Yang Hui ‘ s driehoek is een speciale driehoekige rangschikking van getallen die in veel deelgebieden van de wiskunde wordt gebruikt. In Azië is het vernoemd naar de beroemde 13de eeuwse Chinese wiskundige Yang Hui, een van de eerste die zijn eigenschappen beschrijft; in Europa is het vaak vernoemd naar de 17de eeuwse Franse wiskundige Blaise Pascal. Nog voor Yang Hui werd deze driehoekige rangschikking van getallen beschreven door de Arabische dichter en wiskundige Omar Khayyam (CA.1044-1123) en de Indiase wiskundige Halayudha in 975.
aan de bovenkant van de driehoek is een 1, die de 0trouw vormt. De 1strow (1,1) bevat twee 1s elk gevormd door het optellen van de twee nummers boven hen, een naar links en een naar rechts, in dit geval 0 en 1. (Alle getallen buiten de driehoek zijn 0s.) doe hetzelfde om de 2ndrow te maken; 0+1=1, 1+1=2, 1+0=1 en alle volgende rijen.
een getal in de driehoek kan worden gevonden met behulp van Cnr (nchoose r), waarbij n het nummer van de rij is en r het nummer van het element in die rij. (Cnr = n!r!(n-r)!) Dit is vooral nuttig om een bepaalde term te vinden in de expansie van een binomiaal in de vorm (x + y) n.
voorbeeld:
Zoek de 4de term in de 6e rij van de driehoek.
C54 = 6!4!(6−4)!=6!4!2!= 15
(onthoud: de eerste 1 in elke rij is het 0De element dus dit is correct.)
som van rijen: de som van de getallen in een rij is gelijk aan 2n, wanneer nis het nummer van de rij is.
20=1=121=2=1+122=4=1+2+123=8=1+3+3+124=16=1+4+6+4+1 en zo voort.
priemgetallen: Als het eerste element in een Rij een priemgetal is (onthoud dat de eerste 1 in een rij het 0De element is.) alle getallen in die rij (met uitzondering van de 1s) zijn deelbaar door het.
bijvoorbeeld in de 7e (1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1) 7, 21, 35zijn deelbaar door 7.
in de Algebra bevat elke rij in de driehoek van Yang Hui de coëfficiënten van de binomiale (x+y) verhoogd tot de macht van de rij.
(x+y)0=1(x+y)1=1x+1y(x+y)2=1×2+2xy+1y2(x+y)3=1×3+3x2y+3xy2+1y3 (x+y)4=1×4+4x3y+6x2y2+4xy3+1y4en ga zo maar door.
een ander belangrijk gebied waar Yang Hui ‘ s driehoek opduikt en zeer nuttig is, is waarschijnlijk waar het kan worden gebruikt om combinaties te vinden.
interessante Getallenpatronen:
veel interessante getallenpatronen zijn te vinden in de driehoek. Inbegrepen zijn de Fibonacci-reeks, driehoekige en vierkante getallen (te vinden in de diagonalen beginnend met rij 3) en veelhoekige getallen.
een andere interessante verbinding is met Sierpinski ‘ s driehoek. Wanneer alle oneven getallen in Yang Hui ‘ s driehoek zijn ingevuld en de evens leeg zijn gelaten, wordt de recursieve Sierpinski driehoek fractal onthuld.
elk van deze onderwerpen zijn fascinerende onderwerpen die verder onderzoek van uw kant vereisen.
