Yang Huis Dreieck ist eine spezielle dreieckige Anordnung von Zahlen, die in vielen Bereichen der Mathematik verwendet wird. In Asien ist es nach dem berühmten chinesischen Mathematiker Yang Hui aus dem 13.Jahrhundert benannt, einem der ersten, der seine Eigenschaften beschrieb; In Europa wird es oft nach dem französischen Mathematiker Blaise Pascal aus dem 17.Jahrhundert benannt. Schon vor Yang Hui wurde diese dreieckige Anordnung von Zahlen vom arabischen Dichter und Mathematiker Omar Khayyam beschrieben.1044-1123) und der indische Mathematiker Halayudha in 975.
Am oberen Rand des Dreiecks befindet sich eine 1, die die 0throw . Die 1Reihe (1,1) enthält zwei 1s, die jeweils durch Addieren der beiden darüber liegenden Zahlen gebildet werden, eine links und eine rechts, in diesem Fall 0und 1. (Alle Zahlen außerhalb des Dreiecks sind 0s.) Machen Sie dasselbe, um den 2. zu Erstellendreieck; 0+1=1, 1+1=2, 1+0=1 und alle nachfolgenden Zeilen.
Eine Zahl im Dreieck kann mit Cnr(nchoose r) , wobei n die Nummer der Zeile und r die Nummer des Elements in dieser Zeile ist. (CNR=n!r!(n−r)!) Dies ist besonders hilfreich, um einen bestimmten Term in der Erweiterung eines Binoms in der Form (x+y)n zu finden.
Beispiel:
Finde den 4. Term in der 6. Zeile des Dreiecks.
C54=6!4!(6−4)!=6!4!2!=15
(Denken Sie daran: Die erste 1 in jeder Zeile ist das 0. Element, daher ist dies korrekt.)
Summe der Zeilen: Die Summe der Zahlen in jeder Zeile ist gleich 2n, wenn nis die Nummer der Zeile.
20=1=121=2=1+122=4=1+2+123=8=1+3+3+124=16=1+4+6+4+ 1 und so weiter.
Primzahlen: Wenn das erste Element in einer Zeile eine Primzahl ist (denken Sie daran, dass die erste 1 in einer Zeile das 0. Element ist.) alle Zahlen in dieser Zeile (mit Ausnahme der 1s) sind durch sie teilbar.
Zum Beispiel in der 7. Zeile (1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1) 7, 21, 35 sind durch 7 teilbar.
In der Algebra enthält jede Zeile in Yang Huis Dreieck die Koeffizienten des Binoms (x + y), die auf die Potenz der Zeile erhöht sind.
(x + y) 0 = 1 (x + y) 1 = 1x + 1y (x + y) 2 = 1×2 + 2xy + 1y2 (x + y) 3 = 1×3 + 3x2y+3xy2+1y3 (x + y) 4 = 1×4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4und so weiter.
Ein weiterer wichtiger Bereich, in dem Yang Huis Dreieck auftaucht und sehr nützlich ist, ist die Wahrscheinlichkeit, in der es verwendet werden kann, um Kombinationen zu finden.
Interessante Zahlenmuster:
Viele interessante Zahlenmuster finden Sie im Dreieck. Enthalten sind die Fibonacci-Folge, dreieckige und quadratische Zahlen (in den Diagonalen beginnend mit Zeile 3) und polygonale Zahlen.
Eine weitere interessante Verbindung besteht zum Sierpinski-Dreieck. Wenn alle ungeraden Zahlen in Yang Huis Dreieck ausgefüllt und die Geraden leer gelassen werden, wird das rekursive Sierpinski-Dreieck-Fraktal aufgedeckt.
All dies sind faszinierende Themen, die weitere Nachforschungen ihrerseits rechtfertigen.
