(fl. Chiny, ca, a.D. 250)
matematyka.
nic nie wiadomo o życiu Liu Hui, z wyjątkiem tego, że rozkwitł w Królestwie Wei pod koniec okresu Trzech Królestw (221-265). Z drugiej strony, jego pisma matematyczne są dobrze znane; jego komentarz do Chiu-Chang suan-shu („dziewięć rozdziałów o sztuce Matematycznej”) wywarł głęboki wpływ na chińską matematykę przez ponad 1000 lat. Napisał inną ważną, ale znacznie krótszą pracę: Hai-Tao suan-ching („Sea Island Mathematical Manual”).
niektórzy uczeni uważają, że Chiu-Chang suan-shu, zwany także Chiu-chang suan-ching(„Podręcznik matematyczny w dziewięciu rozdziałach”), istniał już w Chinach w trzecim wieku p. n. e.Ch 'ien Paotsung, w swoim Chung-kuo suan-hsüeh-shih, i Chang Yin-lin (Yenching Hsüeh Pao , 2, 301) zauważyli, że tytuły niektórych urzędników wymienionych w’ in i earlier (III i początek II wieku p. n. e.). Istnieją również odniesienia, które muszą wskazywać na system podatkowy z 203 p. n. e. Według przedmowy Liu Hui księga została spalona za czasów cesarza Ch ’ in Shih-Huanga (221-209 p. n. e.), ale jej pozostałości zostały później odzyskane i uporządkowane. W kolejnych dwóch wiekach komentarze do tej księgi napisał Chang Ts ’ ANG (fl. 165-142 p. n. e.) i Keng Shou-ch ’ ang (fl. 75-49 p. n. e.). W badaniu przeprowadzonym przez Ch 'ien Pao-Tsunga (1963) sugeruje się, na podstawie wewnętrznych dowodów tekstualnych, że Chiu-Chang suan-shu został napisany między 50 p. n. e.a 100 n. e. i że jest wątpliwe, czy Chang Ts’ ANG i Keng Shou-ch ’ ang mieli cokolwiek wspólnego z Księgą. Jednak Li Yen i Tu Shih-jan, obaj koledzy z Ch ’ ien Pao-Tsunga, nadal wierzyli przedmowie Liu Hui, gdy pisali o Chiu-chang suan-shu w tym samym roku.
w VII wieku zarówno Chiu-Chang suan-shu, jak i Hai-tao suan-ching (263 r.n. e.) zostały włączone do Suan-Ching shih-shu („dziesięć podręczników matematycznych”, 656 r.n. e.), do których matematyk i astronom t ’ ang Li Shun-feng (602-670) dodał swoje adnotacje i komentarze. Prace te stały się standardowymi tekstami dla studentów matematyki; oficjalne przepisy nakazywały, aby trzy lata były poświęcone twórczości Liu Hui. Prace Liu Hui znalazły również swoją drogę do Japonii dzięki tym podręcznikom matematycznym. Kiedy w 702 roku w Japonii założono szkoły i nauczano matematyki, zarówno Chiu-Chang suan-shu, jak i Hai-Tao suan-ching były wśród zalecanych tekstów.
zgodnie z matematycznym traktatem Ch 'eng Ta-Wei, Suan-fa T’ Ung-tsung („systematyczny Traktat o arytmetyce”; 1592), zarówno Chiu-chang suan-shu, jak i Hai-Tao suan-ching zostały po raz pierwszy oficjalnie wydrukowane w 1084 roku. W 1213 roku Pao Huan-chih wydrukował ich kolejną wersję. Na początku XV wieku zostały włączone, choć znacznie uporządkowane, do ogromnej encyklopedii Ming, Yung-lo ta-tien (1403-1407). W drugiej połowie XVIII wieku Tai Chen (1724-1777) zrekonstruował te dwa teksty po wydobyciu ich fragmentarycznie z Yung-lo to-tilen. Zostały one następnie włączone przez K 'Ung Chi-han (1739-1787) do jego Wei-Po-hesieh ts’ Ung-shu (1773). Trzy lata później Ch’ü Tseng-fa wydrukował je osobno z przedmową Tai Chena.
Inne reprodukcje oparte na rekonstrukcji Tai Chena w Wei-po-hsieh ts ’ Ung-shu znajdują się w Suan-ching shih-shu („dziesięć podręczników matematycznych”) Mei ch 'i-chao (1862 oraz w Wan-yu-wen-K’ U (1929-1933) i serii SSU-PU ts 'Ung-k’ an (1920-1922; obie z prasy handlowej, Szanghaj). Dwóch dziewiętnastowiecznych uczonych, Chung Hsiang i Li Huang, odkryło, że niektóre fragmenty tekstu zostały niezrozumiałe dzięki próbie Tai Chena ulepszenia oryginalnego tekstu Chiu-Chang suan-shu. Fragment z początku XIII wieku wydanie Chiu-Chang suan-shu. składający się tylko z pięciu rozdziałów, został znaleziony w XVII wieku w Nanking, w prywatnej bibliotece Huang Yü-chi (1629-1691). Kopia ta została dostrzeżona przez słynnego uczonego Ch 'Inga Mei Wen-Tinga (1633-1721) w 1678 roku, a później weszła w posiadanie K’ Ung Chi-han (1739-1784), a następnie Chang Tun-jen (1754-1834); ostatecznie została przejęta przez Bibliotekę szanghajską, gdzie jest obecnie przechowywana. W 1684 roku Mao I (1640-po 1710 roku) wykonał odręczną kopię oryginalnego tekstu znalezionego w Bibliotece Huang Yü-chi. Kopia ta została później nabyta przez cesarza podczas panowania Ch ’ ien-lung (1736-1795). W 1932 roku został odtworzony w serii T 'ien-lu-lin-Lang ts’ Ung-shu.
w 1261 Yang Hui napisał Hsiang-csieh chiu-chang suan-FA („szczegółowa analiza matematycznych zasad w dziewięciu rozdziałach”), aby wyjaśnić problemy w Chiu-chang suan-shu. Ch 'ien Pao-tsung w 1963 roku zestawił tekst Chiu-chang suan-shu z wersji Tai Chena, fragmenty późnego Wydania śpiewanego odtworzonego w serii T’ ien-lu-lin-lang ts ’ Ung-shu oraz Hsiang-chieh Chiu-Chang suan-FA Yang Hui.
co do Hai-Tao suan-ching, pozostaje tylko zrekonstruowana wersja Tai Chena. Został on odtworzony w wydaniu pałacu Wu-ying-tien (przed 1794), w „dziesięciu podręcznikach matematycznych” w Wei-po-Hsieh ts 'Ung-shu K’ Ung Chi-Hana oraz w dodatku do Chiu-Chang suan-shu Chü Tseng-fa.
Chiu-Chang suan-shu był przeznaczony jako praktyczny podręcznik, rodzaj aide-mémoire dla architektów, inżynierów, urzędników i handlowców. To jest powód występowania tak wielu problemów na kanałach budowlanych i grobli, Mury miejskie, podatki, barter, usługi publiczne, itp. Składa się z dziewięciu rozdziałów, w sumie 246 problemów. Rozdziały mogą być przedstawione w następujący sposób:
(1) Fang-T ’ ien(„Geodezja”) zawiera zasady znajdowania obszarów trójkątów, trapezów, prostokątów, okręgów, sektorów okręgów i annuli. Podaje zasady dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia ułamków. Istnieje ciekawy, ale niedokładny wzór na powierzchnię odcinka a, gdzie znany jest akord C i sagitta s, w postaci S (c + s)/2. Wyrażenie to pojawiło się później w IX wieku w Ganitasārasangraha Mahāvīry.
szczególnie interesująca jest wartość stosunku obwodu okręgu do jego średnicy, którą zastosował Liu Hui. Starożytna wartość π używana w Chinach wynosiła 3, ale Od pierwszego wieku chińscy matematycy szukali dokładniejszej wartości. Liu Hsin (zm. 23) użył 3,1547, natomiast Chang Hen (78-139) dał 10 i 92/29. Wang Fan (219-257) znalazł 142/45, a Liu Hui dał 3,14. Najważniejszymi imionami w związku z tym są jednak imiona Tsu Ch 'Ung-chiha (430-501), genialnego matematyka, astronoma i inżyniera z dynastii Liu Sung i Ch’ I, oraz jego syna, Tsu Cheng-chiha. Tsu Ch ’ Ung-chih podał dwie wartości dla π, najpierw „niedokładną” (yo lü), równą 22/7, podaną wcześniej przez Archimedesa, a następnie „dokładniejszą” ((mi lu)), 355/113 (3.1415929). Szukał nawet dalszych przybliżeń i odkrył, że π leży między 3,1415926 a 3,1415927. Jego metoda została prawdopodobnie opisana w Chui Shu, który on i jego syn napisali, ale obecnie jest zaginiony. Wartość Tsu Ch 'Ung-chih wynosząca 355/113 dla π zanikła na wiele wieków w Chinach, dopóki nie została ponownie przejęta przez Chao Yu-ch’ in ((fl, ok. 1300)). Liu Hui uzyskał dokładną wartość 3,14, przyjmując stosunek obwodu regularnego wielokąta dziewięćdziesięciu sześciu boków do średnicy okręgu otaczającego ten wielokąt. Zacznijmy od zwykłego sześciokąta boku L6. Stosunek obwodu sześciokąta do średnicy otaczającego go okręgu wynosi 3. Jeśli zmienimy sześciokąt na wielokąt foremny z dwunastoma strony, jak pokazano na rysunku 1, zauważając, że L6 = r, promień okręgu opisanego, wtedy strona двенадцатигранного wielokąta jest ustawiany
Zatem, jeśli wiadomo Ln, to L2n można znaleźć z wyrażenie
Przyjmując r = 1, można znaleźć następujące wartości: L6 = 1; L12 = 0,517638; L24 = 0,261052; L48 = 0,130806; L96 = 0,065438.
Obwód regularnego wielokąta N = 96 i r = 1 wynosi 96 × 0,065438 = 6,282048. Stąd π = 6,282048/2 = 3,141024, czyli w przybliżeniu 3,14. Liu Hui użył również wielokąta o boku 3,072 i uzyskał jego najlepszą wartość, 3,14159.
(2)Su-mi („proso i ryż”) zajmuje się procentami i proporcjami. W ostatnich dziewięciu problemach w tym rozdziale unika się równań nieokreślonych za pomocą proporcji.
(3)Ts ’ UI-fen („Distribution by Progression”) dotyczy podziału nieruchomości pomiędzy partnerów według podanych stawek. Obejmuje również problemy w opodatkowaniu towarów o różnych właściwościach, a inne w postępach arytmetycznych i geometrycznych, wszystkie rozwiązywane za pomocą proporcji.
(4)Shao-kuang („zmniejszenie szerokości”) polega na znalezieniu boków prostokąta, gdy podano pole i jeden z boków, Obwód okręgu
, gdy znany jest jego obszar, bok sześcianu ze względu na jego objętość i średnicę kuli o znanej objętości. Pokazano użycie najmniejszej wspólnej wielokrotności w ułamkach. Interesujące jest to, że ułamki jednostkowe są używane na przykład w zadaniu 11 w tym rozdziale. Podana szerokość formy prostokątnej wyraża się jako
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
problemy w tym rozdziale również prowadzą do ekstrakcji pierwiastków kwadratowych i pierwiastków sześciennych; problem 13, na przykład, polega na znalezieniu pierwiastka kwadratowego z 25,281. Zgodnie z metodą podaną w Chiu-chang suan-shu, liczba ta, znana jako shih (dywidenda), jest najpierw umieszczana w drugim rzędzie od góry tablicy liczącej. Następnie jeden pręt liczący, zwany wstępnym chieh-suan, jest umieszczany w dolnym rzędzie tablicy liczącej w najdalszej prawej kolumnie cyfry. Wędka ta jest przesuwana w lewo, dwa miejsca na raz, ponieważ może przejść bez przekraczania najdalszej lewej cyfry numeru w rzędzie shih. Z nową wartością miejsca wędka ta nazywana jest chieh-sucn. Jest to pokazane na rysunku 2A.
pierwsza liczba korzenia znajduje się między 100 a 200. Następnie 1 jest traktowana jako pierwsza figura korzenia i jest umieszczana w górnym rzędzie w kolumnie setek. Górny rząd nazywa się fang. Chieh-suan jest mnożony przez pierwszą cyfrę korzenia. Produkt, zwany fa, jest umieszczony w trzecim rzędzie. Shih (25,281) mniej fa (10,000) pozostawia „pierwszą resztę” (15,281), która jest zapisana w drugim rzędzie, jak pokazano na rysunku 2b. po dokonaniu podziału, fa jest podwojona, tworząc ting-fa. Jest to przesunięte o jedną cyfrę w prawo, podczas gdy Chieh-suan jest przesunięty o dwie cyfry w prawo, jak pokazano na rysunku 2C.
druga cyfra, wybrana metodą prób i błędów, znajduje się między 5 a 6. Przyjmuje się zatem, że cyfra dziesiątek wynosi 5 i zostanie umieszczona w odpowiedniej pozycji w górnym rzędzie na rysunku 2e. Chieh-suan (który jest teraz 100) jest mnożony przez tę drugą liczbę i produkt jest dodawany do Ting-FA, który staje się 2500. Ting-fa pomnożone przez 5 jest odejmowane od pierwszej reszty, co daje pozostałość z 2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), jak pokazano na rysunku 2d. Ting – FA jest następnie przesunięty o jedną cyfrę w prawo, a chieh-suan o dwa miejsca (patrz rysunek 2e). Trzecia liczba, ponownie wybrana metodą prób i błędów, wynosi 9. Ta cyfra jednostki jest umieszczona w odpowiedniej pozycji w górnym rzędzie. Chieh-suan, który jest teraz 1, jest mnożony przez tę trzecią liczbę i produkt jest dodawany do Ting-FA, który staje się 259. Druga reszta jest podzielona przez Ting-fa, co pozostawia resztę zeru (2,781 ÷ 259 = 9 +0). Stąd odpowiedź wynosi 159(patrz rysunek 2F).
(5) Shang-kung („konsultacje w sprawie prac inżynierskich”) podaje objętości takich brył jak pryzmat, piramida, czworościan, klin, cylinder, stożek i owoc stożka:
(a) objętość kwadratowego pryzmatu = kwadrat boku podstawy razy wysokość.
(b) objętość cylindra =1/12 kwadratu obwodu okręgu razy wysokość (gdzie π przyjmuje się za około 3).
(c) objętość ściętej kwadratowej piramidy = 1/3 wysokość razy suma kwadratów boków górnego i dolnego kwadratu oraz iloczyn boków górnego i dolnego kwadratu.
(d) objętość kwadratowej piramidy = 1/3 wysokość razy kwadrat boku podstawy.
(e) objętość frustum okrągłego stożka = 1/36 wysokość razy suma kwadratów obwodów górnych i dolnych okrągłych powierzchni i iloczyn tych dwóch obwodów (gdzie π przyjmuje się za około 3).
(f) objętość okrągłego stożka = 1/36 wysokość razy kwadrat obwodu podstawy (gdzie π przyjmuje się za około 3).
(G) objętość prawego trójkątnego pryzmatu = 1/2 iloczynu szerokości, długości i wysokości.
(h) objętość prostokątnej piramidy = 1/3 iloczyn szerokości i długości podstawy i wysokości.
(i) objętość czworościanu o dwóch przeciwległych krawędziach prostopadłych do siebie = 1/6 iloczyn dwóch prostopadłych przeciwległych krawędzi i prostopadłych wspólnych dla tych dwóch krawędzi.
(6) Zajmuje się także problematyką wskaźników w związku z alokacją obciążeń podatkowych w zależności od liczby ludności. Problem 12 w tym rozdziale mówi:
dobry biegacz może przejść 100 kroków, a zły biegacz 60 kroków. Zły biegacz przeszedł dystans 100 kroków, zanim dobry biegacz zaczął go ścigać. Ile kroków dogoni dobry biegacz?
(7) Ying PU-tsu lub ying-nü („nadmiar i niedobór”). Ying, odnosząc się do pełni księżyca, a pu-tsu lub nü do nowiu, oznaczają odpowiednio „za dużo” i „za mało”. Ta sekcja dotyczy chińskiego wynalazku algebraicznego używanego głównie do rozwiązywania problemów typu ax + b = 0 w dość okrężny sposób. Metoda ta stała się znana w Europie jako zasada fałszywego stanowiska. W tej metodzie dwa domysły, x1 i x2 są wykonane, dając początek wartości c1 i c2, odpowiednio, albo większe lub mniejsze od 0. Z nich mamy następujące równania:
mnożąc (1) przez x2 i (2) przez x1, mamy
od (1) i (2),
stąd
Problem 1 w tym rozdziale mówi:
w sytuacji, gdy pewne rzeczy są kupowane wspólnie , jeśli każda osoba płaci 8 , nadwyżka wynosi 3, a jeśli każda osoba płaci 7, niedobór wynosi 4. Znajdź liczbę osób i cenę przywiezionych rzeczy.
zgodnie z metodą nadmiaru i niedoboru, stawki (czyli „przypuszczenia” 8 i 7) są najpierw ustawiane na tablicy liczącej, a pod nimi znajduje się nadmiar (3) i niedobór (-4). Stawki są następnie mnożone przez nadwyżkę i niedobór, a produkty są dodawane w celu utworzenia dywidendy. Następnie nadmiar i niedobór są sumowane razem, tworząc dzielnik. Iloraz daje prawidłową kwotę pieniędzy do zapłaty przez każdą osobę. Aby uzyskać liczbę osób, dodaj nadmiar i niedobór i podziel sumę przez różnicę między dwoma stawkami. Innymi słowy, x i a otrzymuje się za pomocą równań (5) i (4) powyżej.
czasami prosty problem może zostać przekształcony w problem polegający na użyciu reguły fałszywej pozycji. Problem 18 w tym samym rozdziale mówi:
jest 9 sztuk złota i 11 sztuk srebra. Dwie partie ważą tyle samo. Jeden kawałek jest pobierany z każdej partii i wkładany do drugiej. Partia zawierająca głównie złoto jest obecnie ważąca mniej niż partia zawierająca głównie srebro o 13 uncji. Znajdź wagę każdego kawałka złota i srebra.
tutaj są dwa domysły dotyczące wagi złota. Metoda mówi, że jeśli każdy kawałek złota waży 3 funty, to każdy kawałek srebra będzie ważył 25/11 funtów, co daje niedobór 49/11 uncji; a jeśli każdy kawałek złota waży 2 funty, to każdy kawałek srebra będzie ważył 17/11 funtów, co daje nadmiar 15/11 uncji. Następnie stosuje się zasadę fałszywej pozycji.
(8) Fang-ch ’ eng („obliczanie przez tabelę”) zajmuje się symultanicznymi równaniami liniowymi, wykorzystującymi zarówno liczby dodatnie, jak i ujemne. Problem 18 w tym rozdziale obejmuje pięć niewiadomych, ale daje tylko cztery równania, co zwiastuje równanie nieokreślone. Proces rozwiązywania symultanicznych równań liniowych podany tutaj jest taki sam jak nowoczesna procedura rozwiązywania układu symultanicznego
A1X + b1y + c1z = d1
A2X + b2y + c2z = d2
A3X + b2y + c3z = d3,
z tym wyjątkiem, że współczynniki i stałe są ułożone w pionowych kolumnach zamiast zapis w poziomie:
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3.
w tym rozdziale Liu Hui wyjaśnia również algebraiczne dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich i ujemnych. (Liu Hui oznaczał liczby dodatnie i ujemne odpowiednio czerwonymi i czarnymi prętami obliczeniowymi.)
(9) Kou-ku („kąty proste”) zajmuje się zastosowaniem twierdzenia Pitagorasa. Niektóre z jego problemów są następujące:
Cylindryczny kawałek drewna o średnicy przekroju 2 stóp, 5 cali, ma być pocięty na kawałek deski o grubości 7 cali. Jaka jest szerokość? Drzewo ma 20 stóp wysokości i 3 stopy obwodu.Pnącze wije się wokół drzewa siedem razy i dociera do szczytu. Znajdź długość winorośli, jest staw 7 stóp kwadratowych z trzciny rosnącej w centrum i pomiaru I stóp nad wodą. Trzcina dociera do brzegu na poziomie wody, gdy jest w jej kierunku. Znajdź głębokość wody i długość trzciny.
jest bambus o wysokości 10 stóp. Po zgięciu górny koniec dotyka ziemi 3 stopy od łodygi. Znajdź wysokość przerwy,
interesujące jest to, że problem podobny do 13 pojawił się w dziele Brahmagupty w VII wieku.
Problem 20 wzbudził jeszcze większe zainteresowanie:
istnieje miasteczko o nieznanym wymiarze. Brama jest po środku z każdej strony. Dwadzieścia kroków od północnej bramy jest drzewo. Jeśli przejdziemy 14 kroków od południowej bramy, skręcimy na zachód i przejdziemy 1775 kroków, drzewo po prostu pojawi się na widoku. Znajdź Długość strony miasta.
książka wskazuje, że odpowiedź można uzyskać poprzez rozwinięcie pierwiastka równania kwadratowego.
x2 + (14 + 20)x = 2(1775 × 20).
metoda rozwiązywania tego równania nie jest opisana. Mikami sugeruje, że jest wysoce prawdopodobne, że ekstrakcja korzeni została przeprowadzona z dodatkowym terminem w współczynniku pierwszego stopnia w nieznanym i że ten dodatkowy termin nazwano tsungiem, ale w dosłownym tłumaczeniu niektórych części tekstu dotyczących ekstrakcji korzeni nie zauważa, że kolejne kroki odpowiadają ściśle metodzie Hornera. Ch ’ ien Pao-tsung i Li Yen próbowali porównać metodę opisaną w Chiu-chang suan-shu z metodą Hornera, ale nie wyjaśnili niejasności tekstualnych. Wang Ling i Needham twierdzą, że można pokazać, że jeśli tekst Chiu-Chang suan-shu jest bardzo starannie przestrzegany, podstawowe metody używane przez Chińczyków do rozwiązywania równań numerycznych drugiego i wyższego stopnia, podobne do tych opracowanych przez Hornera w 1819 roku, są obecne w pracy, która może być datowana na i wiek p. n. e.
Hai-Tao suan-ching, pierwotnie znana pod nazwą Ch 'Ung ch’ a („metoda podwójnych różnic”), został dołączony do Chiu-Chang Suan-Shu jako jego dziesiąty rozdział. Został oddzielony od głównego tekstu w VII wieku, kiedy wybrano „dziesięć podręczników matematycznych” i nadano mu tytuł Hai-Tao suan-cluig. Według Mikami, termin ch 'Ung ch’ A miał oznaczać podwójne lub powtarzające się stosowanie proporcji boków trójkątów prostokątnych. Nazwa Hai-tao pochodzi prawdopodobnie od pierwszego problemu książki, który dotyczy Wyspy na morzu. Składa się tylko z dziewięciu problemów, książka jest odpowiednikiem mniej niż jednego rozdziału Chiu-Chang suan-shu.
w przedmowie Liu Hui opisuje klasyczną chińską metodę wyznaczania odległości od Słońca do płaskiej ziemi za pomocą podwójnej triangulacji. Według tej metody dwa pionowe słupy o wysokości ośmiu stóp zostały wzniesione na tym samym poziomie wzdłuż tego samego południka, jeden w starożytnej stolicy Chou Yan-ch ’ eng, a drugi 10 000 li (1, li = 1800 stóp) na północ. Zmierzono długość cieni rzucanych przez słońce w południe przesilenia letniego, a z nich można było uzyskać odległość słońca. Następnie Liu Hui pokazuje, jak tę samą metodę można zastosować do bardziej codziennych przykładów. Problem 1 mówi:
Wyspa morska jest oglądana z daleka. Dwa słupy, każdy o wysokości 30 stóp, są wzniesione na tym samym poziomie 1000 pu od siebie, tak że słup z tyłu znajduje się w linii prostej z wyspą i drugim słupem. Jeśli przesunie się 123 pu z tyłu z bliższego bieguna, górna część jest widoczna tylko przez koniec bieguna, jeśli ogląda go z poziomu gruntu. Jeśli cofnie się o 127 pu z drugiego bieguna, szczyt wyspy jest tylko widoczny przez koniec bieguna, jeśli jest oglądany z poziomu ziemi. Znajdź wysokość wyspy i jej odległość od bieguna. biegun wynosi 102 li, 150 pu (300 pu = 1 li).]
zasada rozwiązywania tego problemu jest podana w następujący sposób:
pomnóż wysokość bieguna przez odległość między biegunami i podziel iloczyn przez różnicę między odległościami, które trzeba przejść z biegunów, aby zobaczyć najwyższy punkt na wyspie. Dodanie wysokości słupa do ilorazu daje wysokość Wyspy. Aby znaleźć odległość od bliższego bieguna do Wyspy, pomnóż odległość pokonaną z tego bieguna przez odległość między biegunami. Dzielenie iloczynu przez różnicę między odległościami, które trzeba pokonać od biegunów, daje tę odległość.
Problem 7 jest szczególnie interesujący:
człowiek patrzy w otchłań z kawałkiem białej skały na dnie. Od brzegu poprzeczka jest obracana, aby leżeć po stronie, która jest normalnie wyprostowana . Jeśli podstawa ma 3 stopy i patrzy się na powierzchnię wody z czubka podstawy, linia wzroku spotyka się z wysokością poprzeczki w odległości 4 Stóp, 5 cali; a kiedy patrzy się na skałę, linia wzroku spotyka się z wysokością poprzeczki w odległości 2 stóp, 4 cali. Podobna poprzeczka jest ustawiona 4 stopy nad pierwszą. Jeśli spojrzy się z czubka podstawy, linia wzroku do powierzchni wody osiągnie wysokość poprzeczki w odległości 4 stóp; a jeśli spojrzy się na skałę, będzie to 2 stopy, 2 cale. Znajdź głębokość wody.
na rysunku 3, Jeśli P jest powierzchnią wody nad Białą skałą, R, A BC i FG są dwoma poprzeczkami, to BC = FG = 3 stopy; GC = 4 stopy; AC = 4 stopy, 5 cali; DC = 2 stopy, 4 cale; EG = 4 stopy; i HG = 2 stopy, 2 cale. Głębokość wody, PR, jest poszukiwany. Aby uzyskać odpowiedź, Liu Hui podaje następującą zasadę:
Liu Hui nie uwzględnił tutaj współczynnika załamania światła wody. Podana zasada jest rozszerzeniem tej używanej w rozwiązywaniu problemu 4, który używa tej samej metody do określenia głębokości doliny:
człowiek patrzy na głęboką dolinę. Od krawędzi doliny skręca się poprzeczkę, która leży po stronie normalnie wyprostowanej . Podstawa
ma 6 stóp długości. Jeśli spojrzy się na dno doliny z krawędzi podstawy, linia wzroku spotyka się z pionowym bokiem w odległości 9 Stóp, 1 cal. Kolejna poprzeczka jest ustawiona 30 stóp bezpośrednio nad pierwszą. Jeśli dno doliny jest obserwowane od krawędzi podstawy, linia wzroku spotka się z pionowym bokiem w odległości 8 Stóp, 5 cali. Znajdź głębię doliny.
jeśli ponownie odwołujemy się do rysunku 3, ignorując linie łamane, mamy CB = GF = 6 stóp; CG = 30 stóp; AC = 9 Stóp, 1 cal; NP = 8 Stóp, 5 cali; A CQ to głębokość. Z podobnych trójkątów ABC i PBQ,
QB · AC = PQ · CB;
i z podobnych trójkątów EFG i PFQ,
QF · EG = PQ · GF.
od CB = GF i QF = QB = BF,
QB · AC = (QB + BF)EG,
QB(AC – EG) = BF · EG = GC · EG,
czyli
(CQ + CB)(AC – EG) = GC · np.
stąd
w zadaniu 7 uzyskujemy również odległość od brzegu do dna przepaści (CS na rysunku 3) z wyrażenia
PR wynika z różnicy między CS i CQ.
jeśli chodzi o inne problemy, problem 2 dotyczy znalezienia wysokości drzewa na wzgórzu; problem 3 dotyczy wielkości odległego otoczonego murami miasta; problem 5 pokazuje, jak zmierzyć wysokość wieży na równinie widzianej ze wzgórza; problem 6 podaje metodę znajdowania szerokości Zatoki widzianej z odległości na lądzie; problem 8 polega na znalezieniu szerokości rzeki widzianej ze wzgórza, a problem 9 szuka wielkości miasta widzianego z góry.
Bibliografia
a modern ed. Chiu-Chang suan-shu is vol. 1121 w serii Ts ’ Ung-Shu Chi-Chêng (Szanghaj, 1936).
prace dotyczące Liu Hui i jego pism to Ch ’ ien Pao-tsung, Suan-ching shih-shu („dziesięć podręczników matematycznych”), 2 vols. (Peking, 1963), 83-272; oraz Chung-kuosuan-hsüeh-shih („History of Chinese Mathematics”) (Peking 1964), 61-75; L.van Hée, „Le Hai Tao Suan Ching de Lieou,” in T ’ oung Pao, 20 (1921), 51-60; Hsü Shunfang, Chung-suan chia te tai-hsüeh yen-chiu („A Study of Algebra by Chinese Mathematicals”) (Peking, 1955), 1-8; Li Yen, Chung-kno shu-Hsüeh ta-kang („Outline of Chinese Mathematics” I (Shanghai, 1955), 1931); oraz Chungkuo Suan-hsüeh-shih(„history of Chinese Mathematics”) (Shanghai, 1937;Rev.Ed., 1955), 16, 19, 21; Li Yen i tu Shih-jan, Chung-kuo ku-Tai shu-hsüeh chien-shih („Brief History of Ancient Chinese Mathematics”) I (Pekin, 1963), 45-77; Yoshio Mikami, the Development of Mathematics in China and Japan( New York, 1913); Joseph Needham, Science and civilization in China,III (Cambridge, 1959), 24-27; George Sarton, Introduction to the History of Science, 3 vols. (Baltimore, 1927-1947), esp. I, 338; Wang Ling, „The Chiu-Chang Suan-Shu and the History of Chinese Mathematics During the Han Dynasty”, wyd. doktoranckie (Cambridge Univ., 1956); Wang Ling and Joseph Needham, „Horner’ Method in Chinese Mathematics; its Origins in the Root-Extraction Procedure of the Han Dynasty, „in T’ Oung Pao,43 (1955), 345-401; and Alexander Wylie, Chinese Researches (Shanghai, 1897; repr. Pekin, 1936 i Tajpej, 1966), 170-174.
niektóre ważne specjalne studia na temat Chiu-Chang suan-shu są E. I. Berezkina, „Drevnekitaysky traktat matematika v devyati knigach” („Starożytny chiński traktat matematyczny w dziewięciu księgach”), w Istoriko-matematicheskie isslidovaniya,10 (1957), 423-584, rosyjski trans. of the Chiu-chang suan-shu; Kurt Vogel, Neun Bücher arithme – Tischer Technik (Brunswick, 1968), a German trans, and study of the work; and A. P. Youschkevitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (Leipzig, 1964), 1-88 („Die Mathematik in China”), translated from the Russian.
dostęp do starych not biograficznych i cytatów bibliograficznych dotyczących prac matematycznych to Hu Yü-chin, SSU-K’ U-T ’ i-Yao PU-Chêng („suplementy do Ssu-K’ U-T 'i-yao”), 2 vols, (Tajpej, 1964-1967); oraz Ting Fu-pao i Chou Yün-ch ’ ing, Ssu-PU-Tsung-Lu Suan-Fa-Pien („Bibliografia of mathematical books to supplement the SSU-k’ u-ch 'UAN-Shu Encyclopedia”; Shanghai, 1956).
więcej informacji na temat Suan-Ching Shi-Shu można znaleźć w Needham, Science and civilization in China, III, 18; oraz w A. Hummel, Eminent Chinese of the Ch ’ ing Period (Washington, 1943), str. 697.
dwa zachowane tomy encyklopedii Yung-Lo Ta-Tien zostały odtworzone fotograficznie (Pekin, 1960); pokazują one, że układ był zgodny z procedurami matematycznymi, a nie przez autorów.
Ho Peng-Yoke
