triunghiul lui Yang Hui este un aranjament triunghiular special de numere utilizate în multe domenii ale matematicii. În Asia, este numit după celebrul 13thcentury matematician chinez Yang Hui, unul dintre primii care descriu proprietățile sale; în Europa este adesea numit după 17thcentury matematician francez Blaise Pascal. Chiar înainte de Yang Hui, acest aranjament triunghiular de numere a fost descris de poetul și matematicianul Arab Omar Khayyam (c.1044-1123) și matematicianul Indian Halayudha în 975.
în partea de sus a triunghiului este un 1, care formează 0throw. 1strow (1,1) conține două 1s fiecare format prin adăugarea celor două numere deasupra lor, unul la stânga și unul la dreapta, în acest caz 0și 1. (Toate numerele din afara triunghiului sunt 0s.) faceți același lucru pentru a crea al 2-lea; 0+1=1, 1+1=2, 1+0=1 și toate rândurile ulterioare.
un număr din triunghi poate fi găsit folosind Cnr(nchoose r), unde n este numărul rândului și r este numărul elementului din acel rând. (Cnr=n!r!(n−r)!) Acest lucru este util în special pentru a găsi un anumit termen în extinderea unui binom sub forma (x+y)n.
exemplu:
Găsiți al 4-lea termen în a 6-a aruncare a triunghiului.
C54 = 6!4!(6−4)!=6!4!2!=15
(amintiți-vă: primul 1 din fiecare rând este elementul 0, deci acest lucru este corect.)
suma rândurilor: suma numerelor din orice rând este egală cu 2n, când nis Numărul rândului.
20=1=121=2=1+122=4=1+2+123=8=1+3+3+124=16=1+4+6+4+1 și așa mai departe.
numere Prime: Dacă primul element dintr-un rând este un număr prim (amintiți-vă că primul 1 din orice rând este al 0-lea element.) toate numerele din acel rând (cu excepția 1s) sunt divizibile cu acesta.
de exemplu, în 7throw (1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1) 7, 21, 35 sunt divizibile cu 7.
în algebră, fiecare rând din triunghiul lui Yang Hui conține coeficienții binomului (x+y) ridicat la puterea rândului.
(X+y)0=1(x+y)1=1x+1Y(X+y)2=1×2+2xy+1Y2(x+y)3=1×3+3x2y+3xy2+1Y3(x+y)4=1×4+4x3y+6x2y2+4xy3+1y4și așa mai departe.
o altă zonă majoră în care triunghiul lui Yang Hui apare și este foarte util este în probabilitate unde poate fi folosit pentru a găsi combinații.
modele de numere interesante:
multe modele de numere interesante pot fi găsite în triunghi. Sunt incluse secvența Fibonacci, numerele triunghiulare și pătrate (găsite în diagonalele începând cu rândul 3) și numerele poligonale.
o altă legătură interesantă este cu triunghiul lui Sierpinski. Când toate numerele impare din triunghiul lui Yang Hui sunt completate și evens sunt lăsate necompletate, fractalul recursiv al triunghiului Sierpinski este dezvăluit.
fiecare dintre acestea sunt subiecte fascinante care justifică cercetări suplimentare din partea dvs.
