Triangolo di Yang Hui è una speciale disposizione triangolare di numeri utilizzati in molte aree della matematica. In Asia, prende il nome dal famoso 13 ° secolo matematico cinese Yang Hui, uno dei primi a descrivere le sue proprietà; in Europa è spesso chiamato dopo il 17 ° secolo matematico francese Blaise Pascal. Anche prima di Yang Hui, questa disposizione triangolare dei numeri è stato descritto dal poeta arabo e matematico Omar Khayyam (c.1044-1123) e il matematico indiano Halayudha nel 975.
Nella parte superiore del triangolo c’è un 1, che costituisce lo 0throw. Il 1strow (1,1) contiene due 1s ciascuno formato aggiungendo i due numeri sopra di loro, uno a sinistra e uno a destra, in questo caso 0e 1. (Tutti i numeri al di fuori del triangolo sono 0s.) Fai lo stesso per creare il 2ndrow; 0+1=1, 1+1=2, 1+0=1 e tutte le righe successive.
Un numero nel triangolo può essere trovato usando Cnr(nscegli r), dove n è il numero della riga e r è il numero dell’elemento in quella riga. (Cnr=n!r!(n-r)!) Questo è particolarmente utile per trovare un termine particolare nell’espansione di un binomio nella forma (x+y)n.
Esempio:
Trova il 4thterm nella 6throw del triangolo.
C54 = 6!4!(6−4)!=6!4!2!=15
(Ricorda: il primo 1 in ogni riga è lo 0 ° elemento, quindi è corretto.)
Somma delle righe: La somma dei numeri in qualsiasi riga è uguale a 2n, quando n è il numero della riga.
20=1=121=2=1+122=4=1+2+123=8=1+3+3+124=16=1+4+6+4+1e così via.
Numeri primi: Se il primo elemento di una riga è un numero primo (ricorda che il primo 1 di ogni riga è lo 0 ° elemento.) tutti i numeri in quella riga (esclusi gli 1) sono divisibili per esso.
Per esempio nel 7throw (1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1) 7, 21, 35sono divisibili per 7.
In Algebra, ogni riga nel Triangolo di Yang Hui contiene i coefficienti del binomio (x+y) elevato alla potenza della riga.
(x+y)0=1(x+y)1=1x+1y(x+y)2=1×2+2xy+1y2(x+y)3=1×3+3x2y+3xy2+1y3 (x+y)4=1×4+4x3y+6x2y2+4xy3 + 1y4e così via.
Un’altra area importante in cui il Triangolo di Yang Hui si presenta ed è molto utile è in probabilità dove può essere usato per trovare combinazioni.
Modelli numerici interessanti:
Molti modelli numerici interessanti possono essere trovati nel triangolo. Sono inclusi la sequenza di Fibonacci, i numeri triangolari e quadrati (che si trovano nelle diagonali che iniziano con la riga 3) e i numeri poligonali.
Un’altra connessione interessante è il Triangolo di Sierpinski. Quando tutti i numeri dispari nel Triangolo di Yang Hui sono riempiti e i pari sono lasciati vuoti, il frattale del Triangolo di Sierpinski ricorsivo viene rivelato.
Ognuno di questi sono argomenti affascinanti che meritano ulteriori ricerche da parte vostra.
