(fl. Kina, ca, a.D. 250)
matematik.
ingenting är känt om LiU Huis liv, förutom att han blomstrade i kungariket Wei mot slutet av de tre kungadömena perioden (ad 221-265). Hans matematiska skrifter är å andra sidan välkända; hans kommentar till Chiu-chang suan-shu (”nio kapitel om matematisk konst”) har utövat ett djupt inflytande på kinesisk matematik i över 1000 år. Han skrev ett annat viktigt, men mycket kortare arbete: Hai-tao suan-ching (”Sea Island Mathematical Manual”).
vissa forskare tror att Chiu-chang suan-shu, även kallad Chiu-chang suan-ching(”matematisk Handbok i nio kapitel”), fanns redan i Kina under det tredje århundradet f.Kr.Ch ’ien Paotsung, i hans Chung-kuo suan-HS jacobeh-shih, och Chang Yin-lin (Yenching HS Jacobeh Pao, 2 , 301) har noterat att titlarna på vissa tjänstemän som nämns i problemen är från Ch’ in och tidigare (tredje och tidiga andra århundraden f. Kr.). Det finns också referenser som måste ange ett beskattningssystem på 203 f.Kr. Enligt Liu Huis förord brändes boken under kejsarens tid Ch ’ In Shih-huang (221-209 f.Kr.); men rester av den återhämtades senare och ordnades. Under de följande två århundradena skrevs kommentarer om denna bok av Chang Ts ’ ang (fl. 165-142 f.Kr.) och Keng Shou-ch ’ ang (fl. 75-49 f. Kr.). I en studie av Ch ’ien Pao-tsung (1963) föreslås det, från interna textbevis, att Chiu-chang suan-shu skrevs mellan 50 f.Kr. och AD 100 och att det är tveksamt om Chang Ts’ ang och Keng Shou-ch ’ ang hade något att göra med boken. Ändå Li Yen och Tu Shih-jan, båda kollegorna i Ch ’ ien Pao-tsung, trodde fortfarande Liu Huis förord när de skrev om Chiu-chang suan-shu samma år.
under det sjunde århundradet både Chiu-chang suan-shu och Hai-tao suan-ching (a.D. 263) ingick i Suan-ching shih-shu (”tio matematiska manualer”, a.d. 656), till vilken T ’ ang matematiker och astronom Li Shun-feng (602-670) lade till sina anteckningar och kommentarer. Dessa verk blev sedan standardtexter för studenter i matematik; officiella föreskrifter föreskrev att tre år skulle ägnas åt Liu Huis verk. Liu Huis verk hittade också vägen till Japan med dessa matematiska manualer. När skolor grundades i Japan år 702 och matematik undervisades var både Chiu-chang suan-shu och Hai-tao suan-ching bland de föreskrivna texterna.
enligt Ch ’eng Ta-Weis matematiska avhandling, Suan-fa t’ ung-tsung (”systematisk avhandling om aritmetik”; 1592), både Chiu-chang suan-shu och Hai-tao suan-ching trycktes först officiellt 1084. Det fanns en annan tryckt version av dem av Pao Huan-chih 1213. I början av femtonde århundradet inkluderades de, även om de omorganiserades avsevärt, i den stora Ming-encyklopedin, Yung-lo ta-tien (1403-1407). I den andra delen av sjuttonhundratalet Tai Chen (1724-1777) rekonstruerade dessa två texter efter att ha extraherat dem bit för bit från Yung-lo till-tilen. De inkluderades därefter av K ’ung Chi-han (1739-1787) i hans Wei-po-hesieh ts’ ung-shu (1773). Tre år senare tryckte Ch ’ Ukrainian Tseng-fa dem separat med förord av Tai Chen.
andra reproduktioner baserade på Tai Chens rekonstruktion i Wei-po-hsieh ts ’ ung-shu finns i Suan-ching shih-shu (”tio matematiska manualer”) av Mei Ch ’i-chao (1862 och i Wan-yu-wen-k’ u (1929-1933) och Ssu-pu ts ’ung-k’ an-serien (1920-1922; båda av kommersiell Press, Shanghai). Två artonhundratalets forskare, Chung Hsiang och Li Huang, upptäckte att vissa avsnitt i texten hade gjorts obegripliga av Tai Chens försök att förbättra den ursprungliga texten i Chiu-chang suan-shu. Ett fragment av det tidiga trettonde århundradet upplagan av Chiu-chang suan-shu. består av endast fem kapitel, hittades under sjuttonhundratalet i Nanking, i det privata biblioteket i Huang Y Macau-chi (1629-1691). Denna kopia sågs av den berömda Ch ’ing-forskaren Mei Wen-ting (1633-1721) 1678, och den kom senare i besittning av K’ ung Chi-han (1739-1784) och sedan Chang Tun-jen (1754-1834); slutligen förvärvades den av Shanghai Library, där den nu förvaras. År 1684 gjorde Mao i (1640-efter 1710) en handskriven kopia av den ursprungliga texten som finns i biblioteket Huang Y Macau-chi. Denna kopia förvärvades senare av kejsaren under Ch ’ ien-lung regeringstid (1736-1795). 1932 reproducerades den i T ’ ien-lu-lin-lang ts’ung-shu-serien.
år 1261 skrev Yang Hui Hsiang-csieh chiu-chang suan-fa (”detaljerad analys av de matematiska reglerna i de nio kapitlen”) för att belysa problemen i Chiu-chang suan-shu. Ch ’ien Pao-tsung 1963 sammanställde texten till Chiu-chang suan-shu från Tai Chens version, fragmenten från den sena Sung-upplagan som återges i T’ ien-lu-lin-lang ts’ung-shu-serien och Yang Hui ’ s Hsiang-chieh chiu-chang suan-fa.
när det gäller Hai-tao suan-ching återstår bara den rekonstruerade versionen av Tai Chen. Det reproducerades i Wu-ying-tien palace edition (före 1794), de” tio matematiska manualerna ”i K’ ung Chi-han ’s Wei-po-hsieh ts’ ung-shu, och bilagan till Ch Bisexuell Tseng-fa ’ S Chiu-chang suan-shu.
Chiu-chang suan-shu var tänkt som en praktisk handbok, en slags aide-m-jacobmoire för arkitekter, ingenjörer, tjänstemän och hantverkare. Detta är orsaken till förekomsten av så många problem med att bygga kanaler och vallar, stadsmurar, beskattning, byteshandel, offentliga tjänster etc. Den består av nio kapitel, med totalt 246 problem. Kapitlen kan beskrivas enligt följande:
(1) Fang-T ’ ien (”landmätning”) innehåller reglerna för att hitta områdena trianglar, trapezoider, rektanglar, cirklar, sektorer av cirklar och annuli. Det ger regler för addition, subtraktion, multiplikation och delning av fraktioner. Det finns en intressant men felaktig formel för området för segmentet av a där ackordet c och sagitta s är kända, i formen s(c + s)/2. Detta uttryck senare dök upp under det nionde århundradet i Mah Portuguliv Uzogorira s Ganitas Uzograsangraha.
av särskilt intresse är värdet av förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter som Liu Hui använde. Det antika värdet av att använda i Kina var 3, men sedan det första århundradet hade kinesiska matematiker letat efter ett mer exakt värde. Liu Hsin (d. a.D. 23) begagnade 3.1547, medan Chang höna (78-139) gav 10 och 92/29. Wang Fan (219-257) hittade 142/45, och sedan gav Liu Hui 3.14. De viktigaste namnen i detta sammanhang är dock de av Tsu Ch’ung-chih (430-501), en lysande matematiker, astronom och ingenjör av Liu Sung och Ch ’ i dynastier, och hans son, Tsu Cheng-chih. Tsu Ch’ung-chih gav två värden för att först ha ett ”felaktigt” värde (yo l IC), lika med 22/7, givet tidigare av Archimedes, och sedan ett ”mer exakt” värde ((mi lu)), 355/113 (3.1415929). Han letade till och med efter ytterligare approximationer och fann att det ligger mellan 3.1415926 och 3.1415927. Hans metod beskrevs antagligen i Chui Shu, som han och hans son skrev men nu är förlorad. Tsu Ch’ung-chihs värde på 355/113 för Macau försvann i många århundraden i Kina tills det åter togs upp av Chao Yu-ch ’ in ((fl, ca. 1300)). Liu Hui erhöll det exakta värdet 3.14 genom att ta förhållandet mellan omkretsen av en vanlig polygon på nittiosex sidor till diametern på en cirkel som omsluter denna polygon. Låt oss börja med en vanlig sexkant på sidan L6. Förhållandet mellan hexagonens omkrets och diametern på cirkeln som omsluter den är 3. Om vi ändrar hexagonen till en vanlig polygon på tolv sidor, som visas i Figur 1—noterar att L6 = r, radien för den omskrivna cirkeln—då ges sidan av den tolvsidiga polygonen av
därför, om Lnär känt, kan L2n hittas från uttrycket
med R = 1, följande värden kan hittas: L6 = 1; L12 = 0,517638; L24 = 0, 261052; L48 = 0, 130806; L96 = 0, 065438.
omkretsen av en vanlig polygon av n = 96 och r = 1 är 96 0,065438 = 6,282048. Därför = 6,282048/2 = 3,141024, eller ungefär 3,14. Liu Hui använde också en polygon på 3 072 sidor och fick sitt bästa värde, 3.14159.
(2) Su-mi (”hirs och ris”) behandlar procentsatser och proportioner. Obestämda ekvationer undviks under de senaste nio problemen i detta kapitel genom användning av proportioner.
(3) Ts ’ UI-fen(”fördelning genom Progression”) avser fördelning av fastigheter mellan partners enligt givna priser. Den innehåller också problem i beskattningen av varor av olika kvaliteter, och andra i aritmetiska och geometriska progressioner, alla lösas genom användning av proportioner.
(4) Shao-kuang (”minskande bredd”) innebär att hitta sidorna på en rektangel när området och en av sidorna ges, omkretsen av en cirkel
när dess område är känt, sidan av en kub med tanke på dess volym och diametern på en sfär med känd volym. Användningen av den minst vanliga multipeln i fraktioner visas. Det är intressant att enhetsfraktioner används, till exempel i problem 11 i detta kapitel. Den givna bredden av en rektangulär form uttrycks som
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
problemen i detta kapitel leder också till extraktion av kvadratrötter och kubrötter; problem 13 innebär till exempel att hitta kvadratroten på 25 281. Enligt metoden i Chiu-chang suan-shu placeras detta nummer, känt som shih (utdelning), först i den andra raden från toppen av räknebrädet. Därefter sätts en räknestång, kallad den preliminära chieh-suan, på den nedre raden av räknebrädet i den längsta högra sifferkolumnen. Denna stav flyttas till vänster, två platser i taget, så som det kan gå utan att överskrida den längsta vänstra siffran i numret i shih-raden. Med sitt nya platsvärde kallas denna stav chieh-sucn. Det visas i Figur 2a.
den första siffran i roten visar sig ligga mellan 100 och 200. Sedan tas 1 som den första siffran i roten och placeras på den övre raden i hundratals kolumnen. Den översta raden heter fang. Chieh-suan multipliceras med den första figuren av roten. Produkten, kallad fa, placeras i tredje raden. Shih (25,281) mindre fa (10,000) lämnar ”första återstoden” (15,281), som skrivs på den andra raden, som visas i Figur 2B. efter att uppdelningen har gjorts fördubblas fa för att bilda ting-fa. Detta flyttas en siffra till höger, medan chieh-suan flyttas två siffror till höger, som visas i Figur 2C.
den andra siffran, vald av försök och fel, visar sig ligga mellan 5 och 6. Tiotalssiffran anses därför vara 5 och kommer att placeras i sin lämpliga position på den översta raden i Figur 2e. Chieh-suan (som nu är 100) multipliceras med denna andra siffra och produkten läggs till ting-fa, som blir 2500. Ting-fa multiplicerat med 5 subtraheras från den första återstoden, vilket ger en återstoden av 2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), såsom visas i Figur 2d. ting-fa är nästa skiftas en siffra till höger och chieh-suan två platser (Se figur 2e). Den tredje siffran, återigen vald av försök och fel, visar sig vara 9. Denna enhetssiffra placeras i lämplig position på den övre raden. Chieh-suan, som nu är 1, multipliceras med denna tredje siffra och produkten läggs till ting-fa, som blir 259. Den andra återstoden divideras med ting-fa, som lämnar en rest av noll (2,781 ÷ 259 = 9 +0). Därför är svaret 159 (se figur 2f).
(5) Shang-kung (”konsultationer om tekniska arbeten”) ger volymerna av sådana fasta figurer som prisma, pyramiden, tetraedern, kilen, cylindern, konen och frustum av en kon:
(a) volym av kvadratisk prisma = kvadrat av sidan av bastider höjd.
(b) cylindervolym =1/12 kvadrat Omkrets av cirkel gånger höjd (där det antas att det är ungefär 3).
(c) volym av stympad kvadrat pyramid = 1/3 höjden gånger summan av kvadraterna på sidorna av de övre och nedre rutorna och produkten av sidorna av de övre och nedre rutorna.
(d) volym av kvadratisk pyramid = 1/3 höjden gånger kvadraten på sidan av basen.
(e) volym frustum av en cirkulär kon = 1/36 höjden gånger summan av kvadraterna av omkretsarna i de övre och nedre cirkulära ytorna och produkten av dessa två omkretsarna (där det antas att det är ungefär 3).
(f) volym cirkulär kon = 1/36 höjden gånger kvadraten på basens omkrets (där det antas att det är ungefär 3 i enlighet med detta).
(g) volym av ett höger triangulärt prisma = 1/2 produkten av bredden, längden och höjden.
(h) volymen av en rektangulär pyramid = 1/3 produkten av bredden och längden på basen och höjden.
(i) volym tetraeder med två motsatta kanter vinkelräta mot varandra = 1/6 produkten av de två vinkelräta motsatta kanterna och den vinkelräta gemensamma för dessa två kanter.
(6) Ch(”opartisk beskattning”) gäller problem med strävan och alligation, särskilt i samband med den tid som krävs för att skattebetalarna ska få sina spannmålsbidrag från sina hemstäder till huvudstaden. Det handlar också om problem med förhållanden i samband med fördelningen av skattebördor enligt befolkningen. Problem 12 i detta kapitel säger:
en bra löpare kan gå 100 steg medan en dålig löpare går 60 steg. Den dåliga löparen har gått ett avstånd på 100 steg innan den goda löparen börjar förfölja honom. I hur många steg kommer den goda löparen att komma ikapp?
(7) Ying pu-tsu eller Ying-n Ltd (”överskott och brist”). Ying, med hänvisning till fullmånen, och pu-tsu eller n AA till nymånen, betyder ”för mycket” respektive ”för lite”. Detta avsnitt behandlar en kinesisk algebraisk uppfinning som huvudsakligen används för att lösa problem av typen ax + b = 0 på ett ganska rondell sätt. Metoden blev känd i Europa som regeln om falsk position. I denna metod görs två gissningar, x1 och x2, vilket ger upphov till värdena c1 respektive c2, antingen större eller mindre än 0. Från dessa har vi följande ekvationer:
multiplicera (1) med x2 och (2) med x1, vi har
från (1) och (2),
därför
Problem 1 i detta kapitel säger:
i en situation där vissa saker köps gemensamt, om varje person betalar 8 , är överskottet 3 , och om varje person betalar 7, är bristen 4. Hitta antalet personer och priset på de saker som tagits med.
enligt metoden för överskott och brist ställs priserna (det vill säga ”gissningarna” 8 och 7) först på räknebrädet med överskottet (3) och bristen (-4) placerade under dem. Satserna korsas sedan multiplicerat med överskottet och bristen, och produkterna läggs till för att bilda utdelningen. Sedan läggs överskottet och bristen samman för att bilda delaren. Kvoten ger rätt summa pengar som betalas av varje person. För att få antalet personer, Lägg till överskottet och bristen och dela summan med skillnaden mellan de två priserna. Med andra ord erhålls x och a med hjälp av ekvationer (5) och (4) ovan.
ibland kan ett enkelt problem omvandlas till ett som involverar användningen av regeln om falsk position. Problem 18 i samma kapitel säger:
det finns 9 stycken guld och 11 stycken silver. De två partierna väger samma. En bit tas från varje parti och läggs i den andra. Partiet som huvudsakligen innehåller guld visar sig nu väga mindre än partiet som huvudsakligen innehåller silver med 13 uns. Hitta vikten på varje bit guld och silver.
här görs två gissningar för guldets vikt. Metoden säger att om varje bit av guld väger 3 pounds, då varje bit av silver skulle väga 2 5/11 pounds, vilket ger en brist på 49/11 uns; och om varje bit av guld väger 2 pounds, då varje bit av silver skulle väga 1 7/11 pounds, vilket ger ett överskott av 15/11 uns. Efter detta tillämpas regeln om falsk position.
(8) Fang-ch ’ eng (”beräkning genom tabulering”) handlar om samtidiga linjära ekvationer, med både positiva och negativa tal. Problem 18 i detta kapitel involverar fem okända men ger bara fyra ekvationer, vilket innebär att den obestämda ekvationen. Processen att lösa samtidiga linjära ekvationer som ges här är densamma som det moderna förfarandet för att lösa det samtidiga systemet
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b2y + c3z = d3,
förutom att koefficienterna och konstanterna är ordnade i vertikala kolumner istället för att skrivas horisontellt:
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3.
i detta kapitel förklarar Liu Hui också algebraisk addition och subtraktion av positiva och negativa tal. (Liu Hui betecknade positiva tal och negativa tal med röda respektive svarta beräkningsstavar.)
(9) Kou-ku (”rätvinklar”) behandlar tillämpningen av Pythagoras teorem. Några av dess problem är följande:
ett cylindriskt trästycke med en tvärsnittsdiameter på 2 fot, 5 tum, ska skäras i en bit planka 7 tum tjock. Vad är bredden? Det är ett träd 20 fot hög och 3 fot i omkrets.En creeper vindar runt trädet sju gånger och når bara toppen. Hitta längden på vinstocken, det finns en damm 7 fot kvadrat med ett vass som växer i mitten och mäter jag fot ovanför vattnet. Röret når bara banken på vattennivån när den dras mot den. Hitta djupet på vattnet och längden på röret.
det finns en bambu 10 meter hög. När den är böjd berör den övre änden marken 3 meter från stammen. Hitta höjden på pausen,
det är intressant att ett problem som liknar 13 uppträdde i Brahmaguptas arbete under sjunde århundradet.
Problem 20 har väckt ännu större intresse:
det finns en fyrkantig stad med okänd dimension. En grind är i mitten av varje sida. Tjugo steg ut ur norra porten är ett träd. Om man går 14 steg från södra porten, svänger västerut och tar 1 775 steg, kommer trädet bara att komma i sikte. Hitta längden på sidan av staden.
boken indikerar att svaret kan erhållas genom att utveckla roten till den kvadratiska ekvationen.
x2 +(14 + 20)x = 2 (1775 20.
metoden för att lösa denna ekvation beskrivs inte. Mikami föreslår att det är mycket troligt att rotextraktionen utfördes med en ytterligare term i första gradens koefficient i det okända och att denna ytterligare term kallades tsung, men i hans bokstavliga översättning av vissa delar av texten om rotextraktioner märker han inte att de successiva stegen motsvarar nära de i Horners metod. Ch ’ ien Pao-tsung och Li Yen har båda försökt jämföra metoden som beskrivs i Chiu-chang suan-shu med Horners, men de har inte klargjort de textuella otydligheterna. Wang Ling och Needham säger att det är möjligt att visa att om texten till Chiu-chang suan-shu följs mycket noggrant, är det väsentliga i de metoder som används av kineserna för att lösa numeriska ekvationer av andra och högre grader, liknande den som Horner utvecklade 1819, närvarande i ett arbete som kan dateras under det första århundradet f.Kr.
Hai-tao suan-ching, ursprungligen känd under namnet Ch’ung ch ’ a (”Metod för dubbla skillnader”), bifogades Chiu-Chang Suan-Shu som sitt tionde kapitel. Den separerades från huvudtexten under det sjunde århundradet, då de ”tio matematiska manualerna” valdes och fick titeln Hai-tao suan-cluig. Enligt Mikami var termen ch’ung ch ’ a avsedd att betyda dubbel eller upprepad tillämpning av proportioner av sidorna av rätt trianglar. Namnet Hai-tao kom förmodligen från bokens första problem, som handlar om en ö i havet. Består av endast nio problem, boken motsvarar mindre än ett kapitel i Chiu-chang suan-shu.
i sitt förord beskriver Liu Hui den klassiska kinesiska metoden för att bestämma avståndet från solen till den plana jorden med hjälp av dubbel triangulering. Enligt denna metod uppfördes två vertikala poler åtta meter höga på samma nivå längs samma meridian, en vid den antika Chou-huvudstaden Yan-ch ’ eng och den andra 10 000 li (1 ,li = 1800 fot) i norr. Längden på de skuggor som solen kastade vid sommarsolståndet mättes, och från dessa kunde solens avstånd härledas. Liu Hui visar sedan hur samma metod kan tillämpas på mer vardagliga exempel. Problem 1 säger:
en Havsö ses på avstånd. Två poler, vardera 30 meter höga, är uppförda på samma nivå 1000 PU ifrån varandra så att polen på baksidan ligger i en rak linje med ön och den andra Polen. Om man flyttar 123 pu tillbaka från närmare polen, är toppen av bara synlig genom Polens ände om han ser den från marknivå. Skulle han flytta tillbaka 127 pu från den andra Polen, är toppen av ön bara synlig genom Polens ände om den ses från marknivå. Hitta höjden på ön och dess avstånd från Polen. Polen är 102 li, 150 pu (300 pu = 1 li).]
regeln för att lösa detta problem ges enligt följande:
multiplicera Polens höjd med avståndet mellan polerna och dela produkten med skillnaden mellan avstånden som man måste gå tillbaka från polerna för att se den högsta punkten på ön. Att lägga höjden på polen till kvoten ger höjden på ön. För att hitta avståndet från den närmaste Polen till ön, multiplicera avståndet som gick tillbaka från den polen med avståndet mellan polerna. Att dela produkten med skillnaden mellan avstånden som man måste gå tillbaka från polerna ger det avståndet.
Problem 7 är av särskilt intresse:
en person tittar in i en avgrund med en bit vit sten längst ner. Från stranden vrids en tvärstång för att ligga på den sida som normalt är upprätt . Om basen är 3 fot och man tittar på vattenytan från basens spets, möter siktlinjen höjden på tvärstången på ett avstånd av 4 fot, 5 tum; och när man tittar på berget möter siktlinjen höjden på tvärstången på ett avstånd av 2 fot, 4 tum. En liknande tvärstång sätts upp 4 meter över den första. Om man ser från spetsen av basen, siktlinjen till vattenytan skulle möta höjden av ribban på ett avstånd av 4 fot; och om man tittar på berget, det kommer att vara 2 fot, 2 inches. Hitta djupet av vattnet.
i Figur 3, om P är vattenytan ovanför white rock, R och BC och FG är de två tvärstängerna, då BC = FG = 3 fot; GC = 4 fot; AC = 4 fot, 5 tum; DC = 2 fot, 4 tum; t.ex. = 4 fot; och HG = 2 fot, 2 tum. Djupet av vattnet, PR, söks. För att få svaret ger Liu Hui följande regel:
Liu Hui har inte beaktat här brytningsindex för vatten. Regeln som ges är en förlängning av den som används för att lösa problem 4, som använder samma metod för att bestämma djupet i en dal:
en person tittar på en djup dal. Från kanten av dalen vrids en tvärstång för att ligga på den sida som normalt är upprätt . Basen
är 6 fot lång. Om man tittar på botten av dalen från kanten av basen, möter siktlinjen den vertikala sidan på ett avstånd av 9 fot, 1 tum. En annan tvärstång är inställd 30 fot direkt ovanför den första. Om botten av dalen observeras från kanten av basen, kommer siktlinjen att möta den vertikala sidan på ett avstånd av 8 fot, 5 tum. Hitta djupet i dalen.
om vi hänvisar igen till Figur 3, ignorerar de trasiga linjerna, har vi CB = GF = 6 fot; CG = 30 fot; AC = 9 fot, 1 tum; t.ex. = 8 fot, 5 tum; och CQ är djupet. Från liknande trianglar ABC och PBQ,
QB · AC = PQ · CB;
och från liknande trianglar EFG och PFQ,
QF · EG = PQ · GF.
sedan CB = GF och QF = QB = BF,
QB · AC = (QB + BF)t.ex.
QB(AC – EG) = BF · EG = GC · t. ex.
det vill säga
(CQ + CB)(AC – EG) = GC · t. ex.
därför
i problem 7 får man också avståndet från banken till botten av avgrunden (CS i Figur 3) från uttrycket
PR härrör från skillnaden mellan CS och CQ.
när det gäller de andra problemen gäller problem 2 att hitta höjden på ett träd på en kulle; problem 3 behandlar storleken på en avlägsen muromgärdad stad; problem 5 visar hur man mäter höjden på ett torn på en slätt sett från en kulle; problem 6 ger en metod för att hitta bredden på en golf sett från ett avstånd på land; problem 8 är ett fall av att hitta bredden på en flod sett från en kulle; och problem 9 söker storleken på en stad sett ett berg.
bibliografi
en modern ed. av Chiu-chang suan-shu är vol. 1121 i Ts’ung-Shu Chi-Ch-serien(Shanghai, 1936).
arbetar med Liu Hui och hans skrifter är Ch ’ ien Pao-tsung, Suan-ching shih-shu(”tio matematiska manualer”), 2 vol. (Peking, 1963), 83-272; och Chung-kuosuan-HS jacobeh-shih (”historia av kinesisk matematik”) (Peking 1964), 61-75; L.van H Jacobe,” Le Hai Tao Suan Ching de Lieou, ”i T’ oung Pao, 20 (1921), 51-60; Hsaboric Shunfang, Chung-suan chia te tai-hsaborieh yen-chiu (”en studie av Algebra av kinesiska matematiker”) (Peking, 1955), 1-8; Li Yen, Chung-kno shu-Hsaborieh ta-kang (”översikt över Kinesisk matematik”I (Shanghai, 1931); och Chungkuo Suan-Hsauguieh-shih (”historia av kinesisk matematik”) (Shanghai, 1937;Rev.Ed., 1955), 16, 19, 21; Li Yen och Tu Shih-jan, Chung-kuo ku-tai shu-HS jacobeh chien-shih (”kort historia av forntida kinesisk matematik”) I (Peking, 1963), 45-77; Yoshio Mikami, utvecklingen av matematik i Kina och Japan (New York, 1913); Joseph Needham, vetenskap och Civilisation i Kina,III (Cambridge, 1959), 24-27; George Sarton, introduktion till vetenskapens historia, 3 vol. (Baltimore, 1927-1947), esp. I, 338; Wang Ling,” Chiu-Chang Suan-Shu och historien om kinesisk matematik under Handynastin, ” en doktorsavhandling diss. (Cambridge Univ., 1956); Wang Ling och Joseph Needham, ”Horner” – metoden i kinesisk matematik; dess ursprung i Rotutvinningsförfarandet för Han-dynastin, ”i T’ oung Pao, 43 (1955), 345-401; och Alexander Wylie, kinesiska undersökningar (Shanghai, 1897; repr. Peking, 1936 och Taipei, 1966), 170-174.
några viktiga särskilda studier på Chiu-chang suan-shu är E. I. Berezkina, ”Drevnekitaysky traktat matematika v devyati knigach” (”den gamla kinesiska matematiska avhandling i nio böcker”), istoriko-matematicheskie isslidovaniya,10 (1957), 423-584, en rysk trans. av Chiu-chang suan-shu; Kurt Vogel, Neun B Sackischer arithme-tischer Technik (Brunswick, 1968), en tysk trans och studie av arbetet; och A. P. Youschkevitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (Leipzig, 1964), 1-88 (”Die Mathematik i Kina”), översatt från Ryska.
tillgång till gamla biografiska anteckningar och bibliografiska citat om matematiska verk är Hu y Jacobn-chin, Ssu-K’ u-t ’ i-Yao PU-Ch exceptional (”tillägg till Ssu-K’ u-t ’i-yao”), 2 vols, (Taipei, 1964-1967); och Ting Fu-pao och Chou y Exceptionn-ch ’ ing, Ssu-Pu-Tsung-Lu Suan-Fa-pien (”bibliografi över matematiska böcker för att komplettera SSU-k’ u-ch ’uan-Shu Encyclopedia”; Shanghai, 1956).
mer information om Suan-Ching Shi-Shu finns i Needham, vetenskap och Civilisation i Kina, III, 18; och i A. Hummel, framstående kineser från Ch ’ ing-perioden (Washington, 1943), s. 697.
de två bevarade volymerna av Yung-Lo Ta-Tien encyclopedia har reproducerats fotografiskt (Peking, 1960); de visar att arrangemanget var enligt matematiska procedurer och inte av författare.
Ho Peng-OK
