Yang Hui trojúhelník je zvláštní trojúhelníkové uspořádání čísel používaných v mnoha oblastech matematiky. V Asii je pojmenována po slavném 13. stoletíčínský matematik Yang Hui, jeden z prvních, který popsal své vlastnosti; v Evropě je často pojmenován po 17.století francouzský matematik Blaise Pascal. Ještě před Yang Hui, toto trojúhelníkové uspořádání čísel popsal arabský básník a matematik Omar Khayyam (c.1044-1123) a indický matematik Halajudha v roce 975.
v horní části trojúhelníku je 1, která tvoří 0. řádek. 1strow (1,1) obsahuje dvě 1s, každá vytvořená přidáním dvou čísel nad nimi, jedno vlevo a jedno vpravo, v tomto případě 0A 1. (Všechna čísla mimo trojúhelník jsou 0s.) udělejte totéž pro vytvoření 2ndrow; 0+1=1, 1+1=2, 1+0=1 a všechny následující řádky.
číslo v trojúhelníku lze nalézt pomocí Cnr (nchoose r), kde n je číslo řádku a r je číslo prvku v tomto řádku. (Cnr=n!r!(n-r)!) To je zvláště užitečné najít konkrétní termín v expanzi binomického ve tvaru (x+y) n.
příklad:
Najděte 4. termín v 6. řádku trojúhelníku.
C54=6!4!(6−4)!=6!4!2!=15
(pamatujte: první 1V každém řádku je 0. prvek, takže je to správné.)
součet řádků: součet čísel v libovolném řádku se rovná 2n, když nis číslo řádku.
20=1=121=2=1+122=4=1+2+123=8=1+3+3+124=16=1+4+6+4+1A tak dále.
prvočísla: Pokud je prvním prvkem v řadě prvočíslo (pamatujte, že první 1 v libovolném řádku je 0. prvek.) všechna čísla v tomto řádku (kromě 1s) jsou dělitelná.
například v 7.(1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1) 7, 21, 35jsou dělitelné 7.
v algebře obsahuje každý řádek v trojúhelníku Yang Hui koeficienty binomické (x+y) zvýšené na sílu řádku.
(x+y)0=1 (x+y)1=1x+1y (x+y)2=1×2+2xy+1y2 (x + y)3=1×3+3x2y+3xy2+1y3 (x+y)4=1×4+4x3y+6x2y2+4xy3+1y4a tak dále.
další hlavní oblastí, kde se trojúhelník Yang Hui objeví a je velmi užitečný, je pravděpodobnost, kde jej lze použít k nalezení kombinací.
zajímavé číselné vzory:
mnoho zajímavých číselných vzorů lze nalézt v trojúhelníku. Zahrnuty jsou Fibonacciho posloupnost, trojúhelníková a čtvercová čísla (nalezená v úhlopříčkách začínajících řádkem 3) a Mnohoúhelníková čísla.
dalším zajímavým spojením je Sierpinského trojúhelník. Když jsou všechna lichá čísla v trojúhelníku Yang Hui vyplněna a sudé jsou prázdné,je odhalen rekurzivní fraktál Sierpinského trojúhelníku.
každé z nich jsou fascinující témata, která vyžadují další výzkum z VAŠÍ strany.
