(fl. China, ca, a.d. 250)
matematică.
nu se știe nimic despre viața lui Liu Hui, cu excepția faptului că el a înflorit în Regatul Wei spre sfârșitul perioadei celor Trei Regate (a.d. 221-265). Scrierile sale matematice, pe de altă parte, sunt bine cunoscute; comentariul său asupra Chiu-chang suan-shu („nouă capitole despre arta matematică”) a exercitat o influență profundă asupra matematicii chineze de peste 1.000 de ani. El a scris o altă lucrare importantă, dar mult mai scurtă: Hai-tao suan-ching („manualul matematic al insulei Mării”).
unii cercetători cred că Chiu-Chang suan-shu, numit și Chiu-chang suan-ching(„Manual matematic în nouă capitole”), exista deja în China în secolul al III-lea î.HR.c Ch ‘ien Paotsung, în lucrarea sa Chung-kuo suan-HS century-shih, și Chang Yin-lin (Yenching HS Century Pao, 2 , 301) au remarcat că titlurile anumitor oficiali menționați în probleme datează de la Chung-kuo suan-HS’ in și mai devreme (al treilea și începutul secolului al II-lea î. HR.). Există, de asemenea, referințe care trebuie să indice un sistem de impozitare de 203 î.HR. Conform prefața lui Liu Hui, cartea a fost arsă în timpul împăratului Ch ‘ IN Shih-huang (221-209 î.HR.); dar rămășițele acesteia au fost recuperate ulterior și puse în ordine. În următoarele două secole, comentariile la această carte au fost scrise de Chang Ts ‘ ang (fl. 165-142 î.HR.) și Keng Shou-ch ‘ ang (fl. 75-49 î.HR.). Într-un studiu realizat de Ch ‘ien Pao-tsung (1963) se sugerează, din dovezi textuale Interne, că Chiu-chang suan-shu a fost scris între 50 î.HR. și 100 d.HR. și că este îndoielnic dacă Chang Ts’ ang și Keng Shou-ch ‘ ang au avut vreo legătură cu cartea. Cu toate acestea, Li Yen și Tu Shih-jan, ambii colegi ai lui Ch ‘ ien Pao-tsung, încă credeau prefața lui Liu Hui când au scris despre Chiu-chang suan-shu în același an.
în secolul al VII-lea, atât Chiu-chang suan-shu, cât și Hai-tao suan-ching (a.d. 263) au fost incluse în Suan-ching shih-shu („zece manuale matematice”, a.d. 656), la care matematicianul și astronomul T ‘ ang Li Shun-feng (602-670) și-a adăugat adnotările și comentariile. Aceste lucrări au devenit apoi texte standard pentru studenții la matematică; reglementările oficiale prevedeau ca trei ani să fie dedicați lucrărilor lui Liu Hui. Lucrările lui Liu Hui și-au găsit drumul spre Japonia cu aceste manuale matematice. Când școlile au fost înființate în Japonia în 702 și matematica a fost predată, atât Chiu-chang suan-shu, cât și Hai-tao suan-ching au fost printre textele prescrise.
conform tratatului matematic al lui Ch ‘eng Ta-wei, Suan-fa t’ ung-tsung („tratat sistematic de aritmetică”; 1592), atât Chiu-chang suan-shu, cât și Hai-tao suan-ching au fost tipărite oficial pentru prima dată în 1084. A existat o altă versiune tipărită a acestora de Pao Huan-chih în 1213. La începutul secolului al XV-lea au fost incluse, deși considerabil rearanjate, în vasta enciclopedie Ming, Yung-lo ta-tien (1403-1407). În a doua parte a secolului al XVIII-lea Tai Chen (1724-1777) a reconstruit aceste două texte după ce le-a extras fragmentat din Yung-lo la-tilen. Ulterior au fost incluse de K ‘ung Chi-han (1739-1787) în al său Wei-po-hesieh ts’ ung-shu (1773). Trei ani mai târziu, ch ‘ Tseng-fa le-a tipărit separat cu prefață de Tai Chen.
alte reproduceri bazate pe reconstrucția lui Tai Chen în Wei-po-hsieh ts ‘ ung-shu se găsesc în Suan-ching shih-shu („zece manuale Matematice”) din Mei Ch ‘i-chao (1862 și în Wan-yu-wen-k’ u (1929-1933) și Ssu-pu ts ‘ung-k’ an serie (1920-1922; ambele din presa comercială, Shanghai). Doi cărturari din secolul al XIX-lea, Chung Hsiang și Li Huang, au descoperit că anumite pasaje din text au fost făcute de neînțeles prin încercarea lui Tai Chen de a îmbunătăți textul original al Chiu-chang suan-shu. Un fragment din ediția de la începutul secolului al XIII-lea a Chiu-chang suan-shu. format din doar cinci capitole, a fost găsit în secolul al XVII-lea în Nanking, în biblioteca privată din Huang y-Chi (1629-1691). Această copie a fost văzută de celebrul cărturar Ch ‘ing Mei Wen-ting (1633-1721) în 1678 și ulterior a intrat în posesia K’ ung Chi-han (1739-1784) și apoi Chang Tun-jen (1754-1834); în cele din urmă a fost achiziționat de Biblioteca din Shanghai, unde este păstrat acum. În 1684, Mao I (1640-după 1710) a făcut o copie scrisă de mână a textului original găsit în biblioteca din Huang y-Chi. Această copie a fost achiziționată ulterior de împărat în timpul domniei Ch ‘ ien-lung (1736-1795). În 1932 a fost reprodus în seria T ‘ien-lu-lin-lang ts’ ung-shu.
în 1261 Yang Hui a scris Hsiang-csieh chiu-chang suan-fa („analiza detaliată a regulilor Matematice din cele nouă capitole”) pentru a elucida problemele din Chiu-chang suan-shu. Ch ‘ien Pao-tsung în 1963 a adunat textul Chiu-chang suan-shu din versiunea lui Tai Chen, fragmentele ediției târzii Sung reproduse în seria T’ ien-lu-lin-lang ts ‘ ung-shu și Yang Hui Hsiang-chieh chiu-Chang suan-fa.
în ceea ce privește Hai-tao suan-ching, rămâne doar versiunea reconstruită de Tai Chen. A fost reprodus în ediția Palatului Wu-ying-tien (înainte de 1794), „zece manuale Matematice” din K ‘ung Chi-han’ s Wei-po-hsieh ts ‘ung-shu, și apendicele la Ch Tseng-fa’ S Chiu-chang suan-shu.
Chiu-chang suan-shu a fost conceput ca un manual practic, un fel de aide-m pentru arhitecți, ingineri, oficiali și comercianți. Acesta este motivul prezenței atâtor probleme la construirea canalelor și digurilor, zidurilor orașului, impozitării, barterului, serviciilor publice etc. Se compune din nouă capitole, cu un total de 246 de probleme. Capitolele pot fi prezentate după cum urmează:
(1) Fang-t ‘ ien („topografie funciară”) conține regulile pentru găsirea zonelor triunghiurilor, trapezoidelor, dreptunghiurilor, cercurilor, sectoarelor cercurilor și anulilor. Oferă reguli pentru adunarea, scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor. Există o formulă interesantă, dar inexactă, pentru zona segmentului a unde sunt cunoscute coarda c și sagitta s, sub forma s(C + S)/2. Această expresie a apărut mai târziu în timpul secolului al IX-lea în Mah Oktarv Oktar Ganitas Oktarkrasangraha.
de interes special este valoarea raportului dintre circumferința unui cerc și diametrul său pe care Liu Hui l-a folosit. Valoarea antică a lui octoxus folosită în China era de 3, dar încă din primul secol matematicienii chinezi căutau o valoare mai exactă. Liu Hsin (D.A. d.23) a folosit 3.1547, în timp ce Chang Hen (78-139) a dat 10 și 92/29. Wang Fan (219-257) a găsit 142/45, iar apoi Liu Hui a dat 3,14. Cele mai importante nume în acest sens sunt, totuși, cele ale lui Tsu Ch ‘ung-chih (430-501), un strălucit matematician, astronom și inginer al dinastiilor Liu Sung și Ch’ i, și fiul său, Tsu Cheng-chih. Tsu Ch ‘ung-chih a dat două valori pentru hectolix mai întâi una” inexactă „(yo l, hectolix), egală cu 22/7, dată mai devreme de Arhimede, și apoi una” mai precisă ” ((mi lu)), 355/113 (3.1415929). El a căutat chiar și aproximări suplimentare și a constatat că se află între 3.1415926 și 3.1415927. Metoda sa a fost probabil descrisă în Chui Shu, pe care el și Fiul Său l-au scris, dar acum este pierdut. Valoarea de 355/113 a lui Tsu ch ‘ung-chih pentru cifra de afaceri a dispărut timp de mai multe secole în China până când a fost din nou preluată de Chao Yu-ch’ in ((fl, ca. 1300)). Liu Hui a obținut valoarea exactă 3.14 luând raportul dintre perimetrul unui poligon regulat de nouăzeci și șase de laturi și diametrul unui cerc care înconjoară acest poligon. Să începem cu un hexagon regulat al laturii L6. Raportul dintre perimetrul Hexagonului și diametrul cercului care îl închide este 3. Dacă schimbăm hexagonul într—un poligon regulat de douăsprezece laturi, așa cum se arată în Figura 1—observând că L6 = r, raza cercului circumscris-atunci latura poligonului cu douăsprezece fețe este dată de
prin urmare, dacă Lnis cunoscut, atunci L2n poate fi găsit din expresia
luând R = 1, pot fi găsite următoarele valori: L6 = 1; L12 = 0,517638; L24 = 0, 261052; L48 = 0, 130806; L96 = 0, 065438.
perimetrul unui poligon regulat de n = 96 și r = 1 este 96 0.065438 = 6.282048. Prin urmare, 0,282048/2 = 3,141024, sau aproximativ 3,14. Liu Hui a folosit, de asemenea, un poligon de 3.072 de laturi și a obținut cea mai bună valoare a sa, 3.14159.
(2)Su-mi („mei și orez”) se ocupă de procente și proporții. Ecuațiile nedeterminate sunt evitate în ultimele nouă probleme din acest capitol prin utilizarea proporțiilor.
(3)Ts ‘ iu-fen(„distribuția prin progresie”) se referă la distribuția proprietăților între parteneri în funcție de ratele date. De asemenea, include probleme în impozitarea bunurilor de diferite calități, iar altele în progresii aritmetice și geometrice, toate rezolvate prin utilizarea proporțiilor.
(4)Shao-kuang („lățimea diminuată”) implică găsirea laturilor unui dreptunghi atunci când sunt date aria și una dintre laturi, circumferința unui cerc
când aria sa este cunoscută, latura unui cub având în vedere volumul său și diametrul unei sfere de volum cunoscut. Este prezentată utilizarea celui mai mic multiplu comun în fracții. Este interesant faptul că fracțiile unitare sunt utilizate, de exemplu, în problema 11 din acest capitol. Lățimea dată a unei forme dreptunghiulare este exprimată ca
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
problemele din acest capitolduce, de asemenea, la extragerea rădăcinilor pătrate și a rădăcinilor cubice; problema 13, de exemplu, implică găsirea rădăcinii pătrate a 25.281. Conform metodei date în Chiu-chang suan-shu, acest număr, cunoscut sub numele de Shih (dividend), este plasat pentru prima dată în al doilea rând din partea de sus a plăcii de numărare. Apoi, o tijă de numărare, numită Chieh-suan preliminar, este pusă pe rândul de jos al plăcii de numărare în cea mai îndepărtată coloană de cifre din dreapta. Această tijă este mutată spre stânga, două locuri la un moment dat, ca și cum ar putea merge fără a depăși cea mai îndepărtată cifră stângă a numărului din rândul shih. Cu noua sa valoare de loc, această tijă se numește chieh-sucn. Este prezentat în figura 2a.
se constată că prima figură a rădăcinii se află între 100 și 200. Apoi 1 este luat ca prima figură a rădăcinii și este plasat pe rândul de sus în coloana sute. Rândul de sus se numește fang. Chieh-suan este înmulțit cu prima figură a rădăcinii. Produsul, numit fa, este plasat în al treilea rând. Shih (25.281) mai puțin fa (10.000) lasă „primul rest” (15.281), care este scris pe al doilea rând, așa cum se arată în figura 2b. după ce s-a făcut diviziunea, fa este dublată pentru a forma ting-fa. Aceasta este mutată cu o cifră spre dreapta, în timp ce chieh-suan este deplasat cu două cifre spre dreapta, așa cum se arată în figura 2c.
a doua cifră, selectată prin încercare și eroare, se găsește între 5 și 6. Prin urmare, cifra zecilor este considerată a fi 5 și va fi plasată în poziția corespunzătoare pe rândul de sus din Figura 2e. Chieh-suan (care este acum 100) este înmulțit cu această a doua cifră și produsul este adăugat la Ting-fa, care devine 2.500. Ting-fa înmulțit cu 5 se scade din primul rest, ceea ce dă un rest de 2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), așa cum se arată în figura 2D. ting-fa este apoi deplasat cu o cifră spre dreapta și chieh-suan două locuri (vezi figura 2e). A treia cifră, selectată din nou prin încercare și eroare, se dovedește a fi 9. Această cifră a unității este plasată în poziția corespunzătoare pe rândul de sus. Chieh-suan, care este acum 1, este înmulțit cu această a treia cifră și produsul este adăugat la Ting-fa, care devine 259. Al doilea rest este împărțit la ting-fa, care lasă un rest de zero (2,781 ÷ 259 = 9 +0). Prin urmare, răspunsul este 159 (a se vedea figura 2f).
(5) Shang-kung („consultări privind lucrările de inginerie”) oferă volumele unor figuri solide precum prisma, piramida, tetraedrul, pană, cilindrul, conul și frustumul unui con:
(a) Volumul prismei pătrate = pătratul laturii bazei ori înălțime.
(b) Volumul cilindrului =1/12 pătrat de circumferință a cercului ori înălțime (unde se consideră că valoarea de 3% este de aproximativ).
(c) volumul piramidei pătrate trunchiate = 1/3 înălțimea ori suma pătratelor laturilor pătratelor superioare și inferioare și produsul laturilor pătratelor superioare și inferioare.
(d) volumul piramidei pătrate = 1/3 înălțimea ori pătratul laturii bazei.
(e) volumul de frustum al unui con circular = 1/36 înălțimea este egală cu suma pătratelor circumferințelor fețelor circulare superioare și inferioare și produsul acestor două circumferințe (unde se consideră că 3% este egal cu 3).
(f) volumul conului circular = 1/36 înălțimea este egală cu pătratul circumferinței bazei (unde se consideră că cifra de afaceri este de aproximativ 3).
(g) volumul unei prisme triunghiulare drepte = 1/2 produsul lățimii, lungimii și înălțimii.
(h) volumul unei piramide dreptunghiulare = 1/3 produsul lățimii și lungimii bazei și înălțimii.
(i) volumul tetraedrului cu două muchii opuse perpendiculare între ele = 1/6 produsul celor două muchii opuse perpendiculare și perpendicularul comun acestor două muchii.
(6) CH(„impozitarea imparțială”) se referă la problemele de urmărire și aligare, în special în legătură cu timpul necesar contribuabililor pentru a-și obține contribuțiile la cereale din orașele lor natale în capitală. De asemenea, se ocupă de problemele raporturilor legate de alocarea sarcinilor fiscale în funcție de populație. Problema 12 din acest capitol spune:
un alergător bun poate merge 100 de pași în timp ce un alergător rău merge 60 de pași. Alergătorul rău a parcurs o distanță de 100 de pași înainte ca alergătorul bun să înceapă să-l urmărească. În câți pași va prinde bunul alergător?
(7) Ying pu-tsu sau Ying-n („exces și deficiență”). Ying, referindu-se la luna plină, și pu-tsu sau n La Luna Nouă, înseamnă „prea mult” și, respectiv, „prea puțin”. Această secțiune tratează o invenție algebrică Chineză utilizată în principal pentru rezolvarea problemelor de tip ax + b = 0 într-un mod destul de giratoriu. Metoda a ajuns să fie cunoscută în Europa ca regula poziției false. În această metodă se fac două presupuneri, x1 și x2, dând naștere la valori C1 și, respectiv, c2, fie mai mari, fie mai mici decât 0. Din acestea avem următoarele ecuații:
înmulțind (1) cu x2 și (2) cu x1, avem
Din (1) și (2),
prin urmare,
Problema 1 din acest capitol spune:
într-o situație în care anumite lucruri sunt achiziționate în comun, dacă fiecare persoană plătește 8 , surplusul este 3 , iar dacă fiecare persoană plătește 7, deficiența este 4. Găsiți numărul de persoane și prețul lucrurilor aduse.
conform metodei excesului și deficienței, ratele (adică „presupunerile” 8 și 7) sunt stabilite mai întâi pe placa de numărare, cu excesul (3) și deficiența (-4) plasate sub ele. Ratele sunt apoi încrucișate înmulțite cu excesul și deficiența, iar produsele sunt adăugate pentru a forma dividendul. Apoi, excesul și deficiența sunt adăugate împreună pentru a forma divizorul. Coeficientul oferă suma corectă de bani plătibilă de fiecare persoană. Pentru a obține numărul de persoane, Adăugați excesul și deficiența și împărțiți suma la diferența dintre cele două rate. Cu alte cuvinte, x și a sunt obținute folosind ecuațiile (5) și (4) de mai sus.
uneori, o problemă directă poate fi transformată într-una care implică utilizarea regulii poziției false. Problema 18 din același capitol spune:
există 9 bucăți de aur și 11 bucăți de argint. Cele două loturi cântăresc la fel. O bucată este luată din fiecare lot și pusă în cealaltă. Lotul care conține în principal aur este acum găsit să cântărească mai puțin decât lotul care conține în principal argint de 13 uncii. Găsiți greutatea fiecărei bucăți de aur și argint.
aici sunt făcute două presupuneri pentru greutatea aurului. Metoda spune că, dacă fiecare bucată de aur cântărește 3 kilograme, atunci fiecare bucată de argint ar cântări 2 5/11 kilograme, dând o deficiență de 49/11 uncii; și dacă fiecare bucată de aur cântărește 2 kilograme, atunci fiecare bucată de argint ar cântări 1 7/11 kilograme, dând un exces de 15/11 uncii. După aceasta, se aplică regula poziției false.
(8) Fang-Ch ‘ eng („calcul prin tabulare”) se referă la ecuații liniare simultane, folosind atât numere pozitive, cât și negative. Problema 18 din acest capitol implică cinci necunoscute, dar oferă doar patru ecuații, anunțând astfel ecuația nedeterminată. Procesul de rezolvare a ecuațiilor liniare simultane dat aici este același cu procedura modernă de rezolvare a sistemului simultan
a1x + b1y + c1z = d1
A2X + b2y + C2Z = d2
A3X + b2y + C3Z = d3,
cu excepția faptului că coeficienții și constantele sunt aranjate în coloane verticale în loc de fiind scris orizontal:
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3.
în acest capitol, Liu Hui explică, de asemenea, adunarea și scăderea algebrică a numerelor pozitive și negative. (Liu Hui a notat numerele pozitive și numerele negative prin tije de calcul roșii și negre, respectiv.)
(9) Kou-ku („unghiuri drepte”) se ocupă de aplicarea teoremei pitagoreice. Unele dintre problemele sale sunt următoarele:
o bucată cilindrică de lemn cu diametrul secțiunii transversale de 2 picioare, 5 inci, trebuie tăiată într-o bucată de scândură de 7 inci grosime. Care este lățimea? Există un copac de 20 de picioare înălțime și 3 picioare în circumferință.Un târâtor se învârte în jurul copacului de șapte ori și ajunge doar în vârf. Găsiți lungimea viței de vie, există un iaz de 7 metri pătrați, cu o trestie care crește în centru și măsoară piciorul deasupra apei. Trestia ajunge doar la mal la nivelul apei atunci când este trasă spre ea. Găsiți adâncimea apei și lungimea stufului.
există un bambus de 10 metri înălțime. Când este îndoit, capătul superior atinge solul la 3 metri distanță de tulpină. Găsiți înălțimea pauzei,
este interesant faptul că o problemă similară cu 13 a apărut în lucrarea lui Brahmagupta în secolul al șaptelea.
problema 20 a stârnit un interes și mai mare:
există un oraș pătrat de dimensiuni necunoscute. O poartă este la mijlocul fiecărei părți. La douăzeci de pași de poarta de Nord este un copac. Dacă cineva merge 14 pași de la poarta de Sud, se întoarce spre vest și ia 1.775 de pași, copacul va veni doar în vedere. Găsiți lungimea laturii orașului.
cartea indică faptul că răspunsul poate fi obținut prin evoluția rădăcinii ecuației pătratice.
x2 + (14 + 20)x = 2(1775, 20).
metoda de rezolvare a acestei ecuații nu este descrisă. Mikami sugerează că este foarte probabil ca extracția rădăcinii să fi fost efectuată cu un termen suplimentar în coeficientul de gradul I în necunoscut și că acest termen suplimentar a fost numit tsung, dar în traducerea sa literală a unor părți ale textului referitoare la extracții de rădăcină nu observă că pașii succesivi corespund îndeaproape cu cei din metoda lui Horner. Ch ‘ ien Pao-tsung și Li Yen au încercat amândoi să compare metoda descrisă în Chiu-chang suan-shu cu cea a lui Horner, dar nu au clarificat obscuritățile textuale. Wang ling și Needham spun că este posibil să se arate că, dacă textul Chiu-chang suan-shu este urmat foarte atent, elementele esențiale ale metodelor utilizate de chinezi pentru rezolvarea ecuațiilor numerice de gradul doi și superior, similar cu cel dezvoltat de Horner în 1819, sunt prezente într-o lucrare care poate fi datată în primul secol î.HR.
Hai-tao suan-ching, cunoscut inițial sub numele de Ch ‘ung ch’ a („Metoda diferențelor duble”), a fost anexat la Chiu-Chang Suan-Shu ca al zecelea capitol al său. A fost separat de textul principal în secolul al VII-lea, când au fost alese „zece manuale matematice” și i s-a acordat titlul Hai-tao suan-cluig. Potrivit lui Mikami, termenul ch ‘ung ch’ a a fost destinat să însemne aplicarea dublă sau repetată a proporțiilor laturilor triunghiurilor dreptunghiulare. Numele Hai-tao a venit probabil de la prima problemă a cărții, care se ocupă de o insulă din mare. Constând din doar nouă probleme, cartea este echivalentă cu mai puțin de un capitol din Chiu-chang suan-shu.
în prefața Sa, Liu Hui descrie metoda clasică chineză de determinare a distanței de la soare la pământul plat prin intermediul triangulării duble. Conform acestei metode, doi poli verticali de opt metri înălțime au fost ridicați la același nivel de-a lungul aceluiași meridian, unul la vechea capitală Chou din Yan-ch ‘ eng și celălalt 10.000 li (1 ,li = 1.800 picioare) spre nord. Lungimile umbrelor aruncate de soare la amiază solstițiului de vară au fost măsurate și din acestea s-a putut deduce distanța soarelui. Liu Hui arată apoi cum aceeași metodă poate fi aplicată mai multor exemple de zi cu zi. Problema 1 spune:
o insulă marină este privită de la distanță. Doi poli, fiecare de 30 de metri înălțime, sunt ridicați la același nivel la 1.000 pu distanță, astfel încât polul din spate să fie în linie dreaptă cu insula și celălalt pol. Dacă se mișcă 123 pu înapoi de la polul mai apropiat, partea superioară a este vizibilă doar prin capătul polului dacă îl vede de la nivelul solului. Dacă se deplasează înapoi cu 127 pu de la celălalt pol, vârful insulei este vizibil doar prin capătul polului dacă este privit de la nivelul solului. Găsiți altitudinea insulei și distanța de la pol. polul este 102 li, 150 pu (300 pu = 1 li).]
regula pentru rezolvarea acestei probleme este dată după cum urmează:
înmulțiți înălțimea polului cu distanța dintre poli și împărțiți produsul la diferența dintre distanțele pe care trebuie să le parcurgeți de la poli pentru a vedea cel mai înalt punct de pe insulă. Adăugarea înălțimii polului la coeficient dă altitudinea insulei. Pentru a găsi distanța de la polul mai apropiat de insulă, înmulțiți distanța parcursă înapoi de acel pol cu distanța dintre poli. Împărțirea produsului la diferența dintre distanțele pe care trebuie să le parcurgi de la poli dă această distanță.
Problema 7 este de interes special:
o persoană se uită într-un abis cu o bucată de piatră albă în partea de jos. De pe țărm, o bară transversală este întoarsă pentru a se afla pe partea care este în mod normal în poziție verticală . Dacă baza este de 3 picioare și se uită la suprafața apei de la vârful bazei, linia de vedere întâlnește înălțimea barei transversale la o distanță de 4 picioare, 5 inci; și când se uită la stâncă, linia de vedere întâlnește înălțimea barei transversale la o distanță de 2 picioare, 4 inci. O bară transversală similară este instalată la 4 picioare deasupra primei. Dacă cineva se uită de la vârful bazei, linia de vedere la suprafața apei ar întâlni înălțimea barei transversale la o distanță de 4 picioare; și dacă se uită la stâncă, va fi de 2 picioare, 2 inci. Găsiți adâncimea apei.
în Figura 3, Dacă P este suprafața apei de deasupra rocii albe, R, iar BC și FG sunt cele două bare transversale, atunci BC = FG = 3 picioare; GC = 4 picioare; AC = 4 picioare, 5 inci; DC = 2 picioare, 4 inci; de exemplu = 4 picioare; și HG = 2 picioare, 2 inci. Adâncimea apei, PR, este căutată. Pentru a obține răspunsul, Liu Hui dă următoarea regulă:
Liu Hui nu a luat în considerare aici indicele de refracție al apei. Regula dată este o extensie a celei utilizate în rezolvarea problemei 4, care folosește aceeași metodă pentru determinarea adâncimii unei văi:
o persoană se uită la o vale adâncă. De la marginea văii, o bară transversală este întoarsă pentru a se întinde pe partea care este în mod normal verticală . Baza
are o lungime de 6 picioare. Dacă cineva se uită la partea de jos a văii de la marginea bazei, linia de vedere întâlnește partea verticală la o distanță de 9 picioare, 1 inch. O altă bară transversală este așezată la 30 de picioare direct deasupra primei. Dacă partea de jos a văii este observată de la marginea bazei, linia de vedere se va întâlni cu partea verticală la o distanță de 8 picioare, 5 inci. Găsiți adâncimea văii.
dacă ne referim din nou la Figura 3, ignorând liniile întrerupte, avem CB = GF = 6 picioare; CG = 30 picioare; AC = 9 picioare, 1 inch; de exemplu = 8 picioare, 5 inci; și CQ este adâncimea. Din triunghiuri similare ABC și PBQ,
QB · AC = PQ · CB;
și din triunghiuri similare EFG și PFQ,
QF · EG = PQ · GF.
deoarece CB = GF și QF = QB = BF,
QB · AC = (QB + BF)EG,
QB(AC – EG) = BF · EG = GC · EG,
adică
(CQ + CB)(AC – EG) = GC · EG.
prin urmare,
în problema 7 se obține și distanța de la bancă până la fundul abisului (CS în Figura 3) din expresia
PR este derivat din diferența dintre CS și CQ.
în ceea ce privește celelalte probleme, problema 2 se referă la găsirea înălțimii unui copac pe un deal; problema 3 se referă la dimensiunea unui oraș îndepărtat cu ziduri; problema 5 arată cum se măsoară înălțimea unui turn pe o câmpie așa cum se vede de pe un deal; problema 6 oferă o metodă pentru găsirea lățimii unui golf văzut de la; problema 8 este un caz de a găsi lățimea unui râu văzut de pe un deal;iar problema 9 caută dimensiunea unui oraș văzut muntele A.
bibliografie
o ed. din Chiu-chang suan-shu este vol. 1121 în seria TS ‘ ung-Shu Chi-ch(Shanghai, 1936).
lucrările care se ocupă de Liu Hui și scrierile sale sunt Ch ‘ ien Pao-tsung, Suan-ching shih-shu(„zece manuale matematice”), 2 vol. (Peking, 1963), 83-272; și Chung-kuosuan-HS inktih-shih („Istoria matematicii Chineze”) (Peking 1964), 61-75; L.van h Oktime,” le Hai Tao Suan Ching de Lieou”, în T ‘ young Pao, 20 (1921), 51-60; HS Shunfang, Chung-suan Chia te tai-HS Yen-Chiu („un studiu al algebrei de către matematici chinezi”) (Peking, 1955), 1-8; Li Yen, Chung-kno shu-HS Oktouh ta-Kang („schița matematicii Chineze”I (Shanghai, 1931); și Chungkuo Suan-HS Inktih-Shih („Istoria matematicii Chineze”) (Shanghai, 1937;Rev.Ed., 1955), 16, 19, 21; Li Yen și Tu Shih-jan, Chung-kuo ku-tai shu-HS oktih chien-shih („scurtă istorie a matematicii antice chineze”) I (Peking, 1963), 45-77; Yoshio Mikami, dezvoltarea matematicii în China și Japonia (New York, 1913); Joseph Needham, știință și Civilizație în China,III (Cambridge, 1959), 24-27; George Sarton, Introducere în istoria științei, 3 vol. (Baltimore, 1927-1947), esp. I, 338; Wang Ling, ” Chiu-Chang Suan-Shu și Istoria matematicii Chineze în timpul dinastiei Han,” un dis doctorat. (Cambridge Univ., 1956); Wang Ling și Joseph Needham, „metoda Horner” în matematica Chineză; originile sale în procedura de extracție a rădăcinii dinastiei Han”, în T ‘ Oung Pao, 43 (1955), 345-401; și Alexander Wylie, cercetări Chineze (Shanghai, 1897; repr. Peking, 1936 și Taipei, 1966), 170-174.
câteva studii speciale importante despre Chiu-chang suan-shu sunt E. I. Berezkina, „Drevnekitaysky traktat matematika v devyati knigach” („Tratatul matematic antic chinez în nouă cărți”), în Istoriko-matematicheskie isslidovaniya,10 (1957), 423-584, un trans rus. din Chiu-chang suan-shu; Kurt Vogel, Neun B Inktikcher Arithme-tischer Technik (Brunswick, 1968), un trans German și studiul lucrării; și A. P. Youschkevitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (Leipzig, 1964), 1-88 („Die Mathematik în China”), tradus din rusă.
accesul la notele biografice vechi și citările bibliografice referitoare la lucrările matematice sunt Hu y-Chin, Ssu-k’ u-T ‘ i-Yao PU-Ch („suplimente la Ssu-K’ u-T ‘i-yao”), 2 vols, (Taipei, 1964-1967); și Ting Fu-pao și Chou y-Chin, Ssu-Pu-Tsung-Lu Suan-Fa-Pien („bibliografia cărților matematice pentru a completa enciclopedia SSU-k’ u-ch ‘uan-Shu”; Shanghai, 1956).
mai multe informații despre Suan-Ching Shi-Shu pot fi găsite în Needham, știință și Civilizație în China, III, 18; și în A. Hummel, eminenți chinezi din perioada Ch ‘ ing (Washington, 1943), p. 697.
cele două volume existente ale enciclopediei Yung-lo Ta-Tien au fost reproduse fotografic (Peking, 1960); ele arată că aranjamentul a fost conform procedurilor matematice și nu de către autori.
Ho Peng-Jug
