b. St. Louis, estado de Missouri, em 8 de dezembro de 1919; d. Berkeley, Califórnia, 30 de julho de 1985), matemática, lógica matemática, teoria dos números, problemas de decisão, definibilidade.
o trabalho matemático de Robinson exibe poder e charme. Ela abordou problemas difíceis e se esforçou por soluções elegantes. Sua vida e obra não podem ser vistas adequadamente sem notar que, como mulher em um campo dominado por homens, ela era uma espécie de pioneira. Seu métier era a interface entre dois ramos da matemática, lógica e a teoria dos números, normalmente pensado para ter pouco a ver um com o outro. Ela é particularmente conhecida por suas contribuições para a solução do décimo problema em uma famosa lista de vinte e três propostas pelo matemático David Hilbert em 1900. Ela foi eleita para a Academia Nacional de Ciências e também para a presidência da American Mathematical Society, em ambos os casos a primeira matemática a ser tão honrada, e também recebeu uma bolsa de MacArthur.Nascida Julia Bowman, ela sofreu duas calamidades no início da vida. Ela tinha apenas dois anos quando sua mãe morreu, deixando seu pai para lidar com Julia e sua irmã mais velha Constance. Depois de seu novo casamento, a família mudou-se para o oeste, em última análise, para San Diego, onde sua meia-irmã Billie nasceu. Quando Julia tinha nove anos, ela sofreu uma doença devastadora: escarlatina seguida de febre reumática. Ela perdeu dois anos de escola e sofreu sérios danos ao coração. Academicamente, ela se destacou e logo compensou seu terreno perdido. No ensino médio, ela foi a única garota a fazer os cursos avançados de Ciências e matemática e se formou com várias honras. Em 1936 ela entrou San Diego State College, com especialização em matemática. Buscando vistas mais amplas, ela se transferiu para a Universidade da Califórnia em Berkeley para seu último ano. Entre os cinco cursos de matemática que ela fez naquele ano estava um sobre a teoria dos números ensinado por Raphael Robinson. Impressionado com sua habilidade, ele a convenceu a continuar seus estudos como estudante de pós-graduação. Raphael era um matemático de amplos interesses e conhecimentos e um mentor ideal. Mas logo o relacionamento deles se tornou mais pessoal e eles se casaram em dezembro de 1941. Suas esperanças de começar uma família foram frustradas quando Julia sofreu um aborto espontâneo e foi avisada por um médico de que, por causa de seu coração gravemente danificado, a gravidez seria extremamente perigosa. Sua opinião era que ela provavelmente morreria antes dos quarenta anos. Em um esforço para ajudar Julia a superar a profunda depressão em que foi lançada, Raphael a encorajou a buscar consolo em matemática.
fundo matemático a década de 1930 viu desenvolvimentos revolucionários no antigo assunto da lógica, drasticamente alterados do campo tradicional originado por Aristóteles. O famoso teorema da incompletude de Kurt Gödel apontou para as limitações inerentes aos sistemas formais de lógica na encapsulação da prática matemática. O trabalho de Alonzo Church, Alan Turing e Emil Post, bem como o próprio Gödel, mostraram que a questão da existência de soluções algorítmicas para problemas matemáticos específicos poderia receber uma formulação precisa. Isso abriu a possibilidade de que, em casos específicos, tais soluções algorítmicas possam não existir e, mesmo que em tais casos, isso possa ser provado. Alfred Tarski explicou como definir noções semânticas de verdade e definibilidade de linguagens formais. Esses foram os desenvolvimentos que forneceram o contexto da pesquisa de Julia Robinson.Qualquer ramo particular da matemática usará símbolos para representar as operações e relações particulares que são fundamentais para esse assunto. Além desses símbolos, a lógica matemática moderna usa os símbolos especiais
junto com o sinal familiar=. Fala – se desses símbolos junto com aqueles correspondentes a um ramo particular da matemática como constituindo uma linguagem. O trabalho de Julia Robinson estava em grande parte no contexto da linguagem da aritmética que usa os dois símbolos + e × representando adição e multiplicação, respectivamente, bem como símbolos para 0 e 1. Letras do alfabeto são usados como variáveis, e, no caso da linguagem da aritmética, eles são geralmente entendido para variar ao longo do familiarizado com números naturais 0,1,2 …… Assim, por exemplo, a “frase”
expressa o verdadeiro proposição de que a adição de dois números ímpares produz um número par. A fórmula(u) (x = u+u+1)> por si só define o conjunto de números ímpares, ou seja, se x for substituído por um determinado número natural, a frase resultante será verdadeira se e somente se esse número for ímpar. Questões de definibilidade e a existência de algoritmos foram fundamentais para o trabalho de Robinson.
Um conjunto de números naturais S é chamado computável (ou recursivas) se existe um algoritmo que pode determinar, para um dado número natural n se ou não n pertence a S. Um conjunto de números naturais é chamado listable (o termo preferido por Julia Robinson) ou recursivamente enumerável se existe um algoritmo para, sistematicamente, a fazer uma lista dos membros de S. Todos os unsolvability resultados podem ser considerados como conseqüências da chave teorema: existe um listable conjunto que não é computável. Esses assuntos também foram muito importantes no trabalho de Robinson.
a dissertação de Julia Robinson foi em um seminário liderado pelo carismático Alfred Tarski, um dos grandes lógicos do século XX, que Robinson encontrou seu métier. Tarski havia deixado sua Polônia Natal em agosto de 1939 sobre o que deveria ter sido uma breve viagem para participar de uma conferência nos Estados Unidos, pouco antes da invasão alemã da Polônia precipitou a Segunda Guerra Mundial. Tarski colocou uma série de questões não resolvidas sobre definibilidade na linguagem da aritmética para a qual Robinson foi atraído. Na década de 1940, era sabido que não há algoritmo para determinar se uma determinada frase na linguagem da aritmética, com as variáveis variando sobre os números naturais, é verdadeira. Como se diz, Este é um problema algoritmicamente insolúvel. Tarski queria saber se o mesmo é verdade quando nesta mesma linguagem, as variáveis podem variar em todos os números racionais, em vez de apenas os números naturais. (Os números racionais são aqueles expressíveis como frações m / n ou-m/n onde m é um número natural e n é um número natural diferente de zero.) Foram desenvolvidas técnicas para ” reduzir “um desses” problemas de decisão ” para outro. Neste caso, seria mostrar que, se houvesse um algoritmo para testar a verdade de uma sentença da linguagem da aritmética com as variáveis restrita para variar sobre os números racionais, como um algoritmo poderia ser utilizado para fornecer um algoritmo para fazer o mesmo quando as variáveis de alcance sobre os números naturais. Assim, uma vez que não existe tal algoritmo para o último, seguiria que nem poderia haver um para o primeiro.
o principal resultado da dissertação de Robinson foi uma fórmula explícita na linguagem da aritmética, com as variáveis restritas a variar em relação aos números racionais, que define precisamente o conjunto de inteiros (ou seja, o conjunto de Números Naturais e seus negativos). Em seguida, seguiu-se que o problema de determinar a verdade de uma frase de aritmética permanece insolúvel mesmo quando as variáveis variam sobre os números racionais. Outros resultados de dessolvabilidade também se seguiram. A abordagem de Robinson era intrincada, elegante e engenhosa usando algumas idéias bastante profundas da teoria dos números.
caracterizações elegantes Robinson sempre buscou elegância e simplicidade em seu trabalho matemático. Um de seus primeiros trabalhos mostrou como caracterizar, de uma maneira particularmente simples, as funções computáveis algoritmicamente (também chamadas de funções recursivas) que mapeiam os números naturais em si mesmos. Sua bela caracterização envolve duas funções iniciais e três operações para obter novas funções a partir de determinadas funções. Uma das funções iniciais é apenas a função sucessora S( x) = x+1. O outro, que Robinson chama de E, é definido como a diferença entre um determinado número e o maior quadrado perfeito que não o excede. (Assim E(19) = 19 – 16 = 3 e e(25) = 25 -25 = 0.) As três operações são as seguintes: (1) de determinadas funções F E G obtêm a função H(x)=F(G (x)); (2) de determinadas funções F E G obtêm a função H(x)=F(x) + G (x); e(3) de uma determinada função F cujos valores incluem todos os números naturais obtêm a função H onde H(x) é o menor número t para o qual F (t)=X.É verdadeiramente notável que todas as funções computáveis (dos Números Naturais aos números naturais) possam ser obtidas começando com as duas funções iniciais e aplicando essas três operações repetidas vezes.Muito mais tarde Robinson mostrou a mesma elegância e verve em encontrar novas caracterizações de um domínio muito distante do computável. A existência de um conjunto listável K que não é computável já foi mencionada. Portanto, não há algoritmo para determinar a associação em K. Ao considerar conjuntos que podem ser listados por algoritmos que têm acesso a informações de associação sobre tais conjuntos (metaforicamente por meio de um “oracle”), conjuntos adicionais podem ser trazidos para a dobra, e esse processo pode ser iterado. Ao permitir que essa iteração ocorra qualquer número finito de vezes, os conjuntos obtidos acabam sendo exatamente os chamados aritméticos, os conjuntos definíveis na linguagem da aritmética com variáveis que variam ao longo dos números naturais. Mas não há necessidade de parar aqui. Pode-se definir um conjunto não aritmético e, em seguida, usá-lo como um “oráculo” para poder listar ainda mais conjuntos. Existe um lugar natural onde esse processo chega ao fim, e os conjuntos de números naturais assim obtidos são chamados hiperaritméticos. Foi esse reino rarefeito para o qual Robinson forneceu uma caracterização simples e direta.Definibilidade existencial e décimo problema de Hilbert o trabalho para o qual Julia Robinson é mais lembrada originou-se com um problema aparentemente simples colocado por Alfred Tarski. Tarski queria saber quais conjuntos de números naturais são definíveis por fórmulas da linguagem da aritmética se os símbolos e são excluídos. Ele chamou tais conjuntos existencialmente definíveis e propôs o problema de provar que o conjunto {1,2,4,8,16, ….} de poderes de 2 não é existencialmente definível. Este foi exatamente o tipo de problema que Robinson gostou. A noção de definibilidade existencial pode ser facilmente vista como intimamente relacionada a problemas de um tipo que os teóricos dos números estudam, os chamados problemas Diofantinos. Estes normalmente têm a ver com uma equação polinomial p(a,X, y, z, u, v, w,….) = 0 com coeficientes inteiros onde a é um parâmetro e x, y, z, u, v, w,…. são ” incógnitas.”(Lembre-se de que tal polinômio é apenas a soma de termos como 5a3x2v5 e-7a4x3z6.) Para equações diofantinas particulares desse tipo, os teóricos dos números tentam determinar para quais valores de Números Naturais do parâmetro a, a equação tem soluções de números naturais nas incógnitas. Agora, por simples métodos padrão é fácil ver que um conjunto de números naturais S é existencialmente definível se, e somente se, existe uma equação polinomial de este tipo tal que S é exatamente o conjunto de valores do parâmetro para o qual a equação tem número natural soluções. Por esta razão, conjuntos existencialmente definíveis também são chamados de diofantina, e este é o termo que foi adotado na literatura posterior.
não tendo nenhum sucesso em provar a conjectura de Tarski de que o conjunto de poderes de 2 não é Diofantino, Robinson começou a considerar a possibilidade de que o palpite de Tarski pudesse ter sido errado. Para fazer qualquer progresso, ela teve que assumir uma certa hipótese, não comprovada na época, que veio a ser chamada de J. R.; grosso modo J. R. afirma que existe uma equação de Diophantine com dois parâmetros a,b com a propriedade de que os pares (a,b) para que a equação tem soluções são tais que b aumenta exponencialmente em função de um. Assumindo J. R. e a realização de um complexo e engenhoso de análise, ela se mostrou não apenas que as potências de 2 são Diophantine, mas também que o conjunto dos números primos, assim como muitos outros também estão. É facilmente visto que todos os conjuntos Diofantinos são listáveis, mas agora ela se perguntou se o inverso pode ser verdadeiro, se todos os conjuntos listáveis podem ser Diofantinos. Isso, ela sabia que teria consequências profundas.Em 1900, para saudar o novo século, o grande matemático David Hilbert propôs uma lista de vinte e três problemas para ser um desafio. O décimo em sua lista era fornecer um algoritmo para determinar se uma determinada equação diofantina polinomial tem soluções. Se de fato todos os conjuntos listáveis fossem Diofantinos, ela percebeu, então, em particular, haveria um conjunto Diofantino não computável, implicando que não poderia haver algoritmo como Hilbert havia pedido. Isso constituiria uma solução negativa do décimo problema de Hilbert.
no verão de 1959, Robinson recebeu pelo correio uma pré-impressão de um artigo de Martin Davis e Hilary Putnam. O artigo continha uma prova de que, assumindo J. R., todos os conjuntos listáveis são de fato Diofantinos. No entanto, a prova tinha uma lacuna importante. Ele usou o fato de que existem sequências arbitrariamente longas de números primos com a propriedade especial de que a diferença entre os termos consecutivos da sequência é constante. Embora isso seja verdade, em 1959 foi uma mera hipótese; foi provado apenas em 2004. Robinson conhecia muito bem o trabalho anterior de Davis e Putnam e expressou surpresa e prazer com sua realização. Em ordem muito curta, ela mostrou como fazer sem a hipótese extra sobre números primos, e até encontrou uma versão curta da prova. Assim, para obter a solução negativa antecipada do décimo problema de Hilbert, resta apenas provar que J. R.
isso foi realizado em janeiro de 1970 pelo Yuri Matiyasevich, de vinte e dois anos, usando a famosa sequência de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,…. Ele encontrou uma equação diofantina com dois parâmetros a, b que ele foi capaz de provar tem soluções apenas no caso de b é o número de Fibonacci no 2A-th lugar nesta sequência. Como os números de Fibonacci crescem exponencialmente, isso constituiu uma prova de que J. R. Robinson ficou encantado com a prova engenhosa de Matiyasevich e viajou para Leningrado, onde suas famílias se conheceram. Sua colaboração foi frutífera; juntos, eles foram capazes de mostrar que o décimo problema de Hilbert é insolúvel mesmo para equações em 13 incógnitas. (Mais tarde Matiyasevich foi capaz de reduzir o número para 9.)
Coda as regras de “nepotismo” em vigor na Universidade da Califórnia teriam tornado impossível uma nomeação regular do corpo docente para Robinson, desde que seu marido estivesse no corpo docente. Em qualquer caso, pode muito bem ser que seus problemas de saúde teriam impedido uma posição em tempo integral. Ela ocasionalmente lecionava um curso como Adjunta e serviu como conselheira de fato para dois excelentes alunos de doutorado, Leonard Adleman e Kenneth Manders. Robinson desafiou a previsão do médico de que ela não viveria até os quarenta anos, mas em seu quadragésimo primeiro aniversário seu coração danificado a aproximou do status inválido. Ela foi resgatada por um procedimento cirúrgico que só recentemente se tornou disponível e que melhorou muito sua situação, permitindo-lhe viver uma vida ativa por mais vinte e cinco anos.Seu excelente trabalho foi reconhecido por sua eleição em 1975 para a Academia Nacional de Ciências, a primeira mulher a ser eleita para a seção de matemática. Nesse mesmo ano, ela foi finalmente oferecida uma nomeação de professor na Universidade da Califórnia em Berkeley.
a seu pedido, era uma consulta trimestral. Uma bolsa MacArthur veio em 1983. Ela foi eleita presidente da American Mathematical Society para 1983-1984, a primeira mulher a ocupar este cargo. Tragicamente, ela não conseguiu completar seu mandato. Ela foi encontrada sofrendo de leucemia durante o verão de 1984. Após uma breve remissão, Julia Robinson morreu da doença em 30 de julho de 1985.
bibliografia
trabalhos de ROBINSON
” Definibilidade e problemas de decisão em aritmética.”Journal of Symbolic Logic 14 (1949): 98-114. Esta foi a dissertação de Robinson. “Funções Recursivas Gerais.”Proceedings of the American Mathematical Society 1 (1950): 703-718. Além da caracterização de funções computáveis de um argumento descrito acima, muitos outros resultados interessantes são discutidos neste artigo. “Definibilidade existencial na aritmética.”Transactions of the American Mathematical Society 72 (1952): 437-449. Um artigo fundamental no qual o que veio a ser chamado de J. R. demonstrou implicar a definibilidade existencial dos poderes de 2, Os Primos e, na verdade, a função exponencial completa.
com Martin Davis e Hilary Putnam.”O problema da decisão para equações diofantinas exponenciais.”Annals of Mathematics 74 (1961): 425-436. Foi neste artigo que foi provado que J. R. implica a insolvência do décimo problema de Hilbert. “Uma introdução às funções Hiperaritméticas.”Journal of Symbolic Logic 32 (1967): 325-342. Esta foi a excursão de Robinson ao muito incomputável.
Com Yuri Matiyasevich. “Redução de uma equação diofantina arbitrária para uma em 13 incógnitas.”Acta Arithmetica 27 (1975): 521-553. Teoria dos números virtuosos! Com Martin Davis e Yuri Matiyasevich. “O décimo problema de Hilbert. Equações diofantinas: aspectos positivos de uma solução negativa.”Em desenvolvimentos matemáticos decorrentes de problemas de Hilbert, editado por Felix Browder. Providence, RI: American Mathematical Society, 1976.
Anais de Simpósios em Matemática Pura 28( 1976): 323-378. Um levantamento da prova da insolvência do décimo problema de Hilbert, bem como dos desenvolvimentos matemáticos decorrentes dele por três dos quatro matemáticos cujo trabalho levou a essa prova.
as obras coletadas de Julia Robinson. Editado por Solomon
Feferman. Providence, RI: American Mathematical Society, 1996. Todas as vinte e cinco publicações de Robinson são reimpressas aqui na íntegra. Além disso, há o belo ensaio biográfico sobre ela escrito por Feferman para a Academia Nacional de Ciências.
outras fontes
Davis, Martin. “O décimo problema de Hilbert é insolúvel.”
American Mathematical Monthly 80 (1973): 233-269; reimpresso como um apêndice em Computability and Unsolvability, editado por Martin Davis. Nova York: Dover, 1983. Um ensaio vencedor do Prêmio Steele que oferece a prova completa da insolvência do décimo problema de Hilbert. A reimpressão de Dover é de um dos primeiros tratamentos de comprimento de livro da teoria da computabilidade.
—, e Reuben Hersh. “O décimo problema de Hilbert.”
Scientific American 229 (Novembro De 1973): 84-91. Reimpresso em The Chauvenet Papers, Vol. 2, editado por J. C. Abbott. Washington, DC: Associação Matemática da América, 1978. Um artigo vencedor do Prêmio Chauvenet destinado ao público educado em geral.Matiyasevich, Yuri. “Minha colaboração com Julia Robinson.”
The Mathematical Intelligencer 14 (1992): 38-45. Sua história de como uma jovem russa e uma Americana muito mais velha vieram produzir matemática elegante juntos.
———. O décimo problema de Hilbert. Cambridge, MA: MIT Press,
1993. Uma excelente introdução e pesquisa adequada para cursos de graduação em matemática, com uma bibliografia muito inclusiva.
Reid, Constance. Julia, uma vida em Matemática. Washington, DC:
Associação Matemática da América, 1996. Pela irmã de Robinson, tem fotografias, a biografia útil de Reid, intitulada “A autobiografia de Julia Robinson”, e uma breve nota de Martin Davis sobre seu trabalho com Hilary Putnam.
Martin Davis
