tai Chen permanece. Foi reproduzido na edição do Palácio Wu-ying-tien (antes de 1794), os “dez manuais matemáticos” em K’ung Chi-Hande Wei-po-hsieh ts’ung-shu, e o apêndice de Chü Tseng-fade Chiu-chang suan-shu.
o Chiu-chang suan-shu foi concebido como um manual prático, uma espécie de assessor-mémoire para arquitetos, engenheiros, funcionários e comerciantes. Esta é a razão para a presença de tantos problemas na construção de canais e diques, muralhas da cidade, tributação, troca, serviços públicos, etc. Consiste em nove capítulos, com um total de 246 problemas. Os capítulos podem ser descritos da seguinte forma:
(1) Fang-t’ien (“levantamento de terras”) contém as regras para encontrar as áreas de triângulos, trapézios, retângulos, círculos, setores de círculos e anulos. Ele fornece regras para adição, subtração, multiplicação e divisão de frações. Existe uma fórmula interessante, mas imprecisa, para a área do segmento de A, onde o acorde c e a sagitta s são conhecidos, na forma s(c + s)/2. Esta expressão apareceu mais tarde durante o século IX em Ganitasārasangraha de Mahāvīra.
de interesse especial é o valor da razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro que Liu Hui usou. O valor antigo de π usado na China era 3, mas desde o primeiro século os matemáticos chineses procuravam um valor mais preciso. Liu Hsin (D. A. d. 23) usou 3.1547, enquanto Chang Hen (78-139) deu √10 e 92/29. Wang Fan (219-257) encontrado 142/45, e então Liu Hui deu 3.14. Os nomes mais importantes a este respeito são, no entanto, os de Tsu Ch’ung-chih (430-501), um brilhante matemático, astrônomo e engenheiro das dinastias Liu Sung e Ch’I, e seu filho, Tsu Cheng-chih. Tsu Ch’ung-chih deu dois valores para π primeiro um “impreciso” (yo lü), igual a 22/7, dado anteriormente por Arquimedes, e depois um “mais preciso” ((mi lu)), 355/113 (3.1415929). Ele até procurou por mais aproximações e descobriu que π fica entre 3,1415926 e 3,1415927. Seu método provavelmente foi descrito no Chui Shu, que ele e seu filho escreveram, mas agora está perdido. O valor de Tsu Ch’ung-chih de 355/113 Para π desapareceu por muitos séculos na China até que foi novamente assumido por Chao Yu-ch’in ((fl, ca. 1300)). Liu Hui obteve o valor exato 3,14 tomando a proporção do perímetro de um polígono regular de noventa e seis lados para o diâmetro de um círculo que envolve este polígono. Vamos começar com um hexágono regular do lado L6. A razão entre o perímetro do hexágono e o diâmetro do círculo que o envolve é 3. Se mudarmos o hexágono regular polígono de doze lados, como mostrado na Figura 1—observando que, L6 = r, o raio do círculo circunscrito—em seguida, o lado de doze lados do polígono é dado por
Portanto, se Lnis conhecido, L2n pode ser encontrada a partir da expressão
Tomando r = 1, os valores a seguir podem ser encontradas: L6 = 1; L12 = 0.517638; L24 = 0.261052; L48 = 0.130806; L96 = 0.065438.
o perímetro de um polígono regular de N = 96 e r = 1 é 96 × 0,065438 = 6,282048. Daí π = 6,282048 / 2 = 3,141024, ou aproximadamente 3,14. Liu Hui também usou um polígono de 3.072 lados e obteve seu melhor valor, 3.14159.
(2)Su-mi (“painço e arroz”) lida com porcentagens e proporções. Equações indeterminadas são evitadas nos últimos nove problemas neste capítulo pelo uso de proporções.
(3)Ts’UI-fen(“distribuição por progressão”) diz respeito à distribuição de propriedades entre os parceiros de acordo com as taxas fornecidas. Também inclui problemas na tributação de bens de diferentes qualidades, e outros em progressões aritméticas e geométricas, todos resolvidos pelo uso de proporções.
(4)Shao-kuang (“Diminuição da Amplitude”) envolve localizar os lados de um retângulo quando a área e um dos lados é dado, a circunferência de um círculo
quando a sua área é conhecida, o lado de um cubo dado o seu volume, e o diâmetro de uma esfera de volume conhecido. O uso do múltiplo menos comum em frações é mostrado. É interessante que as frações unitárias sejam usadas, por exemplo, no problema 11 neste capítulo. A largura dada de uma forma retangular é expressa como
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
os problemas neste capítulotambém levam à extração de raízes quadradas e raízes cúbicas; o problema 13, por exemplo, envolve encontrar a raiz quadrada de 25.281. De acordo com o método dado no Chiu-chang suan-shu, esse número, conhecido como shih (dividendo), é primeiro colocado na segunda linha do topo da placa de contagem. Em seguida, uma haste de contagem, chamada Chieh-suan preliminar, é colocada na linha inferior da placa de contagem na coluna de dígitos mais à direita. Esta haste é movida para a esquerda, dois lugares de cada vez, por Mais que possa ir sem ultrapassar o dígito esquerdo mais distante do número na linha shih. Com seu novo valor de lugar, esta haste é chamada de chieh-sucn. É mostrado na figura 2a.
a primeira figura da raiz encontra-se entre 100 e 200. Em seguida, 1 é tomado como a primeira figura da raiz e é colocado na linha superior na coluna centenas. A linha superior é chamada fang. O chieh-suan é multiplicado pela primeira figura da raiz. O produto, chamado fa, é colocado na terceira linha. O shih (25,281) menos o fa (10,000) deixa o “primeiro restante” (15,281), o que está escrito na segunda linha, como mostrado na Figura 2b. Após a divisão, foi feito, o fa é dobrado para formar a ting-fa. Este é movido um dígito para a direita, enquanto o chieh-suan é deslocado dois dígitos para a direita, como mostrado na figura 2c.
a segunda figura, selecionada por tentativa e erro, encontra-se entre 5 e 6. O dígito das dezenas é, portanto, considerado 5 e será colocado em sua posição apropriada na linha superior da figura 2e. O chieh-suan (que agora é 100) é multiplicado por este segundo número e o produto é adicionado ao Ting-fa, que se torna 2.500. A ting-fa multiplicado por 5 é subtraído do primeiro restante, o que dá um resto de 2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), como mostrado na Figura 2d. A ting-fa é o próximo deslocado um dígito para a direita e o chieh-suan dois lugares (ver Figura 2e). A terceira figura, novamente selecionada por tentativa e erro, é encontrada em 9. Este dígito da unidade é colocado em sua posição apropriada na linha superior. O Chieh-suan, que agora é 1, é multiplicado por esta terceira figura e o produto é adicionado ao Ting-fa, que se torna 259. O segundo restante é dividido pelo Ting-fa, que deixa um restante de zero (2,781 ÷ 259 = 9 +0). Portanto, a resposta é 159 (ver Figura 2f).
(5) Shang-kung (“consultas sobre obras de Engenharia”) fornece os volumes de figuras sólidas como o prisma, a pirâmide, o tetraedro, a cunha, o cilindro, o cone e o frustum de um cone:
(a) Volume de prisma quadrado = quadrado do lado da altura dos tempos de base.
(B) Volume do cilindro =1/12 quadrado da circunferência do círculo vezes a altura (onde π é considerado aproximadamente 3).
(c) Volume de pirâmide quadrada truncada = 1/3 a altura vezes a soma dos quadrados dos lados dos quadrados superior e inferior e o produto dos lados dos quadrados superior e inferior.
(d) Volume de pirâmide quadrada = 1/3 a altura vezes o quadrado do lado da base.
(e) Volume de frustum de um cone circular = 1/36 a altura vezes a soma dos quadrados das circunferências das faces circulares superior e inferior e o produto dessas duas circunferências (onde π é considerado aproximadamente 3).
(f) Volume de cone circular = 1/36 a altura vezes o quadrado da circunferência da Base (onde π é considerado aproximadamente 3).
(g) Volume de um prisma triangular direito = 1/2 o produto da largura, do comprimento e da altura.
(h) Volume de uma pirâmide retangular = 1/3 o produto da largura e comprimento da base e da altura.
(i) Volume de tetraedro com duas arestas opostas perpendiculares entre si = 1/6 o produto das duas arestas opostas perpendiculares e a perpendicular comum a essas duas arestas.
(6) Chün-shu(“tributação imparcial”) diz respeito a problemas de perseguição e alligação, especialmente em conexão com o tempo necessário para os contribuintes receberem suas contribuições de grãos de suas cidades nativas para a capital. Também lida com problemas de proporções em conexão com a alocação de encargos fiscais de acordo com a população. Problema 12 neste capítulo diz:
um bom corredor pode ir 100 passos enquanto um mau corredor vai 60 passos. O corredor ruim foi uma distância de 100 passos antes que o bom corredor comece a persegui-lo. Em quantos passos o bom corredor alcançará?
(7) Ying pu-tsu ou ying-nü (“excesso e deficiência”). Ying, referindo-se à Lua cheia, e pu-tsu ou nü à Lua nova, significa “muito” e “muito pouco”, respectivamente. Esta seção trata de uma invenção algébrica chinesa usada principalmente para resolver problemas do tipo ax + b = 0 de uma maneira bastante indireta. O método passou a ser conhecido na Europa como a regra da falsa posição. Neste método são feitas duas suposições, x1 e x2, dando origem aos valores c1 e c2, respectivamente, maiores ou menores que 0. A partir destas temos as seguintes equações:
Multiplicando (1) por x2 e (2) por x1, temos
a Partir de (1) e (2),
Daí
Problema 1 deste capítulo diz:
em uma situação em que certas coisas são compradas em conjunto, se cada pessoa paga 8 , o excedente é 3 , e se cada pessoa paga 7, a deficiência é 4. Encontre o número de pessoas e o preço das coisas trazidas.
de acordo com o método de excesso e deficiência, as taxas (ou seja, os “palpites” 8 e 7) são primeiro definidas na placa de contagem com o excesso (3) e deficiência (-4) colocados abaixo deles. As taxas são então multiplicadas pelo excesso e deficiência, e os produtos são adicionados para formar o dividendo. Em seguida, o excesso e a deficiência são adicionados para formar o divisor. O quociente dá a quantidade correta de dinheiro a pagar por cada pessoa. Para obter o número de pessoas, adicione o excesso e a deficiência e divida a soma pela diferença entre as duas taxas. Em outras palavras, x e a são obtidos usando equações (5) e (4) acima.
às vezes, um problema direto pode ser transformado em um envolvendo o uso da regra da posição falsa. Problema 18 no mesmo capítulo diz:
existem 9 peças de ouro e 11 peças de prata. Os dois lotes pesam o mesmo. Uma peça é retirada de cada lote e colocada na outra. O lote que contém principalmente ouro agora pesa menos do que o lote que contém principalmente prata em 13 onças. Encontre o peso de cada pedaço de ouro e prata.
aqui duas suposições são feitas para o peso do ouro. O método diz que se cada pedaço de ouro pesa 3 quilos, em seguida cada pedaço de prata iria pesar 2 5/11 libras, dando uma deficiência de 49/11 onças; e se cada pedaço de ouro pesa 2 quilos, em seguida cada pedaço de prata iria pesar 1 7/11 libras, dando um excesso de 15/11 onças. Depois disso, a regra da posição falsa é aplicada.
(8) Fang-ch’Eng (“cálculo por tabulação”) está preocupado com equações lineares simultâneas, usando números positivos e negativos. O problema 18 neste capítulo envolve cinco incógnitas, mas dá apenas quatro equações, anunciando assim a equação indeterminada. O processo de solução simultânea de equações lineares dado aqui é o mesmo que o moderno procedimento para a solução simultânea do sistema
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b2y + c3z = d3
exceto que os coeficientes e constantes são dispostos em colunas verticais em vez de ser escrito na horizontal:
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3.
neste capítulo Liu Hui também explica a adição algébrica e subtração de números positivos e negativos. (Liu Hui denotou números positivos e números negativos por hastes Calculadoras vermelhas e pretas, respectivamente.)
(9) Kou-ku (“ângulos retos”) lida com a aplicação do teorema de Pitágoras. Alguns de seus problemas são os seguintes:
um pedaço cilíndrico de madeira com um diâmetro de seção transversal de 2 pés, 5 polegadas, deve ser cortado em um pedaço de prancha de 7 polegadas de espessura. Qual é a largura? Há uma árvore de 20 pés de altura e 3 pés de circunferência.Uma trepadeira serpenteia pela árvore sete vezes e chega ao topo. Encontre o comprimento da videira, há uma lagoa 7 pés quadrados com uma cana crescendo no centro e medindo eu pé acima da água. A cana chega ao banco ao nível da água quando atraída em direção a ela. Encontre a profundidade da água e o comprimento da cana.
há um bambu de 10 pés de altura. Quando dobrada, a extremidade superior toca o solo a 3 pés de distância do caule. Encontre a altura do intervalo,
é interessante que um problema semelhante a 13 apareceu na obra de Brahmagupta no século VII.
o problema 20 despertou um interesse ainda maior:
existe uma cidade quadrada de dimensão desconhecida. Um portão está no meio de cada lado. Vinte passos do portão norte é uma árvore. Se alguém andar a 14 passos do portão sul, virar para o oeste, e tomar 1.775 passos, a árvore só vai entrar em vista. Encontre a extensão do lado da cidade.
o livro indica que a resposta pode ser obtida através da evolução da raiz da equação quadrática.
x2 + (14 + 20) x = 2(1775 × 20).
o método de resolução desta equação não é descrito. Mikami sugere que é altamente provável que a raiz de extração foi realizada com um termo adicional no primeiro grau do coeficiente de desconhecido e que este termo foi chamado tsung, mas, em sua tradução literal de algumas partes do texto a respeito de raiz extrações ele não percebe que as sucessivas etapas correspondem àqueles em método de Horner. Ch’ien Pao-tsung e Li Yen tentaram comparar o método descrito no Chiu-chang suan-shu com o de Horner, mas não esclareceram as obscuridades textuais. Wang Ling e Needham dizer que é possível mostrar que, se o texto do Chiu-chang suan-shu é muito seguidas cuidadosamente, os fundamentos dos métodos usados pelos Chineses para a solução numérica de equações do segundo e graus mais elevados, semelhante ao desenvolvido por Horner, em 1819, estão presentes em uma obra que pode ser datada do primeiro século, b.c.
O Hai-tao suan-ching, originalmente conhecido pelo nome de Ch’ung ch’sanaa (“Método da Dupla Diferenças”), foi acrescentada a Chiu-chang suan-shu como seu décimo capítulo. Foi separado do texto principal durante o século VII, quando os” dez manuais matemáticos ” foram escolhidos, e recebeu o título Hai-tao suan-cluig. De acordo com Mikami, o termo ch’ung ch’a pretendia significar dupla ou repetida aplicação de proporções dos lados dos triângulos retângulos. O nome Hai-tao provavelmente veio do primeiro problema do livro, que trata de uma ilha no mar. Composto por apenas nove problemas, o livro é equivalente a menos de um capítulo do Chiu-chang suan-shu.Em seu prefácio Liu Hui descreve o método chinês clássico de determinar a distância do sol à terra plana por meio de dupla triangulação. De acordo com este método, dois pólos verticais de oito pés de altura foram erguidos no mesmo nível ao longo do mesmo meridiano, um na antiga capital Chou de Yan-ch’Eng e os outros 10.000 li (1 ,li = 1.800 pés) ao norte. Os comprimentos das sombras lançadas pelo sol Ao Meio-dia do solstício de verão foram medidos, e a partir deles a distância do sol poderia ser derivada. Liu Hui então mostra como o mesmo método pode ser aplicado a exemplos mais cotidianos. Problema 1 diz:
uma ilha do mar é vista à distância. Dois pólos, cada um com 30 pés de altura, são erguidos no mesmo nível 1.000 pu separados, de modo que o pólo na parte traseira fique em linha reta com a ilha e o outro pólo. Se alguém se move 123 pu de volta do Pólo mais próximo, o topo do é apenas visível através da extremidade do pólo, se ele vê-lo a partir do nível do solo. Se ele se mover para trás 127 pu do outro pólo, o topo da ilha é apenas visível através da extremidade do pólo, se visto a partir do nível do solo. Encontre a elevação da ilha e sua distância do Pólo. pólo é 102 li, 150 pu ( 300 pu = 1 li).]
A regra para a solução deste problema é dada da seguinte forma:
Multiplique a altura do pólo, a distância entre os pólos e divida o produto pela diferença entre as distâncias que tem um andar de volta dos pólos, a fim de visualizar o ponto mais alto da ilha. Adicionando a altura do pólo ao quociente dá a elevação da ilha. Para encontrar a distância do Pólo mais próximo à ilha, multiplique a distância percorrida a partir desse pólo pela distância entre os pólos. Dividir o produto pela diferença entre as distâncias que se tem que andar de volta dos pólos dá essa distância.
o problema 7 é de especial interesse:
uma pessoa está olhando para um abismo com um pedaço de rocha branca no fundo. Da costa, uma barra transversal é virada para ficar do lado que normalmente está na posição vertical . Se a base é 3 pés e examina-se a superfície da água a partir da ponta da base, a linha de visão atende a altura da barra, a uma distância de 4 metros, 5 polegadas; e quando se olha para o rock, a linha de visão atende a altura da barra, a uma distância de 2 metros, 4 polegadas. Uma barra transversal semelhante é configurada 4 pés acima da primeira. Se olharmos da ponta da base, a linha de visão para a superfície da água encontraria a altura da barra transversal a uma distância de 4 pés; e se olharmos para a rocha, serão 2 pés, 2 polegadas. Encontre a profundidade da água.
Na Figura 3, se P é a superfície da água acima de white rock, R e BC e FG são as duas barras de tejadilho, em seguida, BC = FG = 3 pés; GC = 4 pés; AC = 4 metros, 5 cm; DC = 2 pés 4 polegadas; EG = 4 pés; e HG = 2 pés, 2 polegadas. A profundidade da água, PR, é procurada. Para obter a resposta, Liu Hui dá a seguinte regra:
Liu Hui não levou em conta aqui o índice de refração da água. A regra dada é uma extensão da usada na solução do problema 4, que usa o mesmo método para determinar a profundidade de um vale:
uma pessoa está olhando para um vale profundo. Da borda do vale, uma barra transversal é virada para ficar do lado que normalmente está na posição vertical . A base
tem 6 pés de comprimento. Se olharmos para o fundo do vale a partir da borda da base, a linha de visão encontra o lado vertical a uma distância de 9 pés, 1 polegada. Outra barra transversal é definida 30 pés diretamente acima do primeiro. Se o fundo do Vale for observado a partir da borda da base, a linha de visão encontrará o lado vertical a uma distância de 8 pés, 5 polegadas. Encontre a profundidade do Vale.
no que Se refere novamente à Figura 3, ignorando as linhas quebradas, temos CB = GF = 6 pés; CG = 30 metros; CA = 9 pés 1 polegada; EG = 8 pés 5 polegadas; e CQ é a profundidade. De triângulos semelhantes ABC e PBQ,
QB · AC = pq · CB;
e de triângulos semelhantes EFG e PFQ,
QF · EG = pq · GF.
desde CB = GF, e QF = QB = BF,
QB · AC = (QB + BF)EG,
QB(AC – EG) = BF · EG = GC · EG,
ou seja,
(CQ + CB) (AC-EG) = GC * EG.
portanto,
no problema 7, também se obtém a distância do banco ao fundo do abismo (CS na Figura 3) da expressão
PR é derivada da diferença entre CS e CQ.
Como para outros problemas, problema 2 refere-se encontrar a altura de uma árvore sobre um monte; problema 3 lida com o tamanho de uma distante cidade murada; problema 5 mostra como medir a altura de uma torre numa planície, como visto a partir de uma colina; o problema 6 fornece um método para encontrar a largura de um abismo visto a partir de uma distância em terra; problema 8 é um caso de encontrar a largura de um rio visto de uma colina; e problema 9 procura o tamanho de uma cidade vista a uma montanha.
bibliografia
A modern ed. do Chiu-chang suan-shu é vol. 1121 na série Ts’ung-Shu Chi-Chêng (Xangai, 1936).
trabalhos que tratam de Liu Hui e seus escritos são Ch’ien Pao-tsung, Suan-ching shih-shu (“dez manuais matemáticos”), 2 vols. (Pequim, 1963), 83-272; e Chung-kuosuan-hsüeh-shih (“história da Matemática chinesa”) (Pequim 1964), 61-75; L.van Hée, “Le Hai Tao Suan Ching de Lieou,” em T oung Pao, 20 (1921), 51-60; Hsü Shunfang, Chung-suan chia te tai-hsüeh yen-chiu (“Um Estudo da Álgebra Chineses Mathematicals”) (Pequim, 1955), 1-8; Li Yen Chung-kno shu-Hsüeh ta-kang (“Esboço de Chinês da Matemática I (Xangai, 1931); e Chungkuo suan-hsüeh-shih(“História do Chinês Matemática”) (Xangai, 1937;rev. ed., 1955), 16, 19, 21; Li Yen e Tu Shih-jan, Chung-kuo ku-tai shu-hsüeh chien-shih (“Breve História da Matemática chinesa antiga”) I (Pequim, 1963), 45-77; Yoshio Mikami, O Desenvolvimento da Matemática na China e no Japão (Nova York, 1913); Joseph Needham, Ciência e Civilização na China,III (Cambridge, 1959), 24-27; George Sarton, Introdução à História da Ciência, 3 vols. (Baltimore, 1927-1947), esp. I, 338; Wang Ling, “The Chiu-Chang Suan-Shu and the History of Chinese Mathematics During the Han Dynasty,” a doctoral diss. (Cambridge Univ. 1956); Wang Ling e Joseph Needham, “método de Horner em Matemática Chinesa; suas origens no procedimento de extração de raízes da dinastia Han”, em T’ oung Pao, 43 (1955), 345-401; e Alexander Wylie, pesquisas chinesas (Xangai, 1897; repr. Pequim, 1936, e Taipei, 1966), 170-174.
Alguns importantes estudos especiais sobre a Chiu-chang suan-shu são E. I. Berezkina, “Drevnekitaysky traktat matematika v devyati knigach” (“O Chinês Antigo Tratado Matemático em Nove Livros”), em Istoriko-matematicheskie isslidovaniya,10 (1957), 423-584, um russo trans. do Chiu-chang suan-shu; Kurt Vogel, Neun Bücher arithme-tischer Technik (Brunswick, 1968), um alemão trans, e estudo do trabalho; e A. P. Youchkevitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (Leipzig, 1964), 1-88 (“Die Mathematik in China”), traduzido do russo.
Acesso velho notas biográficas e bibliográficas, citações a respeito matemática obras são Hu Yü-queixo, Ssu-K u-T-i-Yao Pu-Chêng (“Suplementos para o Ssu-K u-T-i-yao”), 2 vols, (Taipei, 1964-1967); e a Ting-Fu-pao e Chou Yün-ch’ing, Ssu-Pu-Tsung-Lu Suan-Fa-Pien (“Bibliografia de Livros de Matemática para Complementar o Ssu-K u’-Ch’ uan-Shu Enciclopédia”; Xangai, 1956).
mais informações sobre o Suan-Ching Shi-Shu podem ser encontradas em Needham, Ciência e civilização na China, III, 18; e em A. Hummel, eminente chinês do período Ch’ing (Washington, 1943), P. 697.
os dois volumes existentes da enciclopédia Yung-Lo Ta-Tien foram reproduzidos fotograficamente (Pequim, 1960); eles mostram que o arranjo estava de acordo com procedimentos matemáticos e não por autores.
Ho Peng-Yoke
