Le triangle de Yang Hui est un arrangement triangulaire spécial de nombres utilisé dans de nombreux domaines des mathématiques. En Asie, il est nommé d’après le célèbre mathématicien chinois du 13ème siècle Yang Hui, l’un des premiers à décrire ses propriétés; en Europe, il est souvent nommé d’après le mathématicien français du 17ème siècle Blaise Pascal. Même avant Yang Hui, cet arrangement triangulaire de nombres a été décrit par le poète et mathématicien arabe Omar Khayyam (c.1044-1123) et le mathématicien indien Halayudha en 975.
Au sommet du triangle se trouve un 1, qui constitue le 0throw. La flèche 1 (1,1) contient deux 1 formés chacun en ajoutant les deux nombres au-dessus d’eux, un à gauche et un à droite, en l’occurrence 0 et 1. (Tous les nombres en dehors du triangle sont 0s.) Faites de même pour créer le 2ndrow; 0+1=1, 1+1=2, 1+0=1 et toutes les lignes suivantes.
Un nombre dans le triangle peut être trouvé en utilisant Cnr(nchoose r), où n est le numéro de la ligne et r est le numéro de l’élément de cette ligne. (Cnr = n !r!(n-r)!) Ceci est particulièrement utile pour trouver un terme particulier dans l’expansion d’un binôme sous la forme (x + y) n.
Exemple :
Trouvez le 4ème terme dans le 6ème rang du triangle.
C54 =6!4!(6−4)!=6!4!2!= 15
(Rappelez-vous: le premier 1 de chaque ligne est le 0ème élément, donc c’est correct.)
Somme des lignes : La somme des nombres dans n’importe quelle ligne est égale à 2n, quand nis le numéro de la ligne.
20=1=121=2=1+122=4=1+2+123=8=1+3+3+124=16=1+4+6+4+ 1et ainsi de suite.
Nombres premiers: Si le premier élément d’une ligne est un nombre premier (rappelez-vous que le premier 1 de n’importe quelle ligne est le 0ème élément.) tous les nombres de cette ligne (à l’exclusion des 1) sont divisibles par elle.
Par exemple dans le 7throw (1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1) 7, 21, 35sont divisibles par 7.
En algèbre, chaque ligne du triangle de Yang Hui contient les coefficients du binôme (x+ y) élevé à la puissance de la ligne.
(x + y) 0 = 1 (x + y) 1 = 1x + 1y (x + y) 2 = 1×2 + 2xy + 1y2 (x + y) 3 = 1×3 + 3x2y + 3xy2 + 1y3 (x +y) 4 = 1×4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + 1y4et ainsi de suite.
Un autre domaine majeur où le triangle de Yang Hui apparaît et est très utile est en probabilité où il peut être utilisé pour trouver des combinaisons.
Modèles de nombres intéressants:
De nombreux modèles de nombres intéressants peuvent être trouvés dans le triangle. Sont inclus la séquence de Fibonacci, les Nombres Triangulaires et Carrés (trouvés dans les diagonales commençant par la ligne 3) et les Nombres Polygonaux.
Une autre connexion intéressante est au triangle de Sierpinski. Lorsque tous les nombres impairs du Triangle de Yang Hui sont remplis et que les paires sont laissées vides, la fractale récursive du Triangle de Sierpinski est révélée.
Chacun de ces sujets sont des sujets fascinants qui méritent des recherches supplémentaires de votre part.
