o Triângulo De Yang Hui é um arranjo triangular especial de números usado em muitas áreas da matemática. Na Ásia, é nomeado após o famoso matemático chinês do século 13 Yang Hui, um dos primeiros a descrever suas propriedades; na Europa, é frequentemente nomeado após o matemático francês do século 17 Blaise Pascal. Mesmo antes de Yang Hui, esse arranjo triangular de números foi descrito pelo poeta e matemático Árabe Omar Khayyam (C.1044-1123) e o matemático indiano Halayudha em 975.
no topo do triângulo está um 1, que compõe o 0throw. O 1strow (1,1) contém dois 1s cada formado pela adição dos dois números acima deles, um para a esquerda e um para a direita, neste caso 0e 1. (Todos os números fora do triângulo são 0s.) Faça o mesmo para criar o 2ndrow; 0+1=1, 1+1=2, 1+0=1 e todas as linhas subsequentes.
um número no triângulo pode ser encontrado usando Cnr (nchoose r), onde n é o número da linha e r é o número do elemento nessa linha. (Cnr = n!r!(n-r)!) Isso é especialmente útil para encontrar um termo específico na expansão de um binômio na forma (x+y)n.
exemplo:
Encontre o 4º termo na 6ª linha do triângulo.
C54=6!4!(6−4)!=6!4!2!= 15
(lembre-se: o primeiro 1 em cada linha é o 0º elemento, então isso está correto.)
soma das linhas: a soma dos números em qualquer linha é igual a 2n, quando n é o número da linha.
20=1=121=2=1+122=4=1+2+123=8=1+3+3+124=16=1+4+6+4+1 e assim por diante.
números primos: Se o primeiro elemento em uma linha for um número primo (lembre-se que o primeiro 1 em qualquer linha é o 0º elemento.) todos os números dessa linha (excluindo os 1s) são divisíveis por ela.
por exemplo, no 7throw (1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1) 7, 21, 35 são divisíveis por 7.
em Álgebra, cada linha no Triângulo De Yang Hui contém os coeficientes do binômio (x+y) elevados à potência da linha.
(x+y)0=1(x+y)1=1x+1y(x+y)2=1×2+2xy+1y2(x+y)3=1×3+3x2y+3xy2+1y3(x+y)4=1×4+4x3y+6x2y2+4xy3+1y4and assim por diante.
outra área importante onde o Triângulo De Yang Hui aparece e é muito útil é a probabilidade de que ele possa ser usado para encontrar combinações.
padrões de números interessantes:
muitos padrões de números interessantes podem ser encontrados no triângulo. Estão incluídos a sequência de Fibonacci, números triangulares e Quadrados (encontrados nas diagonais começando com a linha 3) e números poligonais.
outra conexão interessante é o triângulo de Sierpinski. Quando todos os números ímpares no Triângulo De Yang Hui são preenchidos e os evens são deixados em branco, o fractal recursivo do triângulo de Sierpinski é revelado.
cada um desses são tópicos fascinantes que justificam mais pesquisas de sua parte.
