El triángulo de Yang Hui es una disposición triangular especial de números utilizada en muchas áreas de las matemáticas. En Asia, lleva el nombre del famoso matemático chino del siglo XIII Yang Hui, uno de los primeros en describir sus propiedades; en Europa a menudo lleva el nombre del matemático francés del siglo XVII Blaise Pascal. Incluso antes de Yang Hui, esta disposición triangular de números fue descrita por el poeta y matemático árabe Omar Khayyam (c.1044-1123) y el matemático indio Halayudha en 975.
En la parte superior del triángulo hay un 1, que constituye el 0throw. La 1ra hilera (1,1) contiene dos 1s cada uno formado sumando los dos números encima de ellos, uno a la izquierda y otro a la derecha, en este caso 0 y 1. (Todos los números fuera del triángulo son 0s.) Haga lo mismo para crear la 2ndrow; 0+1=1, 1+1=2, 1+0=1 y todas las filas posteriores.
Se puede encontrar un número en el triángulo usando Cnr (nchoose r), donde n es el número de la fila y r es el número del elemento en esa fila. (Cnr = n!r!(n-r)!) Esto es especialmente útil para encontrar un término en particular en la expansión de un binomio en la forma (x+y) n.
Ejemplo:
Encuentra el cuarto término en la 6ra. del triángulo.
¡C54 = 6!4!(6−4)!=6!4!2!= 15
(Recuerde: el primer 1 en cada fila es el 0to elemento, así que esto es correcto.)
Suma de filas: La suma de los números en cualquier fila es igual a 2n, cuando nis el número de la fila.
20=1=121=2=1+122=4=1+2+123=8=1+3+3+124=16=1+4+6+4+1 y así sucesivamente.
números Primos: Si el primer elemento de una fila es un número primo (recuerde que el primer 1 de cualquier fila es el elemento 0.) todos los números en esa fila (excluyendo los 1) son divisibles por ella.
Por ejemplo en el 7throw (1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1) 7, 21, 35 son divisibles por 7.
En Álgebra, cada fila en el triángulo de Yang Hui contiene los coeficientes del binomio (x+y) elevado a la potencia de la fila.
(x+y)0=1(x+y)1=1x+1y(x+y)2=1×2+2xy+1y2(x+y)3=1×3+3x2y+3xy2+1y3 (x+y)4=1×4+4x3y+6x2y2+4xy3+1y4 y así sucesivamente.
Otra área importante donde aparece el triángulo de Yang Hui y es muy útil es en probabilidad donde se puede usar para encontrar combinaciones.
Patrones de números interesantes:
Se pueden encontrar muchos patrones de números interesantes en el triángulo. Se incluyen la secuencia de Fibonacci, los Números Triangulares y Cuadrados (que se encuentran en las diagonales que comienzan con la fila 3) y los Números Poligonales.
Otra conexión interesante es el Triángulo de Sierpinski. Cuando todos los números impares del Triángulo de Yang Hui se rellenan y los pares se dejan en blanco, se revela el fractal recursivo del Triángulo de Sierpinski.
Cada uno de estos son temas fascinantes que merecen una mayor investigación de su parte.
