(fl. Kina, ca, a.d. 250)
matematikk.
Ingenting er kjent om Livet Til Liu Hui, bortsett fra at Han blomstret i kongedømmet Wei mot slutten av De Tre Kongedømmers periode (221-265 e.kr.). Hans matematiske skrifter, derimot, er godt kjent; hans kommentarer Til Chiu-chang suan-shu («Ni Kapitler Om Matematisk Kunst») har utøvd en dyp innflytelse På Kinesisk matematikk for godt over 1000 år. Han skrev et annet viktig, men mye kortere arbeid: Hai-tao suan-ching («Sea Island Mathematical Manual»).
noen forskere mener At Chiu-chang suan-shu, også kalt Chiu-chang suan-ching(«Matematisk Håndbok I Ni Kapitler»), var allerede i eksistens I Kina i løpet av det tredje århundre f.kr.Ch ‘ien Paotsung, i Hans Chung-kuo suan-hsü-shih, Og Chang Yin-lin (Yenching Hs@eh Pao, 2 , 301) har bemerket at titlene på visse tjenestemenn nevnt i problemene dato Fra Ch’ in og tidligere (tredje og tidlig andre århundre f. kr.). Det er også referanser som må indikere et skattesystem på 203 f.kr. Ifølge Liu Huis forord ble boken brent under Keiser Ch ‘ in Shih-huangs tid (221-209 f.kr.), men rester av den ble senere funnet og satt i orden. I de følgende to århundrene ble kommentarer til denne boken skrevet Av Chang Ts ‘ ang (fl. 165-142 f.kr.) og Keng Shou-ch ‘ ang (fl. 75-49 f.kr.). I en studie Av Ch ‘ien Pao-tsung (1963) er det foreslått, fra interne tekstlige bevis, At Chiu-chang suan-shu ble skrevet mellom 50 f. kr. og a.d. 100 og at Det er tvilsomt om Chang Ts’ ang og Keng Shou-ch ‘ ang hadde noe å gjøre med boken. Likevel trodde Li Yen og Tu Shih-jan, begge kolleger Av Ch ‘ ien Pao-tsung, Fortsatt Liu Huis forord da de skrev om Chiu-chang suan-shu samme år.
i løpet av det syvende århundre ble Både Chiu-chang suan-shu og Hai-tao suan-ching (263 e.kr.) inkludert I Suan-ching shih-shu («Ti Matematiske Manualer», 656 e.kr.), som t ‘ ang-matematikeren Og astronomen Li Shun-feng (602-670) la til sine merknader og kommentarer. Disse verkene ble da standardtekster for studenter i matematikk; offisielle forskrifter foreskrev at Tre år skulle bli viet til liu Huis verk. Liu Hui arbeider også funnet veien Til Japan med disse matematiske manualer. Når skolene ble etablert I Japan i 702 og matematikk ble undervist, Både Chiu-chang suan-shu og Hai-tao suan-ching var blant de foreskrevne tekster.
Ifølge Ch ‘eng Ta-weis matematiske avhandling, Suan-fa t’ ung-tsung («Systematisk Avhandling om Aritmetikk»; 1592), Ble Både Chiu-chang suan-shu og Hai-tao suan-ching først trykt offisielt i 1084. Det var en annen trykt versjon av Dem Av Pao Huan-chih i 1213. I begynnelsen av femtende århundre ble de inkludert, men betydelig omorganisert, I den store ming encyclopedia, Yung-lo ta-tien (1403-1407). I Andre del Av Det attende århundre rekonstruerte Tai Chen (1724-1777) disse to tekstene etter å ha hentet dem stykkevis fra Yung-lo til-tilen. De ble senere inkludert Av K ‘ung Chi-Han (1739-1787) I hans wei-po-hesieh ts’ ung-shu (1773). Tre år senere skrev ch’ü Tseng-fa dem separat med forord Av Tai Chen.
Andre reproduksjoner basert På Tai Chens rekonstruksjon i wei-po-hsieh ts ‘ ung-shu er funnet I Suan-ching shih-shu («Ti Matematiske Manualer») I Mei Ch ‘i-chao (1862 og I Wan-yu-wen-k’ u (1929-1933) og Ssu-pu ts ‘ung-k’ an-serien (1920-1922; Begge I Den Kommersielle Pressen, Shanghai). To nittende århundre forskere, Chung Hsiang Og Li Huang, oppdaget at visse passasjer i teksten hadde blitt gjort uforståelig Av Tai Chen forsøk på å forbedre på Den opprinnelige teksten I Chiu-chang suan-shu. Et fragment av tidlig trettende århundre utgaven Av Chiu-chang suan-shu. bestående av bare fem kapitler, ble funnet i det syttende århundre I Nanking, i det private biblioteket Til Huang Yü-chi (1629-1691). Denne kopien ble sett av den berømte ch ‘ing-forskeren Mei Wen-ting (1633-1721) i 1678, og den kom senere i besittelse Av K’ ung Chi-Han (1739-1784) og Deretter Chang Tun-jen (1754-1834); til slutt ble den kjøpt av Shanghai-Biblioteket, hvor den nå holdes. I 1684 laget Mao I (1640-etter 1710) en håndskrevet kopi av den opprinnelige teksten funnet I Biblioteket Til Huang Yü-chi. Denne kopien ble senere kjøpt av keiseren under Ch ‘ ien-lung-regjeringen (1736-1795). I 1932 ble det gjengitt i T ‘ien-lu-lin-lang ts’ ung-shu-serien.
I 1261 Skrev Yang Hui hsiang-csieh chiu-chang suan-fa («Detaljert Analyse Av De Matematiske Reglene I De Ni Kapitlene») for å belyse problemene I Chiu-chang suan-shu. Ch ‘ien Pao-tsung i 1963 samordnet Teksten Til Chiu-chang suan-shu fra Tai Chens versjon, fragmentene av den sene Sung-utgaven som gjengitt i T’ ien-lu-lin-lang ts ‘ ung-shu-serien, Og Yang Huis Hsiang-chieh chiu-chang suan-fa.
Når Det gjelder Hai-tao suan-ching, gjenstår Bare Den rekonstruerte versjonen Av Tai Chen. Det ble reprodusert I wu-ying-tien-palassutgaven (før 1794), de «Ti Matematiske Håndbøkene» I K ‘ung Chi-Han’ S Wei-po-hsieh ts ‘ung-shu, og vedlegget Til Chü Tseng-fa’ S Chiu-chang suan-shu.
Chiu-chang suan-shu var ment som en praktisk håndbok, en slags aide-mé for arkitekter, ingeniører, embetsmenn og håndverkere. Dette er årsaken til tilstedeværelsen av så mange problemer på å bygge kanaler og diker, bymurer, beskatning, byttehandel, offentlige tjenester, etc. Den består av ni kapitler, med totalt 246 problemer. Kapitlene kan beskrives som følger:
(1) Fang-t ‘ ien («Landmåling») inneholder reglene for å finne områdene av trekanter, trapeser, rektangler, sirkler, sektorer av sirkler og annuli. Det gir regler for tillegg, subtraksjon, multiplikasjon og deling av fraksjoner. Det er en interessant, Men Unøyaktig formel for området av segmentet av a hvor akkordet c og sagitta s er kjent, i form s (c + s)/2. Dette uttrykket dukket senere opp i løpet Av det niende århundre I Mahāv Hryvra Er Ganitas Hryvrasangraha.
av spesiell interesse er verdien av forholdet mellom omkretsen av en sirkel og dens diameter Som Liu Hui brukte. Den gamle verdien av π brukt i Kina var 3, Men Siden Det Første århundre Hadde Kinesiske matematikere søkt etter en mer nøyaktig verdi. Liu Hsin (d.a. d. 23) brukte 3.1547, Mens Chang Hen (78-139) ga √10 og 92/29. Wang Fan (219-257) fant 142/45, Og Deretter Ga Liu Hui 3.14. De viktigste navnene i denne sammenhengen er Imidlertid De Av Tsu Ch ‘ung-chih (430-501), en strålende matematiker, astronom og ingeniør Av Liu Sung og Ch’ i-dynastiene, Og hans sønn Tsu Cheng-chih. Tsu Ch ‘ ung-chih ga to verdier for π først en «unøyaktig» en (yo lü), lik 22/7, gitt tidligere Av Archimedes, og deretter en «mer nøyaktig» en ((mi lu)), 355/113 (3.1415929). Han så selv etter ytterligere tilnærminger og fant at π ligger mellom 3.1415926 og 3.1415927. Hans metode ble sannsynligvis beskrevet I Chui Shu, som han og hans sønn skrev, men er nå tapt. Tsu Ch ‘ung-chihs verdi på 355/113 for π forsvant i mange århundrer i Kina til Den igjen ble tatt Opp Av Chao Yu-ch’ in ((fl, ca. 1300)). Liu Hui oppnådde den nøyaktige verdien 3.14 ved å ta forholdet mellom omkretsen av en vanlig polygon på nittiseks sider til diameteren av en sirkel som omslutter denne polygonen. La oss begynne med en vanlig sekskant av Side L6. Forholdet mellom omkretsen av sekskanten og diameteren av sirkelen som omslutter den er 3. Hvis vi endrer sekskanten til en vanlig polygon på tolv sider, som vist i Figur 1—bemerker At L6 = r, radiusen til den omkretsede sirkelen—så er siden av den tolvsidede polygonen gitt av
Derfor, Hvis Lnis kjent, Så Kan L2n bli funnet fra uttrykket
Å Ta r = 1, kan følgende verdier bli funnet: L6 = 1; L12 = 0,517638; L24 = 0,261052; l48 = 0,130806; l96 = 0,065438.
omkretsen av et regulært polygon på n = 96 og r = 1 er 96 × 0.065438 = 6.282048. Derfor π = 6.282048 / 2 = 3.141024, eller omtrent 3.14. Liu Hui brukte også et polygon på 3,072 sider og fikk sin beste verdi, 3.14159.
(2) Su-mi («Hirse og Ris») omhandler prosenter og proporsjoner. Ubestemte ligninger unngås i de siste ni problemene i dette kapitlet ved bruk av proporsjoner.
(3) Ts ‘ ui-fen («Distribusjon Ved Progresjon») gjelder fordeling av eiendommer blant partnere i henhold til gitte priser. Det inkluderer også problemer i beskatning av varer av forskjellige kvaliteter, og andre i aritmetiske og geometriske progresjoner, alt løst ved bruk av proporsjoner.
(4) Shao-kuang («Avtagende Bredde») innebærer å finne sidene av et rektangel når området og en av sidene er gitt, omkretsen av en sirkel
når området er kjent, siden av en kube gitt volumet, og diameteren av en sfære av kjent volum. Bruken av det minst vanlige flertallet i fraksjoner er vist. Det er interessant at enhetsfraksjoner brukes, for eksempel i problem 11 i dette kapitlet. Den angitte bredden på en rektangulær form uttrykkes som
1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + 1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12.
problemene i dette kapitlet fører også til utvinning av kvadratrøtter og kuberøtter; problem 13 innebærer for eksempel å finne kvadratroten på 25 281. Ifølge Metoden gitt I Chiu-chang suan-shu, er dette nummeret, kjent som shih (utbytte), først plassert i den andre raden fra toppen av tellebrettet. Deretter legges en tellestang, kalt den foreløpige chieh-suan, på den nederste raden av tellebrettet i den lengste høyre sifferkolonnen. Denne stangen flyttes til venstre, to steder om gangen, som for det kan gå uten å overskride det lengste venstre sifferet i nummeret i shih-raden. Med sin nye plassverdi kalles denne stangen chieh-sucn. Det er vist I Figur 2a.
den første figuren av roten er funnet å ligge mellom 100 og 200. Deretter tas 1 som den første figuren av roten og plasseres på toppraden i hundrevis-kolonnen. Den øverste raden kalles fang. Chieh-suan multipliseres med den første figuren av roten. Produktet, kalt fa, er plassert i tredje rad. Shih (25,281) mindre fa (10,000) forlater den «første resten» (15,281), som er skrevet på den andre raden, som vist i Figur 2b. etter at divisjonen er gjort, blir fa doblet for å danne ting-fa. Dette flyttes ett siffer til høyre, mens chieh-suan flyttes to siffer til høyre, som vist i Figur 2c.
den andre figuren, valgt ved prøving og feiling, er funnet å ligge mellom 5 og 6. Tens ‘ sifferet er derfor tatt for å være 5 og vil bli plassert i riktig posisjon på den øverste raden I Figur 2e. Chieh-suan (som nå er 100) multipliseres med denne andre figuren, og produktet legges til ting-fa, som blir 2500. Ting-fa multiplisert med 5 trekkes fra den første rest, som gir en rest av 2,781 (15,281 — 2,500 × 5 = 2,781), som vist i Figur 2d. ting-fa er neste flyttet ett siffer til høyre og chieh-suan to steder (Se Figur 2e). Den tredje figuren, igjen valgt ved prøving og feiling, er funnet å være 9. Dette enhet sifferet er plassert i riktig posisjon på toppraden. Chieh-suan, som nå er 1, multipliseres med denne tredje figuren, og produktet legges til ting-fa, som blir 259. Den andre resten er delt med ting-fa, som etterlater en rest på null (2,781 ÷ 259 = 9 +0). Derfor er svaret 159(Se Figur 2f).
(5) Shang-kung («Konsultasjoner Om Ingeniørarbeid») gir volumene av slike faste figurer som prisma, pyramiden, tetraederet, kilen, sylinderen, kjeglen og frustum av en kjegle:
(a) Volum av kvadratisk prisme = kvadratet av siden av basis ganger høyde.
(b) sylindervolum =1/12 kvadrat av omkrets av sirkeltider høyde (hvor π er tatt for å være omtrent 3).
(c) Volum av avkortet firkantet pyramide = 1/3 høyden ganger summen av kvadratene av sidene av de øvre og nedre kvadrater og produktet av sidene av de øvre og nedre kvadrater.
(d) Volum av kvadratisk pyramide = 1/3 høyden ganger kvadratet av siden av basen.
(e)volum av frustum av en sirkulær kjegle = 1/36 høyden ganger summen av kvadratene av omkretsene til de øvre og nedre sirkulære ansiktene og produktet av disse to omkretsene (hvor π er tatt for å være omtrent 3).
(f) volum av sirkulær kjegle = 1/36 høyden ganger kvadratet av omkretsen av basen(hvor π er tatt for å være omtrent 3).
(g) Volum av et høyre trekantet prisme = 1/2 produktet av bredden, lengden og høyden.
(h) Volum av en rektangulær pyramide = 1/3 produktet av bredden og lengden på basen og høyden.
(i) Volum av tetraeder med to motsatte kanter vinkelrett på hverandre = 1/6 produktet av de to vinkelrette motsatte kanter og vinkelrett felles for disse to kanter.
(6) Chü-shu («Upartisk Beskatning») gjelder problemer med jakt og alligasjon, spesielt i forbindelse med tiden som kreves for skattebetalere å få sine kornbidrag fra sine hjembyer til hovedstaden. Det omhandler også problemer med forhold i forbindelse med tildeling av skattebyrder i henhold til befolkningen. Problem 12 i dette kapitlet sier:
en god løper kan gå 100 skritt mens en dårlig løper går 60 skritt. Den dårlige løperen har gått en avstand på 100 skritt før den gode løperen begynner å forfølge ham. I hvor mange skritt vil den gode løperen fange opp?
(7) ying pu-tsu eller ying-nü («Overskudd og Mangel»). Ying, med henvisning til fullmåne, og pu-tsu eller nü til nymåne, betyr henholdsvis» for mye » og «for lite». Denne delen omhandler En Kinesisk algebraisk oppfinnelse som hovedsakelig brukes til å løse problemer av typen ax + b = 0 på en ganske rundkjøring måte. Metoden kom til Å bli kjent I Europa som regelen om falsk posisjon. I denne metoden gjøres to gjetninger, x1 og x2, noe som gir opphav til verdier c1 og c2, henholdsvis større eller mindre enn 0. Fra disse har vi følgende ligninger:
Multiplisere (1) med x2 og (2) med x1, vi har
Fra (1) Og (2),
Derfor
Problem 1 i dette kapitlet sier:
i en situasjon der visse ting kjøpes i fellesskap, hvis hver person betaler 8, er overskuddet 3, og hvis hver person betaler 7, er mangelen 4. Finn antall personer og prisen på tingene brakt.
i henhold til metoden for overskudd og mangel, settes satsene (det vil si «gjetningene» 8 og 7) først på tellebrettet med overskudd (3) og mangel (-4) plassert under dem. Satsene blir deretter krysset multiplisert med overskudd og mangel, og produktene legges til for å danne utbytte. Deretter legges overskudd og mangel sammen for å danne divisoren. Kvotienten gir riktig mengde penger som betales av hver person. For å få antall personer, legg til overskudd og mangel og del summen med forskjellen mellom de to satsene. Med andre ord blir x og a oppnådd ved hjelp av ligninger (5) og (4) ovenfor.
Noen ganger kan et enkelt problem bli forvandlet til et som involverer bruk av regelen om falsk posisjon. Problem 18 i samme kapittel sier:
det er 9 stykker gull og 11 stykker sølv. De to partiene veier det samme. Ett stykke er tatt fra hvert parti og satt i den andre. Partiet som inneholder hovedsakelig gull, er nå funnet å veie mindre enn partiet som hovedsakelig inneholder sølv med 13 gram. Finn vekten av hvert stykke gull og sølv.
her er to gjetninger laget for vekten av gull. Metoden sier at hvis hvert stykke gull veier 3 pund, vil hvert stykke sølv veie 2 5/11 pund, noe som gir en mangel på 49/11 gram; og hvis hvert stykke gull veier 2 pund, vil hvert stykke sølv veie 1 7/11 pund, noe som gir et overskudd på 15/11 gram. Etter dette brukes regelen om falsk posisjon.
(8) Fang-ch ‘ eng («Beregning Ved Tabulering») er opptatt av samtidige lineære ligninger, ved hjelp av både positive og negative tall. Problem 18 i dette kapitlet innebærer fem ukjente, men gir bare fire ligninger, og dermed innleder den ubestemte ligningen. Prosessen med å løse samtidige lineære ligninger gitt her er den samme som den moderne prosedyren for å løse det samtidige systemet
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b2y + c3z = d3,
bortsett fra at koeffisientene og konstantene er arrangert i vertikale kolonner i stedet for å bli skrevet horisontalt:
a1a2a3
b1b2b3
c1c2c3
d1d2d3.
I dette kapitlet Forklarer Liu Hui også algebraisk addisjon og subtraksjon av positive og negative tall. (Liu Hui betegnet positive tall og negative tall ved henholdsvis rød og svart beregning av stenger.)
(9) Kou-ku («Rette Vinkler») omhandler anvendelsen av Pythagorasetningen. Noen av problemene er som følger:
en sylindrisk stykke tre med et tverrsnitt diameter på 2 føtter, 5 inches, er å bli kuttet i et stykke planke 7 inches tykk. Hva er bredden? Det er et tre 20 fot høyt og 3 fot i omkrets.En creeper vinder rundt treet syv ganger og når bare toppen. Finn lengden på vintreet, Det er en dam 7 fot kvadrat med et siv vokser i sentrum og måle jeg foten over vannet. Reedet når bare banken på vannstanden når den trekkes mot den. Finn dybden på vannet og lengden på reedet.
det er en bambus 10 fot høy. Når bøyd, berører den øvre enden bakken 3 meter fra stammen. Finn høyden på pause,
Det er interessant at et problem som ligner 13 dukket opp I Brahmaguptas arbeid i det syvende århundre.
Problem 20 har vekket enda større interesse:
Det er en firkantet by med ukjent dimensjon. En port er på midten av hver side. Tjue skritt ut av nordporten er et tre. Hvis man går 14 skritt fra sørporten, svinger vest og tar 1.775 skritt, vil treet bare komme til syne. Finn lengden på siden av byen.
boken indikerer at svaret kan oppnås ved å utvikle roten til den kvadratiske ligningen.
x2 + (14 + 20) x = 2 (1775 × 20).
metoden for å løse denne ligningen er ikke beskrevet. Mikami antyder at det er svært sannsynlig at roten utvinning ble utført med et ekstra begrep i første-graders koeffisient i det ukjente, og at denne ekstra begrepet ble kalt tsung, men i sin bokstavelige oversettelse av noen deler av teksten om rot utdrag han ikke merke til at de påfølgende trinnene samsvarer tett med De I Horners metode. Ch ‘ ien Pao-tsung Og Li Yen har begge forsøkt å sammenligne metoden beskrevet I Chiu-chang suan-shu med Horner, men De har ikke avklart tekstlige uklarheter. Wang Ling og Needham sier at det er mulig å vise at hvis Teksten Til Chiu-chang suan-shu følges nøye, er det vesentlige av metodene Som Brukes Av Kineserne for å løse numeriske ligninger av andre og høyere grader, lik Den som Ble utviklet Av Horner i 1819, til stede i et arbeid som kan dateres i det første århundre f.kr.
Hai-tao suan-ching, opprinnelig kjent under navnet Ch ‘ung ch’ a («Metode For Doble Forskjeller»), Ble Lagt Til Chiu-chang suan-shu som sitt tiende kapittel. Det ble skilt fra hovedteksten i det syvende århundre, da De «Ti Matematiske Håndbøkene» ble valgt, og fikk tittelen Hai-tao suan-cluig. Ifølge Mikami var begrepet ch ‘ung ch’ a ment å bety dobbel eller gjentatt anvendelse av proporsjoner av sidene av høyre trekanter. Navnet Hai-tao kom sannsynligvis fra bokens første problem, som omhandler en øy i havet. Består av bare ni problemer, boken tilsvarer mindre enn ett kapittel Av Chiu-chang suan-shu.
i forordet Beskriver Liu Hui den klassiske Kinesiske metoden for å bestemme avstanden fra solen til den flate jorden ved hjelp av dobbel triangulering. Ifølge denne metoden ble to vertikale poler åtte meter høye reist på samme nivå langs samme meridian, en ved den gamle chou hovedstaden Yan-ch ‘ eng og den andre 10.000 li (1 ,li = 1800 fot) i nord. Lengden på skyggene kastet av solen midt på dagen av sommersolverv ble målt, og fra disse avstanden av solen kan utledes. Liu Hui viser da hvordan samme metode kan brukes på flere hverdagseksempler. Problem 1 sier:
en sjø øy er sett på avstand. To poler, hver 30 fot høy, er reist på samme nivå 1000 pu fra hverandre slik at stangen på baksiden er i en rett linje med øya og den andre polen. Hvis man beveger seg 123 pu tilbake fra den nærmeste polen, er toppen av den bare synlig gjennom enden av polen hvis han ser den fra bakkenivå. Skulle han flytte tilbake 127 pu fra den andre polen, er toppen av øya bare synlig gjennom enden av polen hvis den ses fra bakkenivå. Finn høyden på øya og dens avstand fra polen. polen er 102 li, 150 pu (300 pu = 1 li).]
regelen for å løse dette problemet er gitt som følger:
Multipliser polens høyde med avstanden mellom polene og del produktet med forskjellen mellom avstandene som man må gå tilbake fra polene for å se det høyeste punktet på øya. Å legge høyden på polen til kvotienten gir høyden på øya. For å finne avstanden fra den nærmeste polen til øya, multipliser avstanden gikk tilbake fra den polen med avstanden mellom polene. Å dele produktet med forskjellen mellom avstandene som man må gå tilbake fra polene, gir den avstanden.
Problem 7 er av spesiell interesse:
en person ser på en avgrunn med et stykke hvit stein nederst. Fra kysten vender en tverrstang for å ligge på siden som normalt er oppreist . Hvis basen er 3 fot og man ser på overflaten av vannet fra spissen av basen, møter siktelinjen høyden på tverrstangen i en avstand på 4 fot, 5 tommer; og når man ser på fjellet, møter siktlinjen høyden på tverrstangen i en avstand på 2 fot, 4 tommer. En lignende tverrstang er satt opp 4 meter over den første. Hvis man ser fra spissen av basen, vil siktelinjen til vannoverflaten møte høyden på tverrstangen i en avstand på 4 fot; og hvis man ser på fjellet, blir det 2 fot, 2 tommer. Finn dybden av vannet.
I Figur 3, Hvis P er vannoverflaten over den hvite steinen, R, OG BC og FG er de to tverrstengene, DERETTER BC = FG = 3 fot; GC = 4 fot; AC = 4 fot, 5 tommer; DC = 2 fot, 4 tommer; F. eks = 4 fot; OG HG = 2 fot, 2 tommer. Dybden AV vannet, PR, er søkt. For å få svaret, Gir Liu Hui følgende regel:
Liu Hui har ikke tatt hensyn til her brytningsindeksen for vann. Regelen gitt er en forlengelse av det som brukes til å løse problem 4, som bruker samme metode for å bestemme dybden av en dal:
en person ser på en dyp dal. Fra kanten av dalen vender en tverrstang for å ligge på siden som normalt er oppreist . Basen
er 6 fot lang. Hvis man ser på bunnen av dalen fra kanten av basen, siktelinjen møter den vertikale siden i en avstand på 9 føtter, 1 tomme. En annen tverrstang er satt 30 fot rett over den første. Hvis bunnen av dalen blir observert fra kanten av basen, vil siktlinjen møte den vertikale siden i en avstand på 8 fot, 5 tommer. Finn dybden av dalen.
hvis vi refererer igjen Til Figur 3, ignorerer de ødelagte linjene, har VI CB = GF = 6 fot; CG = 30 fot; AC = 9 fot, 1 tomme; F. eks = 8 fot, 5 tommer; OG CQ er dybden. FRA lignende trekanter ABC OG PBQ,
QB * AC = PQ * CB;
OG FRA lignende trekanter EFG OG PFQ,
QF * EG = PQ * GF.
Siden CB = GF, og QF = QB = BF,
QB · AC = (QB + BF)EG,
QB(AC – EG) = BF · EG = GC · EG,
det vil si
(CQ + CB)(AC – EG) = GC · EG.
Derfor
i problem 7 får man også avstanden fra banken til bunnen av avgrunnen (CS i Figur 3) fra uttrykket
PR er avledet fra forskjellen MELLOM CS og CQ.
som for de andre problemene gjelder problem 2 å finne høyden på et tre på en høyde; problem 3 omhandler størrelsen på en fjern befestet by; problem 5 viser hvordan man måler høyden på et tårn på en slett sett fra en høyde; problem 6 gir en metode for å finne bredden på en bukt sett fra en avstand på land; problem 8 er et tilfelle av å finne bredden av en elv sett fra en høyde; og problem 9 søker størrelsen på en by sett et fjell.
BIBLIOGRAFI
en moderne utgave. Av Chiu-chang suan-shu er vol. 1121 I Ts ‘ ung-shu Chi-Chê-serien (Shanghai, 1936).
Arbeider som omhandler Liu Hui og hans skrifter Er Ch ‘ ien Pao-tsung, Suan-ching shih-shu («Ti Matematiske Manualer»), 2 bind. (Peking, 1963), 83-272; Og Chung-kuosuan-hsü-shih («Kinesisk Matematikkhistorie») (Peking 1964), 61-75; L.van Hé, «Le Hai Tao Suan Ching De Lieou,» i t ‘ oung Pao, 20 (1921), 51-60; Hsü Shunfang, Chung-suan chia te tai-hsü yen-chiu («En Studie Av Algebra Av Kinesiske Matematikere») (Peking, 1955), 1-8; Li Yen, Chung-kno shu-Hsü ta-kang («Oversikt Over Kinesisk Matematikk» I (Shanghai, 1931); Og Chungkuo Suan-Hsü-shih(«historien Om Kinesisk matematikk») (Shanghai, 1937;Rev. Ed., 1955), 16, 19, 21; li Yen Og Tu Shih-jan, Chung-kuo ku-tai shu-hsü chien-shih («Kort Historie Om Gammel Kinesisk Matematikk») I (Peking, 1963), 45-77; Yoshio Mikami, Utviklingen Av Matematikk I Kina Og Japan (New York, 1913); Joseph Needham, Vitenskap og Sivilisasjon I Kina, III (Cambridge, 1959), 24-27; George Sarton, Introduksjon til Vitenskapens Historie, 3 bind. (Baltimore, 1927-1947), esp. Jeg, 338; Wang Ling, «Chiu-Chang Suan-Shu Og Historien Om Kinesisk Matematikk Under Han-Dynastiet,» en doktorgrad diss. (Cambridge Univ., 1956); Wang Ling Og Joseph Needham, «Horner’ Metode I Kinesisk Matematikk; Dens Opprinnelse I Rot-Utvinning Prosedyren Av Han-Dynastiet, «I T’ oung Pao, 43 (1955), 345-401; Og Alexander Wylie, Kinesisk Forskning (Shanghai, 1897; repr. Peking, 1936 og Taipei, 1966), 170-174.
noen viktige spesielle studier På Chiu-chang suan-shu Er E. I. Berezkina, «Drevnekitaysky traktat matematika v devyati knigach» («Den Gamle Kinesiske Matematiske Avhandling I Ni Bøker»), I Istoriko-matematicheskie isslidovaniya,10 (1957), 423-584, en russisk trans. Av Chiu-chang suan-shu; Kurt Vogel, Neun Bü arithme-tischer Technik (Brunswick, 1968), en tysk trans, og studie av arbeidet; Og A. P. Youschkevitsch, Geschichte der Mathematik im Mittelalter (Leipzig, 1964), 1-88 («Die Mathematik I Kina»), oversatt fra russisk.
Tilgang til gamle biografiske notater og bibliografiske sitater om matematiske arbeider er Hu Y@n-chin, Ssu-k’ u-t ‘ i-yao Pu-Chê («Supplements to The Ssu-k’ u-t ‘i-yao»), 2 vols, (Taipei, 1964-1967); Og Ting Fu-pao Og Chou Yü-ch ‘ ing, Ssu-Pu-Tsung-Lu Suan-Fa-Pien («bibliografi av matematiske bøker for å supplere ssu-k’ u-ch ‘uan-shu encyclopedia»; Shanghai, 1956).
Mer informasjon om Suan-Ching Shi-Shu finnes I Needham, Science and Civilisation In China, III, 18; OG I A. Hummel, Eminente Kinesere Fra Ching-Perioden (Washington, 1943), s. 697.
de to bevarte bindene Av yung-Lo Ta-Tien encyclopedia har blitt reprodusert fotografisk (Peking, 1960); de viser at arrangementet var i henhold til matematiske prosedyrer og ikke av forfattere.
Ho Peng-Åk
