Yang Huis triangel är ett speciellt triangulärt arrangemang av siffror som används inom många områden av matematik. I Asien är det uppkallat efter den berömda 13: eårhundradet Kinesisk matematiker Yang Hui, en av de första som beskriver dess egenskaper; i Europa är det ofta uppkallat efter den 17: eårhundradet franska matematikern Blaise Pascal. Redan före Yang Hui beskrevs detta triangulära arrangemang av siffror av den arabiska poeten och matematikern Omar Khayyam (c.1044-1123) och den indiska matematikern Halayudha 975.
överst i triangeln är en 1, som utgör 0kasta. 1strow (1,1) innehåller två 1s vardera bildade genom att lägga till de två siffrorna ovanför dem, en till vänster och en till höger, i detta fall 0och 1. (Alla siffror utanför triangeln är 0s.) gör samma sak för att skapa 2ndrow; 0+1=1, 1+1=2, 1+0=1 och alla efterföljande rader.
ett tal i triangeln kan hittas genom att använda Cnr (nchoose r), där n är numret på raden och r är numret på elementet i den raden. (Cnr = n!r!(n−r)!) Detta är särskilt användbart för att hitta en viss term i expansionen av ett binomial i formen (x + y) n.
exempel:
hitta 4thterm i 6throw av triangeln.
C54=6!4!(6−4)!=6!4!2!=15
(kom ihåg: den första 1in varje rad är den 0: e elementet så detta är korrekt.)
summan av rader: summan av siffrorna i vilken rad som helst är lika med 2n, när nis numret på raden.
20=1=121=2=1+122=4=1+2+123=8=1+3+3+124=16=1+4+6+4+1 och så vidare.
primtal: Om det första elementet i rad är ett primtal (kom ihåg att den första 1 i vilken rad som helst är det 0: e elementet.) alla siffror i den raden (exklusive 1s) är delbara med den.
till exempel i 7throw (1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1) 7, 21, 35är delbara med 7.
i Algebra innehåller varje rad i Yang Huis triangel koefficienterna för binomialen (x+y) upphöjda till radens kraft.
(x+y)0=1(x+y)1=1x+1Y(x+y)2=1×2+2XY+1Y2(x+y)3=1×3+3x2y+3xy2+1y3 (x+y)4=1×4+4x3y+6x2y2+4xy3+1y4och så vidare.
ett annat stort område där Yang Huis triangel dyker upp och är mycket användbar är sannolikt där den kan användas för att hitta kombinationer.
intressanta talmönster:
många intressanta talmönster finns i triangeln. Inkluderat är Fibonacci-sekvensen, triangulära och kvadratiska tal (finns i diagonalerna som börjar med rad 3) och polygonala tal.
en annan intressant koppling är till Sierpinskis triangel. När alla udda tal i Yang Huis triangel fylls i och jämnarna lämnas tomma avslöjas den rekursiva Sierpinski Triangle fractal.
var och en av dessa är fascinerande ämnen som motiverar ytterligare forskning från din sida.
